TD 2A004

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Licence Sciences et Technologie Mention Ingénierie Mécanique Mécanique des fluides – 2A004 TRAVAUX DIRIGÉS DE MECANIQUE DES FLUIDES une allée de tourbillon de Karman dans les nuages provoquée par la rencontre du vent et une des îles de l’archipel Juan Fernandez au large du Chili. Image prise par le satellite Landsat 7, Bob cahalan, NASA GSFC. Equipe pédagogique oru A. Belme (groupes 5) Sni* to View C. Croizet (groupe 3 A. Ghigo (groupes 6) V. Mons (groupe 1) J. Van Langenhove (groupe 2) C.

Croizet (cours) 2 Rappels de mathématiques et de statique Exercice 1 : Fonctions à plusieurs variables ) Calculer les dérivées partielles premières et secondes de la fonctionf:R3 —R, f (x, y, z) 5×2 — 12xy + 7y 3 + xaz , où a e R* , zèO}etS2 y, 1 n 0}, R étant le rayon de la démi-sphère, supposé connu. On appelle par n la normale extérieure 1) Calculer l’aire du disque S2 . n dS ; 2) Calculer n dS = O retrouver le 3) En utilisant le résultat de la question 1 et la propriété résultat de la question 2.

Statique des fluides Exercice 1 On considère un récipient rempli d’un fluide de masse volumique p. 1)

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A Pintérieur de ce dernier, on isole un volume de fluide D de surface S. Faire l’inventaire des efforts extérieurs qui s’exercent sur D. Ecrire la force de contact élémentaire qui s’exerce sur un élément de surface dS centré sur un point M. 2) Soit Pabs le champ de pression dans le fluide, PO la pression atmosphérique, et Prel la pression relative : Prel = Pabs – PO Montrez que la résultante pression sur S ne PAGF 7 OF lequel se trouve une masse M (voir figure 1).

En écrivant la condition d’équilibre pour la paroi du piston, calculer la pression qui s’exerce dans le fluide au niveau de la paroi. Fig. 1 – Piston 2) Soit un verrin hydraulique constitué de deux cylindres verticaux Aet B de sections SA et SB , remplis d’huile et communiquant entre eux (voir figure 2). Quelle force faut-il exercer en A pour soulever une masse M placée en B ? Faire le calcul pour M = 100 kg et des cylindres A et B respectivement de diamètres dA = 2 cm et dB = 20 cm. Fig. 2 – Verrin hydraulique 2 Statique des fluides 111 000 11 oooooooooooooooo 0000000000000000 Fig. – Tonneau de Pascal 3) Le crève-tonneau de Pascal : on considère un tonneau rempli d’eau sur lequel on place une colonne de diamètre d = 2 cm et de 5 m de hauteur (voir flgure 3). On remplit cette colonne d’eau. Quelle est la surpression AP qui en résulte dans le onneau ? Quelle masse d’eau a été rajoutée ? Si l’on voulait créer la même surpression en posant une masse M sur le couvercle du tonneau de diamètre D 0. 5 m (en supposant que celui-ci agit comme un piston), quelle devrait être cette masse ? Exercice 3 1) La figure 4 représente une cuve comprenant de l’huile (p = 900 kg/m3 ) en équilibre statique.

La surface libre est à la pression atmosphérique et l’on cherche la pression ? l’interface huile/gaz dans la partie fermée. gaz D h huile – Cuve contenant de Fie. 4 oooooooooooooooooooooooo eau 000000000000000000000000 Fig. 5 – Cuve contenant de Phuile et de l’eau ube en U contient de l’eau de masse volumique pe = 1000 kg/m3 et une huile de masse volumique ph = 980 kg/m3 . La répartition huile/eau est indiquée sur la figure 6. • La pression est-elle plus forte en A ou B ? • Que vaut la différence de niveau d’eau h ? PAGF s OF 6 OF retourne un bol au-dessus de révacuation d’un évier, puis an remplit l’évier.

On obtient donc une situation où le bol, baigné dans l’eau, contient intérieurement une poche d’alr ? la pression atmosphérique (voir figure 8). En considérant que le bol est une démi-sphère de rayon R et que l’évier est rempli jusqu’? ne hauteur h, quelle force faudrait-il exercer sur le bol pour le soulever ? pa Fig. 8 – Bol renversé Exercice 9 Un solide cylindrique homogène de section S, de hauteur H et de masse volumique ps est plongé dans un recipient contenant deux liquides non miscibles superposés, de masses volumiques pl et p2 (voir figure 9). ) Calculez la pression dans les deux fluides et faites le bilan des efforts exercés sur le solide. 2) Calculez ps en fonction de pl , p2 , h et H. Exercice 10 Un cylindre creux de masse M est fermé, en ses deux extrémités, par deux disques circulaires d’aire S. Ce cylindre est placé erticalement dans un rïEicipient contenant un liquide de masse volumique p. Une sphère pleine, homogène et de volume V est fixée sur ce cylindre. Dans l’ensemble de l’exercice, on négligera la masse volumique de l’air devant 7 7 OF flotte en étant immergé sur une hauteur h ? ) La sphiEire est, à présent, placée à l’intérieur du cylindre. Quelle masse volumique pz doit-on donner à la sphère pour que le cylindre flotte en étant immergé sur la même hauteur h ? Comparer pl et p2 p Fig. 10 – Solide immergé avec une sphère Exercice 11 Un solide assimilable à un cylindre de section E et de hauteur H, est constitué dans a partie inférieure sur une hauteur hl par un solide de masse volumique pl et, dans sa partie supérieure de hauteur h2 , par un solide de masse volumique p2 (figure 2). Ce solide hétérogène est maintenu en position verticale.

Le récipient est supposé de grandes dimensions de sorte que les niveaux sont indépendants de la position du c lindre. A l’équilibre sa position par rapport à l’ e/atmosphère (z = O) est PAGF OF fabriquer deux hémisphères de bronze d’environ 50 cm de diamètre, les plaça l’une contre l’autre et fit le vide à Pintérieur (à l’aide d’un petit robinet construit sur rune des hémisphères). Les hémisphères, collées l’une à vautre par la pression atmosphérique, ne purent être séparées même par plusieurs chevaux tirant de part et d’autre.

Quel effort fallait-il exercer sur les hémisphères pour les séparer ? Exercice 13 Un bateau de masse M et de longueur L flotte sur l’eau. Sa coque a une base triangulaire de demi-angle 30 (voir figure 11). A quelle profondeur se trouve le fond du bateau s’il flotte droit dans l’eau ? Que devient cette profondeur si le bateau s’incline en roulis de 10 – ? hl 30 Cas 1 Cas 2 Fig. 11 – Bateau Exercice 14 LJn radeau est construit à l’aide d’une ‘anche de masse M posée ur deux rondins de bois que d’une constante inconnue. ) traduire l’incompressibilité du liquide. Achever la détermination de p. Déterminer la forme de la surface libre. 3) Pour quelle valeur OJO le centre du fond est-il à sec ? 4) pour wo , calculer la pression sur le fond, puis la résultante des forces de pression sur le fond. o – Récipient au repos Fig. 13 10 Exercice 16 : Rayon de courbure Le rayon de courbure d’un cercle de rayon R est bien entendu R. A partir de Féquation du cercle en coordonnées cartésiennes 1 . Calculer le rayon de courbure r dans la région x à O, y à O par la formule