Module complémentaire Voir : http://www. concours ensea. org/Portail/ Espace Vectoriel et Sous Espace Vectoriel EV : l’ensemble des fonctions réelles Montrez que l’ensemble des fonctions réelles munie des lois + et * un un espace vectoriel je rappelle les deux SEV dans l’ensemble s o or 16 Sous espace vectorie De. Sv. ige to nextÇEge définies sur à valeur ensembles suivants s SEV dans l’ensemble des suites ceci et es les fonctions suelles, étudier si les ctoriels • On considère l’espace vectoriel des suites de nombres réels. a) Montrer que l’ensemble des suites qui convergent vers zéro est un sous-espace vectoriel. b) Montrer que l’ensemble des suites bornées est un sous- espace vectoriel. (c) L’ensemble des suites convergentes est-il un sous-espace vectoriel ? SEV de Les systèmes de vecteurs suivants de sont-ils des systèmes libres ou liés? Sont-ils des bases ? Pour chacun de ces systèmes, donner son rang. Pour les systèmes liés en extraire un système libre et pour les systèmes libres les compléter par des vecteurs de la base Forment-ils un système libre ? (b) Même question avec les polynômes .
Applications linéaires Équations différentielles a) Montrez qu’une équation différentielle (voir définition du cours u SI) linéaire est une application
Donnez la matrice M correspondant à f. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de f. Sur le papier, dessinez deux vecteurs propres (un par valeur propre) et leurs images. Profitez de ce dessin pour trouver graphiquement l’image des points de coordonnées (-1 et (2,1). Suite : Placement/Emprunt On fait un emprunt de 10000€ à un tau de 4% par an. On rembourse 500 par mois. Soit un ce qu’il reste comme du à la fin du nième mois (IJO=IOOOO). Soit Vn=Un-R. O) Donnez le taux mensuel. 1) Choisissez R correctement pour que Vn soit géométrique. 2) Calculez Vn 3) Déduise 16 mensuel. ) Choisissez R correctement pour que Vn soit géométrique. 2) Calculez Vn . 3) Déduisez-en Un ) En combien de temps a-t-on fini de rembourser ? 5) Même question qu’au 4 avec 35, 40 et 50 €/mois Rayon de convergence Concours ensea 1999 On considère la suite définie pour tout nè2 par: u2 -cos (TT/4) et un =un-l cos (IT/2n) On pose pour tout nè2 vn zun sin (n /2n). Question 7 (A) La suite est strictement décroissante. (B) est une suite géométrique (C) On a pour tout Vn =vn-1/2 (D) On a pour tout Question 8 (A) La série entière a pour rayon de convergence 1. B) Si on appelle la somme de la série entière quand celle-c converge, alors (D) La série entière a pour rayon de convergence 2. E) La somme de la série est 3. Concours ensea 2010 Seulement pour les candidats de l’option génie électrique. Question 11 (Seulement pour les candidats de l’option génie électrique. ) Soit la fonction pour on se propose de calculer (A) f est -périodique et impaire. (B) f est développable en série de Fourier et la somme de la série de Fourier est égale en tout réel x à f(x). (C) On pose On a alors (D) En utilisant la formule lent PAGF 3 6 électrique. (B) On a (C) Avec la formule dEuler on a (D) Pour n impair, (E) pour et pair, Probabilité – Statistiques On dispose de trois urnes appelées IJ, V et W . U comprend uatre boules marquées v et une marquée w . L’urne V comprend neuf boules blanches, et une noire, l’urne W comprend quatre boules blanches, trois nolres et trois jaunes . On tire au hasard une boule de l’urne IJ ; si la boule tirée est marquée v, on tire alors au hasard une deuxième boule de l’urne V ; si elle est marquée w, on tire au hasard une deuxième boule de l’urne W.
On note V l’événemen . t « la première boule tirée est marquée v » B l’événement deuxième boule tirée est blanche » , N l’événement : « la deuxième boule tirée est noire » , et J l’événement : « la deuxième boule tirée est jaune ». On note P(E) la probabilité de l’événement E , et PF (E) la probabilité de E sachant que l’événement F est réalisé ( elle se note aussi P(EIF)). est l’événement contraire de E. Question 5 (D) Les évènements V et J sont indépendants. (E) Les évènements W et J sont incompatibles.
Question 6 (A) pv 1/10 (B) (C) P(N) = 4/10 7/50 (E) Concours ensea 2003 Dans une production de résistances on note p 30,1 [ la proportion de résistances défectueuses. On tire au hasard, indépendamment les unes des autres, n résista résistances défectueuses. On tire au hasard, indépendamment les unes des autres, n résistances. Les résultats sont les variables aléatoires indépendantes Xk pour Isk sn , où Xk vaut 1 si le k- ième tirage est défectueux et O s’il ne l’est pas. On a donc pet P((Xk = . On note Sn – XI +… + Xn le nombre total de résistances défectueuses du tirage.
Question 9 (A) On a P({Sn pkqn—k pour Ogkgn (B) Sachant que S2 la probabilité que XI – (C) On a Var(Xk p2 (D) on a var(sn ) ) (E) On a Pour n grand, le théorème de la limite centrale permet d’approcher la loi de Sn par une loi normale On rappelle que si la variable aléatoire Y suit la loi normale centrée-réduite la probabilité que -1 est de 95%, a probabilité que Y est de 84% Les valeurs de ces seuils sont arrondies à 10-2 près. On estime la proportion inconnue p par la variable aléatoire Question IO (A) La loi de Sn est approchée par la loi N(np,) (B) On prend n —100,. our que P(Sn il faut avoir a -55 (C) La variance de Z est pq (D) On prend p —0,03 . Pour avoir —pl , il faut choisir n >149 (E) La loi de Z — p est approchée par la loi normale Concours ensea 2004 Dans une urne il y a 8 boules indiscernables au toucher. Il y a trois boules rouges numérotées 1, 2,3, deux boules vertes marquées 4, 5 et trois boules bleues PAGF s 6 rois boules rouges numérotées 1, 2,3, deux boules vertes marquées 4, 5 et trois boules bleues marquées On tire une seule boule de l’urne au hasard ( tirage équiprobable) et on note R l’événement . a boule tirée est rouge, V : la boule tirée est verte, B : la boule tirée est bleue, I : la boule tirée porte un numero impalr. (A) La probabilité de tirer une boule rouge et de numéro impair est 1/4 (B) Les événements V et I sont indépendants. (C) Les événements R et I sont indépendants. (D) Les événements R et V sont Indépendants. (E) La probabilité de tirer une boule rouge ou une boule de numéro impair est 8/4 Toujours avec la même urne on procède à 3 tirages successifs. ? chaque tirage on note les caractéristiques de la boule tirée puis on la replace dans l’urne (tirage avec remise). (A) La probabilité de tirer d’abord une rouge, puis une verte puis une bleue est 9/256 (B) La probabilité de tirer trois boules de trois couleurs différentes est 27/256 (C) La probabilité de tirer exactement une verte sur les trois tirages est Y’ (D) La probabilité de tirer exactement trois vertes est 1/64 (E) La probabilité de tirer trois boules de même couleur est 62/512 concours Ensea 2005 Alice et Bruno sont les seuls candidats à un examen.
La probabilité de la réussite d’Alice est de 90%, et celle de Bruno est de 60%. Leurs réussites sont indépendantes. On appelle X la 6 6 est de 90%, et celle de Bruno est de 60%. Leurs réussites sont indépendantes. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre total de réussites à l’examen. X vaut donc O si tous les deux échouent, si un seul des deux réussit, et 2 si tous les deux réussissent l’examen. (A) La probabilité d’avoir (les deux échouent) est 50%. (B) La probabilité d’avoir X=2 (les deux réussissent) est 54%. C) La probabilité d’avoir (un seul réussit) est 36%. D) La probabilité qu’Alice ait réussi, sachant que X=l est (E) La probabilité que X=l, sachant qu’Alice a réussi est Une usine fabrique des ampoules é ectriques. La durée de fonctionnement exprimée en années d’une ampoule électrique produite par cette usine est une variable aléatoire T de densité f avec pour tèO , et pour Question 10 (A) La durée de vie moyenne d’une ampoule électrique est de 2 ans. (B) L’écart type de la durée de vie d’une ampoule électrique est d’une demi année. C) La probabilité qu’une ampoule électrique dure plus d’un an est (D) Il est impossible qu’une ampoule électrique dure plus de 4 E) La probabilité qu’une ampoule dure plus de 2 ans, sachant qu’elle a déjà fonctionné 1 an est de Concours Ensea 2006 Une chaine de production fabrique des pièces mécaniques dont sont bonnes (notations B ) et 20% défectueuses (notation B) . Un test de contrôle rapide à la sorti 7 6 sont bonnes (notations B ) et défectueuses (notation B ) . Un test de contrôle rapide à la sortie de la chaine permet d’accepter ou de refuser chaque pièce, mais celui ci est aléatoire.
On note A l’événement « la pièce est acceptée », A l’événement « la pièce n’est pas acceptée » par le test rapide. On observe que : Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de Si la pièce est défectueuse, elle n’est pas acceptée avec une probabilité de 85%. (D) La probabilité que la pièce soit bonne sachant qu’elle est acceptée est (E) La probabilité que la pièce soit défectueuse sachant qu’elle n’est pas acceptée est Sur une ligne d’autobus, si on est contrôlé sans avoir de ticket, l’amende coûte 150€. La probabilité d’être contrôlé un certain jour est de .
Le fait d’être contrôlé un certain jour est indépendante du falt de l’être un autre jour. (A) La probabilité d’être contrôlé tous les jours pendant 5 jours onsécutifs est de (B) La probabilité d’être contrôlé exactement une fois pendant 5 jours consécutifs est de (C) Un fraudeur qui n’achète jamais de ticket paye en moyenne, avec les amendes qu’il a de temps en temps, 15€ par jour (D) Sur 80 jours consécutifs, un passager est contrôlé en moyenne 8 fois. (E) Sur 80 jours consécutifs, la probabilité de ne jamais être contrôlé v contrôlé en moyenne 8 fois. contrôlé vaut O.
Concours ensea 2007 On dispose de 12 jetons numérotés de 1 à 12. On appelle « main’ 4 jetons de numéros distincts tirés sans remise dans les 12 jetons, sans tenir compte de l’ordre de la distribution. A) Le nombre total de « mains » est 495. (B) Ily a 30 « mains » ne comportant que des numéros pairs (C) Ily a 120 « mains » comportant trois numéros pairs et un numéro Impair. (D) Il y a 8 « mains » comportant 4 numéros consécutifs. (E) Ily a 70 « mains » comportant 4 numéros dont seulement 3 sont consécutifs On suppose que lion tire au hasard et sans remise les quatre jetons constituant une « main ».
On se propose de calculer la probabilité de certains tirages. (A) La probabilité de tirer une « main » dont la somme des numéros est 42 est (B) La probabilité de tirer une « main » ayant trois numéros pairs et un numéro impair est C) La probabilité de tirer une « main » dont la somme des numéros est paire est (D) La probabilité de tirer une « main » dont la somme des numéros est 11 est égale à la probabilité de tirer une « main » dont la somme des numéros est 41 . (E) La probabilité de tirer une « main » comportant 4 numéros consécutifs est Concours ensea 2008 Une machine fabrique des objets.
A la sortie de la machine, un objet est « bon » (événement g ou n’est « pas bon » PAGF objets. A la sortie de la machine, un objet est « bon » (événement B) ou n’est « pas bon » (événement). Pour améliorer la qualité, les objets sortants de la machine passent un test rapide. Après ce test, les objets sont « acceptés » (événement A) ou « non acceptés » (événement). Une étude en laboratoire du procédé de fabrication et du test rapide montre que la probabilité qu’un objet soit « bon » est P(B) = 0,9 .
Sachant qu’un objet est bon, la probabilité pour qu’il soit « accepté » est P(AI B) 0,8 , et sachant qu’un objet « n’est pas bon », la probabilité pour qu’il soit « non accepté » est (A) La probabilité pour qu’un objet soit « bon » et « accepté » est (B) La probabillté pour qu’un objet soit pas bon » et’ non (C) La probabilité pour qu’un objet soit « accepté » est P(A) = O, 75 D) La probabilité pour qu’un objet soit « bon » sachant qu’il a été « accepté » est IA) = O, 72 (E) La probabilité pour qu’un objet soit « pas bon » sachant qu’il est « non accepté » est Des circuits électriques sont fabriqués en série.
On constate que leur résistance X en Ohm suit une loi normale d’espérance m et d’écart type que l’on va chercher à déterminer. On constate en prélevant un grand échantillon que la probabilité d’avoir un circuit de résistance supérieure à 125 est P(X > 125) = 2,3% et que la probabilité d’avoir un circuit de résistance inférieure à 80 est . On donne pour une v
