Rebond

+ b alors par intégration Y = (-1/2)g t2+ bt +c 16 En mathématiques : Les points semblent appartenir à des courbes qui, immédiatement sont interprétées comme des paraboles. On cherchera donc à obtenir les équations de ces paraboles : F at2+ b t + c CYOù un travail mathématique de résolution de système linéaire de trois équations à trois inconnues. ebonds permet d’obtenir trois systèmes linéaires à trois Inconnues : On cherche a, b, c tels que la parabole d’équation : = at2+bt+c passe par les points de coordonnées (ti , yi ) ci-dessous : (0; 1,17) ; (0,102 ; 1,07) ; (0,238 ; 0,79) est solution d’un système de trois équations linéaires ? trois inconnues: d’où y = -4,53 e-o,52 t +1,17 19 De même, pour le premier rebond : Coordonnées des points utilisés : (0,476 ; (0,578 ; (0,714 La solution est : n n 2,695cn d’où, on prendra : y = -4,84 tz +824 t – 2,7 Pour le deuxième rebond : Coordonnées des points utillsés : (1 ; (l ,394 ; (1 La solution est: n 12,115 d’où, on prendra . y –5,05 -12,12 20 Modélisation y – -4,5312t – 0,5182t 1,17 lesquelles on fera le choix des mieux adaptées aux résultats obtenus à l’aide du tableur . 22 Activités de l’élève en athématiques Les fonctions du second degré étant trouvées, il peut calculer les vitesses au moment des rebonds. lci interviennent les notions de : Fonction non dérivable en un point.

Dérivée à gauche et à droite. 23 A l’instigation du physicien, il peut être intéressant de calculer la valeur absolue du rapport des vitesses avant et après le rebond, puis de comparer ces rapports au fur et à mesure des rebonds. 24 Calculs des vitesses Fonctions modélisant les rebonds : fl(t) 17 f2(t) = -4,84 + 8,24 t- 2,7 valeur absolue de la vitesse avant rebond et celle de la vitesse après rebond. 7 Lorsqu’on obtient un rapport constant, cela signifie que la suite des valeurs absolues des vitesses vy aux moments des rebonds est une suite géométrique. Admet-elle une limite ? Y a-t-il un lien avec les altitudes auxquelles remonte la balle ? 8 Sommet d’une parabole f ‘(t) = 2at+ b S a pour coordonnées n 2a4an 29 Suites géométriques f(t) = 0 pour t- 2a la date et de la vitesse vy juste avant et juste après le rebond sont délicates à déterminer. 34 Premier rebond •La date « juste avant » le premier rebond est environ égale à 0,44s (ou 0,45s) ( d’après la courbe) La relation donne la vitesse approximative juste avant le premier rebond – 4,6 m/s. •La date « juste après » le premier rebond est estimée aussi égale à 0,44s. •La relation donne la vitesse approximative juste après le premier rebond : Vap(O,44) 3,8 m/s. •La valeur absolue du rapport VAP / VAV est environ égale à 0,82. 35 Second rebond • La date « juste avant » le second rebond est environ égale ? 1 ,25S. ?? La relation v – donne la vitesse approximative juste avant le second rebond : Vav(l ,25) = – 3,7 m/s. On retrouve sensiblement la valeur de la vitesse juste après le premier rebond. ?? La date « juste après » le second rebond est estimée aussi égale • La relation v 10,2t + 16,1 donne la vitesse approximative juste après le second rebond : Vap(l , 25) = 3,3 m/s • La valeur absolue du rapport VA / VAV est environ égale à 0,88. 37 • On peut demander à l’élève d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour montrer que : V2AP/V2AVO h2/h1 , où hiet h2 sont respectivement les altitudes auxquelles remonte la balle avant et après un rebond. 8 Résultats YAV étant l’altitude maxi avant le rebond et y AP étant l’altitude maxi apres le rebond, on devrait vérifier : VAP YAP AV Les calculs donnent pour le premier rebond VA p VAV pour le second rebond : et puisque la variation de cette fonction est proportionnelle à la variation de la variable t 43 Approximation de la loi horaire : • v(t) = -gt puisque la vitesse initiale est nulle Dans le cours de première, on apprend que pour tout h tel que ti + h soit dans l’ensemble de définition de f, on a : f(ti+h) 0 f(ti) + h. f ‘(ti), lorsque h est »petit » • On prend : h ti+l-ti Méthode d’Euler ( suite) • On a alors : f(ti+l) 2f(ti) – ti et f(t0) = 1,2 • D’où les calculs faits dans un tableur : 4 6 7 9 10 ti 0,05