nombre complexe

nombre complexe

Mathématiques appliquées Utilisation pratique des nombres complexes en Electricité et Electronique Version 1. 0. 8 Sommaire 1- Forme algébrique (ou forme cartésienne) 2- Partie réelle et partie imaginaire 3- Addition ou soustraction des nombres complexes 4- Multiplication d’un nombre réel et d’un nombre complexe 5- Multiplication de deux nombres complexes 6- Forme trigonométrique (ou forme polaire) d’un nombre complexe 7- Module et argume 8- Passage de la for 9- passage de la for 9-1- Plan complexe 9-2 Module 9-3- Argument or 11 Snipe to View orme algébrique trigonométrique

IO- Multiplication de deux nombres complexes avec la forme 11- Division de deux nombres complexes 12- Nombre complexe conjugué 13- Exemples d’application en électricité : les impédances complexes 13-1- Exemple no 1 : Circuit RLC série 13-2- Exemple n02 : Circuit RL parallèle 14- Exemple d’application en électronique : fonction de transfert d’un filtre 15- Réponse aux questions Voici un nombre complexe que nous appellerons Z (avec une trois i » http://pagesperso-orange. fr/fabrice. incere/ Page 1/14 un nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire . 2 partie réelle partie imaginaire est le nombre imaginaire unité. Remarques : Un nombre réel est un nombre complexe qui n’a pas de partie Imaginaire

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: -12,5+0] ou plus simplement : – 12,5 un nombre imaginaire est un nombre complexe qui n’a pas de partie réelle . PAG » 1 Soit:Z-3+5j Multiplions le nombre complexe Z par le nombre réel 8 : On développe 8×5 j -24+40 j Les choses se compliquent ! , le nombre imaginaire unité, a la propriété étonnante suivante : « j fois j est égal à -1 «j au carré est égal à -1 » soit : ZI = 6+3 j Multiplication : ZI x z (6+3 j) x (5+2 j) (6+3 j) x (5+2 12j+15j+6j2 =30+12j+15j-6 (30 – 6) + 15) j 24+27 j avec : j2 — Question n06 : Multiplier les nombres complexes 1 -j et 4+2j. Question n07 : Multiplier mplexes 3 – 4i et 3 + 4i. 11 angle que l’on peut exprimer en degrés (0) ou en radians (1800 = rt radians).

L’argument du nombre complexe Z se note : arg(Z) Ici : arg(Z ) = + rad 8- Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique C’est très simple : partie réelle = module x cosinus de l’ argument partie imaginaire module x sinus de l’ argument z -0 2 ;+rad0 = 2 x cosn + rad 03 = 1+3j 2 x sin rad j PAGFd0F11 module du nombre imaginaire -Ij. Question no 12 : Calculer le module du nombre réel 3,93. axe des imaginaires od argument axe des réels L’argument d’un nombre complexe est un angle.

Reprenons le nombre complexe : Z = 3 + 4 j L’argument du nombre complexe Z se note : arg(Z) = arg(3 + 4 j) Dans le cas particulier où la partie réelle est strictement positive • partie imaginaire C] tan -1 Cl partie réelle C Application numérique (avec une calculatrice) . n4[1 arg(3 + 4 j) = arctano O 0-40 s 1 réelle est strictement négative : En degrés . Cl partie imaginaire Cl 1800 + tan -1 0 En radians . arg(Z tan -1 Cl partie réelle C n 40 arg(- 3 + 4 j) = 1800 + arctan0 1800 – 53,130 z +126,870 rg(— 3 — 4 j) = 1800 + arctann 1800 4 53,130 = = -126,870 Question no 13 : Calculer l’argument du nombre complexe 2 + 2j.

Question no 14 : Calculer l’argument du nombre imaginaire 5j. Question no 15 : Calculer l’argument du nombre imaginaire Question no 16 : Calculer l’argument du nombre réel – 3,93. @ Fabrice Sincère page 7/14 6 1 + lx sin (+ IT rad) j =-1+Oj On retrouve : j2 = Page 8/14 Module d’un quotient = quotient des modules du numérateur et du dénominateur Argument d’un quotient = argument du numérateur – argument Exemple SOit:Z1 = 03 40 ITC] 03;+0 rad C] ITC 1246 c c 212 = (1,5 ; + 750 PAGF70F11 yj désigne la partie réelle du nombre complexe Z. y désigne la partie imaginaire du nombre complexe Z. – 3j est le conjugué de 2 4 3j. j est le conjugué de -j 5 est le conjugué de 5. Propriétés z + Z*-2x z-Z*-2Y ZZZ* x 2 + y2 arg(Z *) = — arg (Z) page 10/14 En électricité, on peut caractériser le comportement d’un dipôle passif lineaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe que l’on appelle « impédance complexe Alnsl l’impédance complexe d’une résistance est : Z R = R (R est la résistance en ohms). L’impédance complexe d’une bobine est : Z L = jLu (L est l’inductance en henry, et LJ la pulsation du courant en rad/ ) B1 l’association (en ohms) correspond au module de rimpédance complexe.

Donner son expression. Réponse mod ule = (partie réelle)2 + (partie imaginaire) 2 Z=R+jClLüJ 10 R2+CLüj- CUJ d. Le déphasage entre tension et courant est donné par l’argument de l’impédance complexe. Page 11/14 Réponse • partie imaginaire Cl arg(Z) = tan -l O partie réelle D ordre 1 + jRCuj a. L’amplification du filtre correspond au module de la fonction de transfert. jRCtD 1 + jRCüJ page 12/14 b. Le déphasage entre la sortie et l’entrée est fourni par l’argument de la fonction de transfert.