Maths Financieres

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Fiche mathématiques financières Thème 1 : Les taux d’intérêts simples et composés Taux d’intérêts simples . Les taux d’intérêts simples sont appliqués dans le cas d’emprunts dont la durée est inférieure à 1 an. Pour calculer les intérêts , on utilise la formule : Où représente les intérêts , C le capital emprunté , r le taux et T le nombre de mois.

Si la durée est exprimée en jour , pour calculer T , on divise le nombre de jour par 3 Exemple : Pour un e run or 10 de 108 jours , et au t Sni* to View 1=CxrxT I = 1000 x 108/365 14,79€ 00€ sur une durée La valeur acquise est le montant final récupéré par le prêteur à la fin de l’opération. V acq Le taux de rendement annuel arithmétique est utilisé quand on a les valeurs de départ , d’arrivée et la durée mais pas le taux , il se trouve grâce à : r arith = nombre d’années auxquelles on ajoute le nombre de jours.

Exemple : pour 3 ans et 56 jours , 56 365 Pour les intérêts composés , on ne parle plus de taux arithmétique mais de taux de rendement actuariel ,

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pour le calculer , on utillse : co Pour trouver le taux arithmétique correspondant au taux de rendement actuariel , dans le cas d’une omparalson entre un intérêt simple et un intérêt composé , on utilise la formule : (1+T •r arith r act) Thème 2 : Les principes d’actualisation et de capitalisation Le principe d’actualisation à la valeur présente signifie que disposer de a t at disposer de à l’instant O. 0 intéressant. Taux de rentabilité interne . Il est utilisé pour trouver le taux d’une séquence de flux. Pour ceci , on utilise la formule de la VAN en choisissant deux taux r pour encadrer la VAN. L’un d’eux doit donner une VAN>O et l’autre une VAN

La rente perpétuelle ( on touche le même montant toutes les périodes sur une durée infinie ) et le remboursement in fine ( on rembourse tous les mois le même montant et à la fin , on rembourse ce montant plus l’emprunt inltial Dans ces cas , le TRI ou r – y étant le montant que l’on paye chaque mois. X étant l’emprunt initial. Thème 3 : Les prêts et emprunts Remboursements usuels : Tout emprunt d’un montant C est remboursé en plusieurs annuités sur une période donnée. A chaque annuité , il faut calculer le ca ital restant dû afin de trouver les intérêts de la période.

PAGF 10 l’annuité ne change jamais , seuls l’amortissement et les intérêts changent Les intérêts sont toujours calculés selon le capital restant dû de la période précédente. Une annuité se compose du remboursement partiel du prêt les intérêts ( r étant le taux du marché et CRD(t—1) le captal restant du à la fin de la période précédente. L’amortissement est égal à l’annuité — les intérêts ( Amt l) Il existe deux types de versement des intérêts , à terme échu et termes à échoir.

A terme échu signifie que l’intérêt est versé à la fin de l’opération ( ou de chaque période de remboursement Alnsl, une somme V placée ou empruntée pendant j jours au taux postcompté donnera lieu j jours plus tard à un remboursement de : Terme à échoir signifie que l’intérêt est versé au début de l’opération ( ou de chaque période de Ainsi, une somme V empruntée sur j jours au taux i précompté ne onne lieu au début de l’opération qu’à un versement de : vo=v- A l’échéance , l’emprunteur devra rembourser V.

Dans le cas d’annuités constantes, on utilise la formule suivante pour les trouver : 0 constantes payées terme échu, de taux d’intérêts 6,45%. remboursement se fait sur 10ans. Calculer l’annuité et faire le tableau d’amortissement. (l- Date (6,45 x 500 000) (1 +6, 45 Total à payer ( annuité ) Intérêts Amortissement du Capital restant dû capital 500 ooo,oo € PAGF s 0 )n Dans le tableau d’amortissement il convient de rajouter une colonne dédiée à ces frais pour bien les istinguer des intérêts.

Taux effectif global Le TEG sert à comparer le coût de deux emprunts tout frais compris ( assurances , frais de dossiers , taux d’intérêts Le TEG noté r est tel que : F2 2 f représentant les frais de dossier et F les annuités assurances comprises. Cette méthode revient à faire celle du TRI ( cf Thème 2 ) pour trouver r. Plus r est petit , plus l’emprunt est intéressant pour l’emprunteur. Relation entre TEG et TAEG : TEG- px r p Le TAEG est un peu plus précis que le TEG pour donner l’équivalent annuel d’un taux mensuel. Conversion du taux annuel en taux ériode : Lorsque les prêts et empr ctués avec une période une année. a p Réciproquement : px k p k p est le taux proportionnel , ka le taux annuel et p le nombre de périodes. En général , c’est le taux pér10de proportionnel qui est utilisé en France. Exemples Soit un taux annuel de 13,5% , calculer le taux actuariel mensuel puis semestriel correspondant Calculer ensuite, pour les mêmes périodes, le taux proportionnel. Taux actuariel : -Mensuel — – k 12 -1=0,0106 -Semestriel k +0, 135) 2 Taux proportionnel • -Mensuel = k p ,135 12 -1 zo,0654 = 7 0 note V n Par exemple , un emprunt de 1000000K peut être divisé en 1000 coupures de 1000E.

La V n alors 1000€ sera Prix d’émission : Cest le prix auquel on peut acheter une coupure. Il peut être différent de la V n. Il se note Ve. Le remboursement de l’emprunt peut se faire de trois façons : ln fine. Par amortissements constants. par annuités constantes. En général, il est ici en ln fine , toutes les obligations sont remboursées à la fin de l’emprunt. Date de jouissance : C’est la date à partir de laquelle les intérêts commencent. Les intérêts ( coupons ) sont calculés grâce au taux du coupon ( ou taux facial ) noté k.

Coupon versé = k x V n Rentabilité de l’émission . Le taux d’intérêt actuariel sert à calculer la rentabilité de l’émission. Pour cela on utilise un TRI ( oui encore ! Quand le prix d’émission est égale à la valeur nominale et au prix de remboursement, alors le taux d’intérêt actuariel est égal au taux d’intérêt de l’emprunt. Si le prix d’émission est inférieur à la valeur nominale qui est elle inférieure au prix de remboursement, alors le taux d’intérêt actuariel est supérieur au aux d’intérêt de l’emprunt. L’inverse est vrai aussi.

Exemple La société Y émet 10000 0 boursables in fine au nominale, soit 1000€. La valeur de remboursement de chaque titre est de 1100€ et le taux nominal est égal à 5% . Trouver le taux actuariel. La séquence de flux est ici : ( -1000 , 50 , 50 , 50 , 50 , 1100+50 } TRI =-1000 50 1150 TRI (7%) -10,7 TRI 177,86 (0,03 x-lO,7 – 0,07 x 177,86) = 0,0677 = (-10,7 – 177,86) Valeur de marché d’une obligation : La valeur sur le marché obligataire d’une obligation varie énormément en fonction de l’offre et de la emande et du taux d’intérêt.

Elle est quasiment toujours différente de la valeur d’émission , nominale ou de remboursement. Lorsque les taux du marché augmentent , le cours de l’obligation diminue et inversement. Pour calculer la valeur d’une obligation à un instant t on utilise la formule pourcentage et d la durée entre le dernier paiement et la date du jour. Le CIC peut s’exprimer aussi en pourcentage grâce à : Vn Le prix d’une obligation à une date t requiert le CIC. Pour ce prix on utilise : Prix de l’obligation = Cours au pied du coupon + Coupon couru

Le cours au pied du coupon étant le cours au dernier versement de l’obllgation. Ajouter le coupon couru permet de connaître en pourcentage le cours actuel de l’obligation. Une obligation Y de taux facial distribuant un coupon le 09/05 de chaque année pendant encore 5 ans, cotant pied de coupon 108 le 12/08/n de nominal égal à 2000E. Au 12/08/n , 96 jours se sont écoulés depuis le détachement du dernier coupon. La durée t est donc égale ? 96 Calculer au 12/08/n (en t) , le coupon couru, le cours plein coupon, la valeur de l’obligation et le taux de rendement actuariel de l’obligation.