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L TP Caucadis – Vitrolles SVT / BTS Note Technique Techniques Quantitatives de Gestion Mathématiques Financières : l’essentiel Les IO formules incontournables (Fin de période) Sni* to View Marc ROMANO 1998/99 Rappels d’algèbre Taux proportionnel – Taux équivalent Taux Proportionnel Exemple : taux mensuel t proportionnel à un taux annuel de Taux équivalent Exemple : taux t mensuel équivalent à un taux i annuel de 12% (ou 0. 488%) Capitalisation – Actualisation Valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un aux i d’une série de versements de 500 par mois, versés en fin de période pendant 8 ans au taux de par an ? Etape 1 : taux mensuel équivalent à 5,1 5% annuel Etape 2 : calcul de la valeur future Problème corollaire : montant de l’annuité a pour constituer un capital Vn De la formule ci-dessus, on peut facilement déduire a en supposant Vn connu : Avec les mêmes données que l’exemple précédent (taux et durée), combien aurait-il fallu verser mensuellement pour obtenir un capital de 100. 00 au terme des 8 années ? Le calcul est direct (nous connaissons déjà le taux mensuel équivalent). Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de

période Une assurance vie propose deux formules en cas de décès : Versement d’un capital unque de 500. 000 F Versement d’une rente annuelle de 50. 000 pendant 12 ans En considérant un indice du coût de la vie de 2 % par an, laquelle des deux formules est la plus intéressante ? Il faut calculer la valeur actuelle des 12 versements annuels de 50. 000 F. n appliquant la formule d’actualisation des annuités onstantes : Il est donc beaucoup plus intéressant de cholsir la rente annuelle pendant 12 ans (à condition que le bénéficiaire survive, lui). Prenons le même problème, mais avec un taux d’inflation de 8 Le calcul d’actualisation donne dans ce cas une Vo de 376. 803,90 F. On aura donc intérêt à préférer le versement immédiat. Problème corollaire : mont ité a connaissant Vo, le connaissant Vo, le taux et la durée (problème de l’annuité de remboursement de crédit). n ami vous demande de lui prêter 1 0,000 F, qu’il se propose de ous rembourser en 12 mensualités. Quel montant de mensualité devez-vous lui demander pour vous assurer un taux de 5 % ? Calcul du taux proportionnel mensuel à 5 % annuel : Calcul de l’annuité : Ce n’est pas encore de l’usure ! Calcul du premier amortissement d’un emprunt Rappel : une annuité de remboursement (a) comprend une partie d’amortissement du capital emprunté (A) et une partie d’intérêts sur le capital. Soit un emprunt de 100. 000 F remboursable en 10 annuités à 5 Calculez : 1.

Le montant de l’annuité constante a 2. Le montant de l’amortissement Al compris dans la première annuité 3. Vérifiez que a – Al (autrement dit, la part des intérêts comprls dans la première annuité) est égal à 5 % du capital emprunté. Calcul de l’annuité constante a Calcul de la part en capital de la première annuité : Part des intérêts : soit très exactement 5 % du capital emprunté, ce qui est normal : dans la première annuité, la totalité du capital produit des intérêts pendant toute la première période. Calcul dun amortissement connaissant le précédent ou le suivant

Dans le même exemple que ci-dessus, quel est la répartition entre capital et intérêt des et 4ème annuités ? PZGF3Cfd des intérêts se déduit simplement en retranchant du montant de l’annuité l’amortissement du capital. Annuité part en Capital Intérêts A2 8. 347,98 4. 602,48 8. 765,38 4. 184,64 9. 203,65 3. 748,81 Calcul du capital remboursé Rp après paiement de la pème Connaissant le calcul de Al en fonction de Vo, il est possible de remplacer Al par Cette formule peut être simplifiée, en éliminant i, et devient • (9bis)

Toujours dans l’exemple ci-dessus, calculez le montant du capital remboursé après paiement de la 3ème échéance. Vérification : Nous avons calculé tout à l’heure le montant des amortissements en capital des 4 premières échéances. On peut donc vérifier que la somme des amortissements des trois premières échéances est bien égale au montant calculé : 7. 950,46 8. 347,98 + 8. 765,38 Compte tenu des arrondis successifs, l’écart d’I centime n’est pas significatif. Calcul du capital VP restant à rembourser après paiement de la pème annuité (10)

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