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Énoncés et corrections : Sandra Delaunay Ex07 Sujets de l’année 2005-2006 Devoir à la maison Exercice 1 Soient a, b, c des réels vérifiant a2 + 62 + c2 1 et P la matrice réelle 3 x 3 suivante : a ab ac p – Dab b2 bcn ac bc c2 or2s Sni* to View 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et lm P. 3. Soit Q – – P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = Rou C), et u un endomorphisme de E.

On suppose u nilpotent, ‘est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un — o. 1. Montrer que u n’est pas inversible. valeurs propres de A sont —1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés. 3. Démontrer que A est diagonalisable et donner une base de R3 dans laquelle la matrice de u est diagonale. 4. Trouver une matrice P telle que P-1 AP soit diagonale. [0025811 Exercice 5 Soit a E Ret A la matrice suivante A=ooa1C al O 1 . Calculer

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le déterminant de A et déterminer pour quelles valeurs de a la matrice est inversible. 2. Calculer A—l lorsque A est inversible. Correctlon

Exercice 6 no soit A = (002582] 2 OF Exercice 8 Soient A et B des matrices non nulles de Mn (R). On suppose que 1. Démontrer que lm B C ker A. 2. On suppose que le rang de A est égal à n — 1, déterminer le rang de B. [002585] Examen Exercice 9 Soit a R et Aa e M3 (R) la matrice suivante -1 00+1 Aa=01 -2 Première partie 1 . Factoriser le polynôme caractéristique PAa (X) en produit de facteurs du premier degré. 2. Déterminer selon la valeur du paramètre a les valeurs propres distinctes de Aa et leur multiplicité. 3. Déterminer les valeurs de a pour lesquelles la matrice Aa est iagonalisable. . Déterminer selon la valeur de a le polynôme minimal de Aa . Seconde partie : On suppose désormais que a = O on note A = AO et f l’endomorphisme de R3a rice A. PAGF on a N k O. Soient N e Mn (C) une matrice nilpotente d’ordre m et A E Mn (C) une matrice telle que AN = NA. 1. Déterminer un polynôme annulateur de N. En déduire le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de N. 2. Déterminer les valeurs propres de N. 3. Démontrer que det(l + N) = 1 4. On suppose A inversible. Démontrer que les matrices AN et NA—I sont nilpotentes. En déduire que et(A + N) = det A 5.

On suppose A non inversible. En exprimant (A + N)k pour tout k E N, démontrer que det(A + N) = O. 4 [002586] Rattrapage Exercice 10 soit A – e M2 (R), montrer que A est diagonalisable sur R. [002587] Exercice 11 Soit N une matrice nilpotente il existe q N tel que N q Montrer que la matrice I- Déterminer une matrice A e M2 (R) telle que, pour tout n Fn+l = An définie par la relation de récurrence Fn+l = 2. Montrer que A admet deux valeurs propres réelles distinctes que l’on note M etÀ2 avec Àl < 3. Trouver des vecteurs propres El et E2 associés aux valeurs ropres XI et R2 , sous la forme 4.

Déterminer les coordonnées du vecteur FO dans la base (El , E2 on les note xl etx2 . avec 5. Montrer que F-n+l PAGF s OF plan vectoriel d’équation ax + by + cz O. L’image de P est le sous-espace de R3 engendré par les vecteurs colonnes de la matrice P. Sachant que dim ker p + dim lm p = dim RB = 3, on sait que la dimension de l’image de P est égale à 1, c’est-à-dire que l’image est une droite vectorielle. En effet, les vecteurs colonnes de P sont les vecteurs ab bc c’est-à-dire Obo. Le sous-espace lm P est donc la droite vectorielle engendrée par e vecteur 3. oit Q = I- p, calculons P2 , PQ, QP et Q2 . 02 et que son image de était la droite vectorielle engendrée par le vecteur (a, b, c). Par ailleurs, on aP2=P, égalité qui caractérlse les projecteurs, l’endomorphisme de matrice p est donc la projection sur lm P suivant la direction ker p. soitXER3,ona QX=O IX- px = O px -X x e Im P, ainsi ker Q = lm P. D’autre part, 002 b + c2 —ab 1 — a2 —ab —bc —bc 1 — c -ab 1 – b2 -bc O O -ab a2 + c2 On a dim lm Q = 2 et les vecteurs colonnes de Q vérifient l’équation ax+ by + cz = O, ainsi lm Q ker P.

L’égalité Q2 = Q prouve que Q est également un projecteur, c’est la projection sur lm Q dirigée par ker Q. Correction de l’exercice 2 Soit Eun espace vectoriel sur un corps K (K = Rou C), et u un 1. Montrons que u n’est pas inversible. On a : û = det un = (det u)n , d’où det u = O, ce qui prouve que u n’est pas inversible. PAGF 7 OF (O}. L’endomorphisme u admet donc O comme unique valeur propre, le sous-espace propre associé est ker u. Correction de l’exercice 3 Soit M la matrice de R4 suivante 100 0-1 OCI 70 030 1 . Déterminons les valeurs propres de M et ses sous-espaces propres.

Les valeurs propres de M sont les réels tels que det(M —À l) = O -x det(M -À l) – 7 8 OF 3z, 3z 3t 2x-z- 21x +6t 3z ainsi, E3 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur u3 – (1 E-3 (X e R4, MX- 3X} + 6t P—l MP, pour k e N exprimons M k en fonction de Dk , puis calculons M k On a 2000 no -2 00 n donc Dk=o O O 000300 000-3 Mais, M = PDP-I , d’où, pour k e N, M k = (PDP-I PDk P-1 pour calculer M k, il faut donc déterminer la matrice qui exprime les coordonnées des vecteurs de la base canonique de R4 dans la base (ul u2 , u3 , u4 On résout le système, et on a + 7u2 – 2u3-