LectureNotes2LicST2014CA

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UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENNE(I) FACULTÉ DES MATHÉMATIQUES DEPARTEMENT D’ANALYSE Notes de Cours du module Analyse Complexe (Math 4) Snipe to vieu par LAADJ Tou… k(2) Pour Deuxième année Lic Domaine : Sciences e Février 2014 orsg USTHB : Bab Ezzouar Alger, Algérie. Page Web : http://perso. usthb. dz/-tlaadj/ Table des matières Description du Cours . 1. 1 Fonctions uniformes et multiformes . 1. 1. 2 Fonctions inverses 1. 1. 3 Transformations 1. 1. 4 Limites 1. 1. Continulté 1 Fonctions élémentaires 1. 2. 1 OF sg . 10 rigonométriques inverses 1 . 2. 9 Fonctions hyperboliques inverses . 2 Dérivation dans le domaine complexe 2. 1 Domaines dans le plan complexe 2. 2 Fonctions holomorphes 17 2. 2. 1 Dérivées . 2. 2. 2 Conditions de Cauchy-Riemann . 2. 2. 3 Fonctions harmoniques • 2. 2. 4 Règles de dérivation 2. 2. 5 Règle de l’Hôpital 22. 6 sg . 15 .. 14 . 18 .. 19 21 connexes 3. 3. 2 Théorème de Cauchy . 3. 3. 3 prlmitives et intégration . 3. 3. 4 Formule intégrale de Cauchy 4 Séries in… ies, séries de Taylor, séries de Laurent 35 4. 1 Séries de

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fonctions 4. 1. 1 Convergence absolue 4. 2 Séries entières 4. 2. 1 Rayon de convergence 4. 3 Séries de Taylor Cauchy . . 30 3. 3. 1 Domaines simplement ou multlplement 30 … 36 32 . 33 . 36 . 37 . 38 résidus 43 5. 1 Résidus…. 5. 1. 1 Calcul des résidus . 5. 2 Le théorème des résidus 46 5. 3 Application du théorème des résldus 5. 3. 1 Théorèmes particuliers utilisés pour le calcul Calcul d’intégrales dé… nies diverses . d’intégrales 5. 3. 2 . 47 . 43 48 50 Application aux transformées de Fourier . 5. 3. 3 Références 57 Objectif du Cours L’objectif du module Analy PAGF s OF sg Math 4) est de maitriser des résidus Résultats d’apprentissage À la … n du cours, l’étudiant doit avoir une bonne compréhension de la théorie des fonctions complexes à variable complexe et devrait être en mesure d’appliquer ces connaissances pour résoudre les exercices dans une variété de contextes. En particulier, l’étudlant doit être capable de Comprendre ce qu’une dérivation complexe est.

Citer, tirer et appliquer les équations de Cauchy-Riemann. Euectuer l’intégration curviligne de fonctions complexes. Comprendre et appliquer le théorème de Cauchy et la formule ntégrale de Cauchy Étudier les propriétés de convergence d’une série de puissance complexe. Appliquer les théorèmes de Taylor et de Laurent pour obtenir des développements en série de puissance. Identi_.. er et classi… er les singularités de fonctions complexes et trouver des résidus.

Tirer et appliquer le théorème des résidus pour calculer des intégrales réelles en utilisant des résidus. pi Représentation graphique des nombres complexes 0. 2. 1 0. 3 Courbes dans le plan complexe .. Forme polaire des nombres complexes . 4 0. 3. 1 Formule de De Moivre 0. . 2 Racines d’un nombre complexe . L’ensemble des nombres complexes Question : Trouver un no PAGF 7 OF ion de l’équation sont égaux si et seulement si et Im (z) = lm (z O) : b) Si y O on dit que z est réel, si x O on dit que z est un imaginaire pur. ) Le nombre complexe z x 0. 1. 1 iy est appelé le conjugué de z. Opérations sur les nombres complexes Addition : (x + yi) + (u + vi) = (x + u) + (y + v) i: Soustraction : (x + yi) (u • vi) = (x Multiplication : (x + yi) (u Division : x + yi x + yi u u+viu vi xvi + yui vi) = Xu + xvi BOF sg yui + yvi2 – Xu suivantes • p 1)x2 jxj et x2 = jxj2 si x 2 R (2) z 2 jzj2 si lm (z) O Remarque 6 Si z et w sont deux nombres complexes tels que w O, alors on jwj2 Exemple 2 2+31 2 0. Un nombre complexe a i PAGF sg e considéré Si P (x; y) désigne un point du plan complexe correspondant au nombre complexe z = x + iy, nous voyons que x = r cos ; où r y = r sin ; x2 + y 2 = jx + iyj est le module ou la valeur absolue de z x + iy, et est appelé l’amplitude ou l’argument de z = x + iy, noté arg z, est l’angle que fait le vecteur OP avec le demi-axe positif Ox. o On en tire z=x+iy r (cos + i sin ) ; 0. 3. Forme polaire des no xes