Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la langueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème permet notamment de calculer rune de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique.
Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si les mathématiciens grecs en connaissaient probablement une démonstration avant Euclide, uteur dans ses Éléments de la plus ancienne qui nous soit Swipe Lo nexL page parvenue, rien ne per le résultat a vraisem dans plusieurs autre Les premières démo or 4 agore. Par ailleurs Indépendamment posent en général sur des méthodes de calcul d’aire par decoupage et déplacement de figures géométriques.
Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème. Divers autres énon énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, ? es figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère. Un triangle
Les deux côtés adjacents sont appelés cathètes et le côté opposé est l’hypoténuse. La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante : Théorème de Pythagore — Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit. En particulier, la longueur de Phypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté. Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur.
Toutefois l’élévation au carré (algébrique), qui n’a de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction d’un carré (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème s’appuient d’ailleurs sur une égalité d’aires entre le carré construit sur Vhypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés. En nomm PAG » OF d sur l’hypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans l’implication suivante .
Théorème de Pythagore — Si un triangle ABC est rectangle en C, alors ABA2 = ACA2 + gcA2. Avec les notations usuelles AB c, AC b et BC a (cf. figure ci- dessous), la formule s’écrit encore : aA2+bA2 = cA2. Triangle ABC rectangle en C avec les notations AB=c, AC=b et BC=a. Par contraposée Théorème — Si ABA2 n’est pas égal à ACA2 + BCA2 alors le triangle n’est pas rectangle en C. Récproque L’implication réciproque est également vraie : Réciproque du théorème de Pythagore — Si ABA2 = ACA2 + BCA2 alors le triangle ABC est rectangle en C.
Pour une formulation sans notations des sommets, il faut éviter d’utiliser le terme « hypoténuse qui n’est pas d’usage pour un triangle quelconque. Réciproque du théorème de Pythagore — Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’an leo osé au plus grand côté, et le plus grand côté de ce tri ypoténuse. PAGF’3CFd est l’angle opposé au plus grand côté, et le plus grand côté de ce triangle est son hypoténuse. ar contraposée de la réciproque • Théorème — Si un triangle ABC n’est pas rectangle en C, alors ABA2 nest pas égal à ACA2 • 302. La réciproque se déduit du théorème lui-même et d’un cas d’« égalité » des triangles : si on construit un triangle rectangle en C de sommets A, C et B’, avec CB’ = CB, on a AB = AB’ par le théorème de Pythagore, donc un triangle isométrique au triangle inltlal (les 3 côtés sont 2 à 2 de même longueur). L’angle en C du triangle initial ABC, identique à celui du triangle AB’C, est donc droit.
Triplets pythagoriciens Quand trois nombres entier vérifient la même relation que celle donnée par le théoreme de Pythagore pour les côtés d’un triangle rectangle, c’est-à-dire que le carré du plus grand est la somme des carrés des deux autres, on les nomme « triplets pythagorlciens Le plus simple et le plus connu est le triplet (3,45) : 32 +42 = 52. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les longueurs des côtés sont multiples de (3, 4, 5) est rectangle.
