I- Symétrie axiale ou orthogonal

I- Symétrie axiale ou orthogonal

PLAN INTRODUCTION l- Symétrie axiale ou orthogonal A- Propriété 1- Définition 2- Involution 3- Conservation 4- Exemples B- Construction du symétrique d’un point M par rapport à une droite d – À la règle graduée et à l’équerre 2- Au compas seul – Symétrie centrale 2- Conservation 3- Exemple Sni* to View B- Complexes et symétrie centrale C- La construction du symétrique d’un point M par rapport à un point n Ill- TRANSLATION 1- Vocabulaire 2- Propriétés des translations 3- Egalité de deux vecteurs : CONCLUSION transforme tout point M en l’unique point M’ tel que d soit la médiatrice du segment [MM’].

Autrement dit : elle laisse tous les points de d invariants et transforme tout point M non situé sur d en le point M’ tel que • la droite (MM’) est perpendiculaire à l’axe de symétrie d , le milieu du segment [MM] appartient à l’axe de symétrie d. Le point M’ est alors appelé le symétrique de M par rapport ? l’axe de symétrie d.

Par rapport à d, deux figures du plan sont dites symétriques lorsque l’une est l’image de l’autre par cette application, et une figure est dite symétrique lorsqu’elle est symétrique d’elle-même, c’est-à-dire globalement invariante par

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cette transformation. La droite d est alors dite axe de symétrie de la figure. 3- Involution La symétrie axiale est — comme toute symétrie — une involution, c’est-à-dire qu’on retrouve le point ou la figure de départ si on l’applique deux fois. En particulier, c’est une bijection. – Conservation La symétrie axiale est une isométrie affine ; elle conserve : l’alignement (la symétrique d’une droite est une droite), le parallélisme (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles), les distances, les angles géométriques (le symétrique d’un angle est un angle de même mesure), es périmètres (la symétrique d’une figure est une figure de même périmètre), les aires (la symétrique d’une figure est une figure de même aire). Mais elle ne conserve pas l’orientation (ni, par conséquent, figure est une figure de même aire).

Mais elle ne conserve pas l’orientation (ni, par conséquent, les angles orientés) : quand le point M tourne autour de O « dans le sens des aiguilles d’une montre son symétrique M’ tourne autour de O’ dans le sens inverse. 5- Exemples Si une droite est sécante à l’axe de symétrie d en M, il en sera de même pour sa symétrique. Si une droite est parallèle à l’axe de symétrie d, il en sera de Si une droite est perpendiculaire à l’axe de symétrie d, elle est sa propre symétrique.

Le symétrique par rapport à d d’un cercle de centre O est le cercle de même rayon et de centre O’, le symétrique de O par rapport ? d. 1-À la règle graduée et à l’équerre Tracer la droite d. placer le point M distinct de la droite d. Tracer la droite passant par M et perpendiculaire à la droite d et noter I le point d’intersection des deux droites. Placer sur la droite (Ml) le point M’ symétrique de M par rapport ? a droite d tel que Ml = IM’. Placer le point M distinct de la droite d. lacer deux points distincts A et B sur la droite d. Tracer l’arc de cercle de centre A et de rayon AM. Tracer l’arc de cercle de centre B et de rayon BM. Les deux arcs de cercle se recoupent en un point M’ symétrique de M par rapport à d. ll- Symétrie centrale symétrique de M par rapport à d. La symétrie centrale est une transformation géométrique. Elle se réalise à partir d’un point fixe noté Q appelé centre de symétrie. Elle transforme tout point M en un point image M’ tel que le point Q soit le milieu du segment [MM’].

Comme toute symétrie, c’est une involution, c’est-à-dire qu’on retrouve le point ou la figure de départ si on l’applique deux fois. En particulier, c’est une bijection. 1- Conservation La symétrie centrale est une application affine ; elle conserve : les alignements (les symétriques de trois points alignés sont alignés), parallèles). Elle transforme même toute droite en une droite qui lui est parallèle, puisque c’est une homothétie (de rapport -1).

Lorsque l’espace affine est muni d’une structure euclidienne, c’est même une isométrie affine (un déplacement si la dimension de ‘espace est paire et un antidéplacement si elle est impaire) ; elle conserve : même mesure) et même, dans le plan, les angles orientés, 2- Exemple Par rapport à un point Q, le symétrique de n est Q ; le symétrique d’un segment est un segment ; le symétrique d PAGF point n, le symétrique de Q est Q ; le symétrique d’un arc de courbe est un arc de même longueur ; la symétrique d’une droite d est une droite parallèle à d ; le symétrique d’un cercle de centre O est le cercle de même rayon et de centre le symétrique de O. A- Complexes et symétrie centrale Dans le plan euclidien, la symétrie de centre n est la rotation de centre Q et d’angle TT.

Dans le plan complexe, soit co l’affixe de n et z l’affixe de M L’affixe z’ de M’ est B- La construction du symétrique d’un point M par rapport à un point Q Placer le point n et le point M distinct de n. Tracer la droite (QM). Tracer le cercle de centre Q et de rayon OM. Les deux points d’intersection entre le cercle et la droite sont le point M d’un côté et le point M’ symétrique de M par rapport à n de l’autre. Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la ême direction- II y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers B ou bien de B vers A Le déplacement de la figure a été effectué : – dans la direction de la droite (AB) – dans le sens A vers B, que l’on indique par la flèche – d’une longueur égale à AB.

On dit que le dessin en position 3 est l’image du dessin en position A par la translation ui transforme A en B ou, autrement dit, vecteur . Construire l’image dune figure par une translation revient ? faire glisser cette figure dans une direction, un sens et avec une longueur donnée. Un tel glissement n’entraîne pas de déformation ni de hangement de disposition . Propriétés : Dans une translation ; – les longueurs; – le parallélisme; – la perpendlcularlté; – les anglessont conservés. une translation transforme une droite en une droite parallèle. – Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable. Pour construire l’image d’une figure géométrique, on ne construit donc que l’image de ses points caractéristiques : – pour un segment, ses extrémités; – pour un triangle, ses trois sommets; – pour un cercle, son centre et son rayon. Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si . – a. La translation qui transforme A en g transforme aussi C en D; – b. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme. (éventuellement aplati) ; e cours permet de découvrir la notion de figures symétriques par rapport à une droite. Il montre comment construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’un cercle et met en évidence les propriétés de « conservation » de la symétrie axiale . conservation des distances, de l’ali nement, des angles et des aires. conservation des distances, de l’alignement, des angles et des