PLAN INTRODUCTION l- Symétrie axiale ou orthogonal A- Propriété 1- Définition 2- Involution 3- Conservation 4- Exemples B- Construction du symétrique d’un point M par rapport à une droite d – À la règle graduée et à l’équerre 2- Au compas seul – Symétrie centrale 2- Conservation 3- Exemple Sni* to View B- Complexes et symétrie centrale C- La construction du symétrique d’un point M par rapport à un point n Ill- TRANSLATION 1- Vocabulaire 2- Propriétés des translations 3- Egalité de deux vecteurs : CONCLUSION transforme tout point M en l’unique point M’ tel que d soit la médiatrice du segment [MM’].
Autrement dit : elle laisse tous les points de d invariants et transforme tout point M non situé sur d en le point M’ tel que • la droite (MM’) est perpendiculaire à l’axe de symétrie d , le milieu du segment [MM] appartient à l’axe de symétrie d. Le point M’ est alors appelé le symétrique de M par rapport ? l’axe de symétrie d.
Par rapport à d, deux figures du plan sont dites symétriques lorsque l’une est l’image de l’autre par cette application, et une figure est dite symétrique lorsqu’elle est symétrique d’elle-même, c’est-à-dire globalement invariante par
Mais elle ne conserve pas l’orientation (ni, par conséquent, les angles orientés) : quand le point M tourne autour de O « dans le sens des aiguilles d’une montre son symétrique M’ tourne autour de O’ dans le sens inverse. 5- Exemples Si une droite est sécante à l’axe de symétrie d en M, il en sera de même pour sa symétrique. Si une droite est parallèle à l’axe de symétrie d, il en sera de Si une droite est perpendiculaire à l’axe de symétrie d, elle est sa propre symétrique.
Le symétrique par rapport à d d’un cercle de centre O est le cercle de même rayon et de centre O’, le symétrique de O par rapport ? d. 1-À la règle graduée et à l’équerre Tracer la droite d. placer le point M distinct de la droite d. Tracer la droite passant par M et perpendiculaire à la droite d et noter I le point d’intersection des deux droites. Placer sur la droite (Ml) le point M’ symétrique de M par rapport ? a droite d tel que Ml = IM’. Placer le point M distinct de la droite d. lacer deux points distincts A et B sur la droite d. Tracer l’arc de cercle de centre A et de rayon AM. Tracer l’arc de cercle de centre B et de rayon BM. Les deux arcs de cercle se recoupent en un point M’ symétrique de M par rapport à d. ll- Symétrie centrale symétrique de M par rapport à d. La symétrie centrale est une transformation géométrique. Elle se réalise à partir d’un point fixe noté Q appelé centre de symétrie. Elle transforme tout point M en un point image M’ tel que le point Q soit le milieu du segment [MM’].
Comme toute symétrie, c’est une involution, c’est-à-dire qu’on retrouve le point ou la figure de départ si on l’applique deux fois. En particulier, c’est une bijection. 1- Conservation La symétrie centrale est une application affine ; elle conserve : les alignements (les symétriques de trois points alignés sont alignés), parallèles). Elle transforme même toute droite en une droite qui lui est parallèle, puisque c’est une homothétie (de rapport -1).
Lorsque l’espace affine est muni d’une structure euclidienne, c’est même une isométrie affine (un déplacement si la dimension de ‘espace est paire et un antidéplacement si elle est impaire) ; elle conserve : même mesure) et même, dans le plan, les angles orientés, 2- Exemple Par rapport à un point Q, le symétrique de n est Q ; le symétrique d’un segment est un segment ; le symétrique d PAGF point n, le symétrique de Q est Q ; le symétrique d’un arc de courbe est un arc de même longueur ; la symétrique d’une droite d est une droite parallèle à d ; le symétrique d’un cercle de centre O est le cercle de même rayon et de centre le symétrique de O. A- Complexes et symétrie centrale Dans le plan euclidien, la symétrie de centre n est la rotation de centre Q et d’angle TT.
Dans le plan complexe, soit co l’affixe de n et z l’affixe de M L’affixe z’ de M’ est B- La construction du symétrique d’un point M par rapport à un point Q Placer le point n et le point M distinct de n. Tracer la droite (QM). Tracer le cercle de centre Q et de rayon OM. Les deux points d’intersection entre le cercle et la droite sont le point M d’un côté et le point M’ symétrique de M par rapport à n de l’autre. Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la ême direction- II y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers B ou bien de B vers A Le déplacement de la figure a été effectué : – dans la direction de la droite (AB) – dans le sens A vers B, que l’on indique par la flèche – d’une longueur égale à AB.
On dit que le dessin en position 3 est l’image du dessin en position A par la translation ui transforme A en B ou, autrement dit, vecteur . Construire l’image dune figure par une translation revient ? faire glisser cette figure dans une direction, un sens et avec une longueur donnée. Un tel glissement n’entraîne pas de déformation ni de hangement de disposition . Propriétés : Dans une translation ; – les longueurs; – le parallélisme; – la perpendlcularlté; – les anglessont conservés. une translation transforme une droite en une droite parallèle. – Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable. Pour construire l’image d’une figure géométrique, on ne construit donc que l’image de ses points caractéristiques : – pour un segment, ses extrémités; – pour un triangle, ses trois sommets; – pour un cercle, son centre et son rayon. Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si . – a. La translation qui transforme A en g transforme aussi C en D; – b. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme. (éventuellement aplati) ; e cours permet de découvrir la notion de figures symétriques par rapport à une droite. Il montre comment construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’un cercle et met en évidence les propriétés de « conservation » de la symétrie axiale . conservation des distances, de l’ali nement, des angles et des aires. conservation des distances, de l’alignement, des angles et des