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Chapitre 6 Formules int ‘ grales 6. 1 Int ‘ grales curvilignes Soity:t—— de l’espace R3 et V vecteurs. 6. 1. 1 D • finition = (x(t), y(t), z(t)) une courbe param ‘tr ‘e r’ guli • re or7 Sni* to View )) un champ de On appelle int grale curvil’gne de V le long de y, l’int grale : b V. ydt- p (x(t), y(t), z(t)) x (t) d’origine A et d’extr mit’ B. Alors on a : On dit que le travail d’un champ de gradient ne d • pend que des extr mit’ s de la courbe. reuve Il suffit de voir que la primitive de l’expression (x(t), y(t), z( )) x (t) x(t), y(t), z(t)) y (t) ay af (x(t), y(t), z(t)) z (t) est exactement la fonction 6. 1. 3 Th’ or’ me : Formule de Green-Riemann *AGF 9 rif 7 en passant en coordonn es polaires . 3p2 p dp de — 2 6. 2. INTEGRALES DE SURFACES 51 Une application au calcul d’aire plane Si y est une courbe plane ferm e de classe C 1 par morceaux d ‘ limitant un domaine compact simple D du plan, alors l’aire de D peut se

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calculer par dxdy – PAGF3C,F7 est le vecteur normal associ ‘ la param ‘trisation.

CHAPITRE 6. FORMULES INTEGRALES 52 Remarque La quantit do. Exemple INI dudv est appe ‘e • ment de surface » et not Calculer l’aire du tronc de c A ne + y 2 Ogagzgb. On a juste calculer l’int grale do, o’ le tronc de c’ ne E sera param tris par n x = r cos t Y = r sin t Soit V (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x,y, z)) un champ de vecteurs. On appelle Flux de V travers la surface l’int’ grale (V n) do D V • N dudv N est le vecteur normal associ o I INII 53 la param ‘ trisation et n = 6. 3.

THEOREME : FORMULE DE STOCKES-AMPERE Calculer le flux du champ de vecteurs V (x, y, z) sortant demia ph’ re Ed » quation z à O et x2+ 2 + z 1. travers la orient’ de la surface E de param ‘trisation y(t) alors on a la formule dite de Stockes-Amp Are : V •ydt (rot V N ) dudv Cette formule dit que la circulation d’un champ de vecteurs V le long du bord orient’ d’une surface E est • gale au flux du rotationnel de V travers cette surface E. Calculer le flux du champ de vecteurs V (x, —y, 2) sortant travers la demia sph re d’ • quation z à O et x2 +y2 +z2 1 en utilisant une int grale cuwiligne. osons IJ = (—y, x, xy). Alors on peut v’ rifler (exercice) que orn de R3 et limit par une surface orient » e qui est pr• cis • ment le bord orient’ de K : — Soit V un champ vectoriel de classe C 1 sur K. On a la formule dite d’Ostrogradsky : (V n) do — Div V dxdydz Cette formule dit que le flux de V sortant travers la survace ferm ‘e E est gal la l’int grale de la divergence de V dans le volume d’ limit’ par la surface. Calculer le flux du champ de vecteurs V (x3 , y 3 , z 3 ) sortant travers la sph re d » quation x2 + y 2 + z 2 = 1 en assant par le calcul d’une int ‘ grale triple.