gestion risque et portefeuilles

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Ch. 1: Critères de décision en avenir incertain L’incertitude se mesure par la situation dans laquelle se trouvent les agents économiques lorsqu’ils ignorent ce que sera leur environnement dans un avenir proche ou lointain. Chez Keynes, le futur est incertain en un sens radlcal tel qu’il est difficile de savoir ce qui se passera demain (quel sera un taux d’intérêt dans deux ans ? , par exemple). Cette incertitude n’est pas probabilisable ? la différence du risque. Les agents économiques sont forcément amenés à fonder leurs décisions sur des anticipations.

En finance, es préoccupations sont assez cruciales d’où l’importance de se poser quelques questions à savoir : Les décisions financi Pourquoi la modélisa Quels sont les outils a notion de risque PACF 1 org S »ge to ante en finance ? odéliser le risque ? Dangers, menaces, périls liés à certaines activités ou à certaines situations. Les progrès du calcul probabiliste appliqué aux risques les plus divers est à l’origine d’une véritable économie assurantielle et commerciale (couverture des aléas liés aux placements financiers).

Le constat qui peut paraître paradoxal est que, dans la réalité, la perception du risque s’est accrue, alors ue la couverture des risques et les techniques de prévision et de prévention

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semblent plus développées qu’auparavant. Le risque est aussi lié au fait que les décisions financières portant sur : le chiffre d’affaires prévisionnel, la détention d’actions cotées en bourse, l’approvi Swlpe to vlew next page l’approvisionnement en matières premières etc. , doivent prendre en compte des sommes futures (à être encaissées ou décaissées) dont le montant n’est pas connu avec certitude.

On dit qu’une somme est risquée si cette somme peut prendre différents montants possibles, chacun d’entre eux ayant une robabilité de réalisation définie. En d’autres termes : une somme est risquée si cette somme est une variable aléatoire dont on connaît la distribution de probabilité pouvant être discrète ou continue. Exemples NOI : Le chiffre d’affaires prévisionnel pour l’année prochaine d’une société A ayant deux montants possibles : 1000 avec la probabillté h 1 500 avec la probabilité h, est une somme risquée.

N 02 : La société B a également, pour l’année prochaine, un chiffre d’affaires prévisionnel risqué qui a une distribution normale d’espérance 100 et d’écart type 25. Il y a de chances que son chiffre d’affaires soit compris entre 50 et 150 ; (voir graphique 1). 150 Densité de probabilité 0 50 chiffre d’affaires prévisionnel 100 Graphique 1 : Chiffres d’affaires risqués L’analyse peut être faite sous l’angle du taux de rendement (R) qui est un taux aléatoire dont on connait la distribution de probabilité. Traité dans les prochains chapitres) Deux méthodes (subjective ou affective) pour déterminer la distribution de probabilité *AGF 9 rif q probabilité Subjective : hypothèse Objective : en partant de données historiques ou en partant de ‘économétrie : exemple test du Jarque Bera Exemple : Soit une distribution de fréquences qui fournit une estimation de la distribution de probabilité.

Sur 100 observations, on a obtenu la distribution de fréquence suivante : Taux de rendement Probabilités 0,05 Graphique : Taux de rendement risqués Résumé : En économie et finance, on définit une somme risquée comme une somme qui a plusieurs montants possibles. L’ensemble des sommes risquées se résume en parlant d’espérance mathématique de la distribution de probabilité de la somme. Calcul du D. R. C. par la méthode des cash-flows cumulés La question à se poser est de savoir pour chaque année ce qui reste de l’investissement initial à recouvrer à la fin de l’année.

Le processus continue jusqu’à ce que le restant à recouvrer devienne inférieur au bénéfice de l’année en cours. À ce moment, on procède par interpolation linéaire pour déterminer le nombre de jours nécessaires dans l’année pour recouvrer complètement le capital initial. Année 1 : 100 000 -10 000 90 000 Année 2 : 90 000 -30 000 = 60 000 Année 3 : 60 000 -35 000 25 000 on a donc D. R. C. = 3ans + (25 000/40 jours Ce qui fait Bans +225 jours ou Bans +7 mois 415 jours. b. Calcul du D. R.

C. par la méthode du cash-flow moyen Il s’agit de faire le rapport entre l’investissement initial et la moyenne empirique des cash-flows annuels. Ensuite le reste du quotient ainsi obtenu est multiplié par 360 jours. Pour le même projet, cash-flow moyen =31 000 D’OÙ 100 000/31 000 =3. 22581 DRC = 3ans +0. 22581 *360 jours = 3ans +81 jours c. Calcul du D. R. C. par la méthode graphique Il s’agit de faire une représentation graphique des cash-flows cumulés ainsi que l’investissement initial.

En abscissesD les années En ordonnéeso les cash-flows cumulés et l’investissement initial Le D. R. C. st donné par le point d’intersection entre la droite horizontale représentant l’investissement initial et la courbe obtenue en joignant par des segments de droite, les différents points ayant comme coordonnées les années et les cash-flows cumulés. L’estimation par Péquivalent certain (VNM) Axiome : un individu peut toujours déterminer l’équivalent certain d’un gain monétaire risqué.

Modélisation mathématique: Axiome de continuité de VNM Deux alternatives de sommes monétaires : A et 3 Sommes monétaires -p Somme monétaire Probabilité c L’axiome (3 de VNM) stipule que si A, B et p sont spécifiés à un ndividu, celui-ci peut toujours déterminer la somme c qui pour lui, rend les 2 alternatives équivalentes. La somme C est appelée cet équivalent certain, pour l’individu considéré, du gain risqué figurant dans l’alternative A 2. 3. La prime de risque Cf. ch. 3: 1. 2. « Le prix du risque » 3. espérance mathématique comme critère de décision financière en avenir incertain probabilisable 3. 1. Pour les valeurs monétaires Problématique : est Comment choisir entre les 3 loteries ? Ou comment les classer par ordre de préférence ? Existe-t-il un critère permettant ce classement ? Nous prenons comme critère de classement l’espérance mathématique. L’espérance de gain de la première loterie est de 100, celle de la deuxième est de 105 et celle du troisième est de 115. Avec le critère de l’espérance mathématique des gains (EMG) monétaires, le classement par ordre de préférence est donc C, B, A.

Ses limites Descriptif expérimental : L’approche de Bernoulli et le paradoxe du mendiant de Saint Petersburg. Dès le XVIIIème siècle, Bernoulli a démontré que l’utilisation du critère de l’espérance mathématique des sommes monetaires ne correspondait pas au comportement décisionnel de tous les gents économiques en exposant ce que l’on a appelé depuis « le paradoxe de Saint-Pétersbourg L’histoire du mendiant de Saint-Pétersbourg : Un pauvre mendiant de Saint-Pétersbourg n’avait, pour toute fortune, qu’un billet de loterie qul avait une chance sur deux de gagner 100 000 roubles.

Un riche commerçant lui propose de lui racheter son billet pour IO 000 roubles. Le mendiant accepte immédiatement. Si le mendiant s’était référé au critère de l’espérance mathématique des sommes monétaires il aurait dû refuser : en effet, l’espérance de gain de la loterie est de 50 000 roubles, ce ui est supérieur au prix de vente de 10 000 roubles. 3. 2.

Pour l’utillté Dans leur ouvrage fondamental publié en 1944, « Theory of games and economic behavior  » deux mathématiciens, Von Neumann et Morgenstern, ont établis une théorie de l’utilité qui fournit un critère de décision ratio Neumann et Morgenstern, ont établis une théorie de l’utilité qu fournit un critère de décision rationnelle face au risque Cette théorie permet une mesure du risque et il n’est pas excessif de dire qu’elle constitue un des piliers de la finance moderne.

Le modèle de Von Neumann et Morgenstern, appelé encore odèle de l’espérance mathématique de l’utilité, repose sur plusieurs axiomes concernant les préférences et l’attitude des individus face au risque. Si l’on suppose que les axiomes sont réalisés, il en résulte un Théorème fondamental Les AXIOmes de VNM Axiome 1 : Tout individu rationnel est en mesure d’exprimer ses préférences. Face à 2 alternatives risquées A et B, il peut toujours dire qu’il préfère A à B ou 3 à A ou que A et 3 sont indifférents ; Axiome 2 : Les chaix de chaque individu (rationnel) sont transitifs.

Si A est préféré à B et B à C, alors A est préféré à C ; Axiome 3 : un individu peut toujours déterminer l’équivalent certain d’un gain monétaire risqué. Modélisation mathématique de l’axiome NOI : Axiome de comparabilité Modélisation mathématique de l’axiome N02 : Axiome de transitivité Modélisation mathématique de faxiome NO 3 : Axiome de continuité Propriétés du Théorème de VNM Deux propriétés peuvent l’utilité de B.

Propriété 2 (appelée théorème de l’espérance de l’utilité) : rutilité d’un gain risqué est égale à Vespérance mathématique des utilités des sommes monétaires posslbles. Elle n’est pas égale à l’utilité e l’espérance mathématique des sommes monétaires. 3. 3. Choix rationnels et incertitude: aversion au risque, espérance d’utilité, espérance-variance La théorie des choix dans l’incertain et le critère espérance- variance (A-V), (paradigme) sont présentés.

Les choix financiers dans Pincertain et le critère de l’espérance de l’utilité : L’objectif est de déterminer la décision optimale parmi des alternatives conduisant à différents gains ou pertes aléatoires prenant un nombre fini de valeurs (WI, w2, wN) avec des probabilités respectives (Pl, P2, PN). Or peut s’interpréter omme la valeur positive (gain) ou négative (perte) du gain généré par une loterie, il s’agit de mettre sur point un critère qui devrait permettre de comparer des loteries différentes afin d’en choisir la « meilleure ». L’attrait » d’une loterie était censé, avant les travaux de Bernoulli et Cramer (début 19è slècle), fondé sur l’espérance mathématique de son gain : Selon cette conception, tout individu rationnel devrait être indifférent entre la loterie au résultat incertain et une somme certaine égale à et, entre plusieurs loteries, devrait préférer celle qui a la plus grande espérance de gain. Cet exemple simpliste a priori est en fait contredit par le comportement de la plupart des individus face au risque.

Exemple • On considère une loterie donnant avec des probabilités égales, soit O francs soit 100 000 fra considere une loterie donnant avec des probabilités égales, soit O francs soit 100 000 francs. La plupart des individus préfèrent une somme certaine de 50 000 francs à la somme aléatoire alors meme que Cette préférence pour le résu tat certain reflète l’aversion pour le risque qui est caractéristique de la plupart des agents économiques. Cette aversion est liée à la décroissance de l’utilité arginale de l’argent supplémentaire : les 50 000 francs.

L’utilité marginale de la richesse diminue et que « l’équivalent certain » de la loterie, qui dépend de chaque individu, est strictement inférieur à 50 000 francs. Ces idées ont été introduites par Bernoulli et Cramer, systématisées et rigoureusement formalisées par John Von Neumann (mathématicien) et en association avec Morgenstern (économiste) (VNM). Ils eurent formellement démontré que •  » tout individu obéissant à quelques principes de rationalité cherche à maximiser, non pas l’espérance de sa richesse, mais ‘espérance de l’utilité de sa richesse ».

Synthétiquement, le programme d’un individu en situation de choix aux conséquences aléatoires se résume à maximiser La fonction d’utilité LJ(. ) est spécifique et traduit les préférences de chaque individu. Elle est dépendante de deux variables : sa richesse initiale au moment de la décision et son aversion au nsque. Cependant, cette fonction d’utilité de la plupart des individus possède deux caractéristiques elle est croissante avec la richesse (on désire être toujours plus riche); dès lors, si elle est dérivable : IJ'(. )