Les Fractales Travaux Personnels Encadrés Problématique : Comment les fractales sont-elles représentées dans la nature et ont-elles un rôle ? fractales 5 Rouzic éo Lagarde Vincent Paulo Benjamin Enseignants : M. Badouraly Mme. Rollin Matière et Forme / L or 15 4 Sommaire : Introduction et plan I – Les fractales curiosités 1. Les courbes fractales 2. Les différentes 3.
Les caractéristiques des fractales 6 La côte de Bretagne . 2. Ill – Étude des fractales dans la nature 1. L’intestin grêle 12 a Protocole et Expérience . … 12 b. Calculs 13 c. Interprétation des résultats … 18 2. Les racines de blé 19 IV – Conclusion 21 Sources „ 22 Bibliographie/Sitographie …. 22 15 objets, la géométrie euclidienne atteint sa limite.
Mais les scientifiques ne renoncent pas, le mathématicien Benoit Mandelbrot, en généralisant les travaux des Français Gaston Julia et Pierre Fatou sur les Itérations des fonctions complexes, va créer en 1974 les termes synonymes d’ « objet fractal » et « fractale », du latin fractus signifiant « irrégulier ou brisé Ces objets mathématiques appelés fractales, lui permettront de faire n lien avec les objets naturels, et de montrer l’intérêt de cette nouvelle géométrie de la nature.
Citation de Mandelbrot :
I – Les fractales : curiosités PAGF 15 générateur réduite (sauf la première fois) et placée de façon à ce que les deux points aux extrémités soient les points des extrémités du segment à remplacer. Cette étape est appelé itératlon, c’est un processus que l’on peut répéter un certaln nombre de fois. Courbe de Von Koch au bout de 4 itérations Ainsi, pour fabriquer une variation de la courbe de Von Koch, il suffit juste de changer de générateur : Variante de la courbe de Von Koch au bout de 3 itérations Rq : la véritable représentation d’un objet fractal en athématiques est faite au bout dune infinité d’itérations. . Les différentes fractales Toutes les fractales ne sont pas construites à partir d’un initiateur et d’un générateur, mais c’est le terme d’ « itération » qui va revenir souvent. En effet, toutes les fractales sont construites en itérant un algorithme, qui diffère selon le type de fractale que l’on veut construire.
Aujourd’hui on distingue trois types de fractales en mathématiques linéaires : elles sont basées sur l’itération d’équations linéaires (ex : Courbe de Von Koch vu précédemment) on-linéaires : elles sont basés sur l’itération de nombres complexes aléatoires : on introduit un paramètre aléatoire dans l’Itération pour obtenir des formes tout à fait irrégulières. Cest l’une des principales utilisations des fractales, la modélisation de la nature. 5 itération Cette partie à la même structure que l’ensemble, à ceci près qu’elle n’est pas à la même échelle.
Autre exemple : Ensemble de Mandelbrot Quelques « zooms »plus tard Après s’être plongé dans l’ensemble de Mandelbrot, on retrouve la même structure, égèrement incliné. Rq : Ceci dit, dans la nature, à l’échelle nanoscopique les structures intimes de la matière (molécules, atomes… ) font que l’autosimilitude disparaît. b. L’irrégularité Il possède une forme soit extrêmement irrégulière, soit extrêmement interrompue ou fragmentée, et qu’elle que soit l’échelle d’observation. Cest pour cela qu’il est difficile de le décrire efficacement avec des termes de la géométrie traditionnelle. . Sa dimension En effet, les fractales possèdent leur propres dimensions. Mais d’abord revoyons les dimensions « classique Objets Mesure un point Représentations PAGF s 5 Dimensions mA3 * (cube, sphère… ) * « A » signifie exposant soit rnA2 signifie mètre carré et mA3 mètre cube. Tout d’abord on remarque qu’il y a un rapport entre la dimension d’un objet et son unité de mesure… Aussi toutes ces dimensions sont dites « entieres nous allons essayer de savoir la dimension d’une courbe fractale par exemple.
Avant cela nous allons voir comment « calculer » la dimension d’une droite(segment) et ensuite la dimension d’une figure plane. Pour calculer la dimension de ces objets, nous allons utiliser la méthode suivante : nous allons prendre un étalon de cet objet, ‘est à dire l’objet lui même mais en plus petit, et nous allons reporter sur notre objet un certain nombre de fois. segment de longueur on reporte l’étalon Un fois étalon de longueur n Soit L la longueur totale du segment. On prend un étalon de longueur n que l’on va reporter sur ce segment. Cet étalon sera reporté un fois.
On remarque que Un On fait de même pour la surface d’un carré : Soit un carré de côté et de surface LA2 Soit un petit carré de côté n et de surface nA2 apparaître le nombre 1 pour le segment, et le nombre 2 pour le carré. Ces nombres sont en fait la dimension de l’objet. On peut donc généraliser, soit N le nombre de fois que l’on reporte l’étalon de longueur n sur notre objet de longueur et soit d la dimension de l’objet , on a : Nous avons vu que pour calculer la dimension d’un objet géométrique, on utilise un étalon, c’est à dire l’objet lui même mais en plus petit.
On peut utiliser la même méthode pour les objets fractals puisqu’ils possèdent la propriété autosimilarité . Prenons comme exemple le chou-fleur qui est un bon exemple d’objet fractal. Pour calculer sa dimension, il suffit de casser le chou-fleur, et on obtient entre 12 et 14 branches chacune essemblant au chou-fleur entier et qui sont environ 3 fois plus petites que la branche principale. on obtient donc = 2,33. On peut en conclure que la dimension d’un objet fractal est « non entière ». Elle se situe entre deux. n objet fractal possède donc sa propre dimension, appelée dimension fractale qui quantifie le degré d’irrégularité et de fragmentation d’un ensemble géométrique ou objet naturel. II – Les fractales dans la nature 1. Les végétaux a. La fougère La fougère est une fractale naturelle très évidente, car dès le premier coup d’œil on peut apercevoir son auto – similarité. Avec l’aide de ces photographies on voit aisément qu’en partant de cette feuille de fougère et la partie observée, la simulation mathématique b. L’arbre un arbre est fractal lorsque ses branches maîtresses issues du tronc sont chacune des arbres en réduction.
Il en existe plusieurs sortes, l’arbre botanique bien sûr, l’arbre bronchique ou encore celui du système artériel. Léonard De Vinci a écrit que le diamètre de la branche initiale est égale à la somme des diamètres des 2 branches suivantes. Mais la raison de cette fractalité réside dans le fait que les ormones de crolssance de l’arbre sont sécrétées à l’extrémité de chaque branche, et donc pour une branche ou une autre, ou encore le tronc de l’arbre, la quantité de ces hormones est répartie de la même façon.
Cependant, la pousse des nouvelles branches est déterminée par la quantité dihormones reçues Ainsi chaque nouvelle branche prend la forme réduite de celle dont elle est issue. Le même modèle est donc réitéré ? différentes échelles. 2. La côte de Bretagne En 1975, Mandelbrot découvre la fractalité de la côte de Bretagne. Elle est considérée comme une fractale car sa longueur arie selon l’altitude à laquelle on la mesure. Et en utilisant un outil de mesure de plus en plus précis, on trouve des distances de plus en plus grandes donc on peut affirmer que cette fractale reprend le principe du flocon de Koch.
On peut augmenter la précision, galet par galet, grain de sable par grain de sable, molécule par molécule. 5 dans le cadre du lycée avec l’aide des professeurs de biologie présents à ce moment là. a. protocole et expérience : Le matériel nécessaire dans cette étude d’intestin grêle a été simple à se procurer. Nous avons eu besoin d’une lame du ommerce préparée contenant un morceau d’intestin grêle d’un félin. Nous avons choisi cette lame autant pour sa taille que pour sa facilité a être étudié avec les microscopes disponibles. ne webcam fixable sur microscope permettait de prendre des photographies de ces intestins et ensuite les enregistrer sur ordinateur. De plus, nous avons utilisé un microscope électronique, afin d’observer la lame à plusieurs échelles, et une lame micromètre, équipée d’une échelle à l’unité sur chaque zoom du microscope. Nous avons laissé l’assistante de biologie se harger de mettre en place le matériel. calculons que la surface interne du cylindre. En se basant sur les futures unités des mesures, la surface de l’intestin sera calculé en millimètre carré et non en mètre carré.
Nous savons que l’intestin grêle du chat mesure 2 mètres soient 2000 millimètre par conversion. Son diamètre est de 1,3 centimètres donc 13 millimètres et nous avons besoin du rayon, c’est à dlre le diamètre divisé par 2 soit 6,5mm (13mm/2). a formule de l’aire d’un cylindre est : Périmètre du cercle * longueur du cylindre (le tout en millimètres). Nous avons toutes es données nécessaires pour calculer le périmètre du cercle grâce à la formule : P avec r 6,5mm ce qui nous donne P – = 40,8 mm.
Le cercle de l’intestin mesure alors 40,8 millimètres. Maintenant que nous connaissons le périmètre du cercle du cylindre, nous pouvons calculer la surface de la phase SI c’est à dire : SI P * longueur de l’intestin, SI 40,8 * 2000 = 816000 mm2 sot 8,16 rn2. La surface de la phase SI mesure 816000 millimètres carrées. La phase S2 est plus complexe. Les mesures sont beaucoup plus approximatives et elles ont été faites à partir des images de l’échelle d’étalon :
