DM3 TS1 3spee Corrige 1

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TSI-3 spé maths rendre le lundi 8 novembre 2010. DM3 Exercice 1 . a) Justifier que : 100-1 [11] b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a : et IO 2n+1 0-1[11] c) On considère le no re Sni* to View Démontrer que M 102) 101)+8. En utilisant les résultats du b), d montrer que M est divisible par 11. Exercice 2 : On se propose de déterminer les couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation 7n- 3x2m = 1 (F) 1. On suppose m 4. Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions. . On suppose maintenant m 5. uls vérifiant la relation (F) ? (raisonner par l’absurde) (indication : on pourra étudier et utiliser les restes de la division par 5 des pulssances de 2) 3. Conclure , c’est-à dire , déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation Exercice 3 : On considère, pour tout n *, les entiers A = n 2 – 3n +6 et B = n -2. 1) Avec n = 79, calculer A et B , puis déterminer PGCD (A ; B) en utilisant un algorithme d’Euclide. )Démontrer que, pour tout n ona: A

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= n- 1 3) a)Démontrer que, pour tout a, bet k entiers relatifs, PGCD( a ; )En déduire l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles PGCD TSI-3 CORRIGE DM3 -1 donc 10 b)On sait d’après le cours PAG » OF d aura : an n[p] 10 Donc (9 101)+8 +1x(- 7×1 1) +822 Donc 11 divise M. 1. On suppose m 4 Si m = 1 la relation (F) s écrit 1) est un couple solution. Si m = 2 la relation (F) s écrit dans ) Si m = 3 la relatlon (F) s écrit . Si m = 4 la relation (F) s écrit (2 ;4) est un couple solution . 2. On suppose m 5 ; 7n=7n 1 donc (1 ; – 13 (impossible 12=1 7n- — 25 (imposslble 24=1 7n- 48 = 1 7n=49 n = 2 donc a.

Comme m 5 on peut écrire m = 5 + k avec k Ainsi la relation (F) devient : 7n – 3×25+ k = 1 7n – 3x25x2k=1 7n = 1 d’où 7r, b. 74 = 2401 = 75×32 +1 donc 74 et on en déduit que , pour tout k , 74kk Puis que 74k+1 74k+2 et enfin 74k+3 Or, dans la division euclidienne de l’entier n par 4, le reste est soit O, soit 1, soit 2, soit3, ce qui signifie que n s’écrit 4k ou 4k+1 ou 4k+2 ou 4k+ 3 avec k D’après ce qui précède, on peut affirmer que : 7n n 4k avec k Or on a démontré au 2. a. que 7n donc on peut en déduire que n divise 4. c. 74 2401 = 480×5 + 1 donc 74 et on en déduit que , pour tout PAGF3CFd