Topologie pour la Licence Cours et exercices Clemens Bergerl 24 Janvier 2004 Universit ‘ e de Nice-Sophia Antipolis, Laboratoire J. -A. Dieudonn Sni* to View e, 06108 Nice Cedex 2 Table des mati eface 1 Espaces m etriques 1. 1 Distances…. 1. 2 Adh • erence . 1. 3 Continuit•e 7 8 2 Espaces topologiques or85 4. 2 Composantes connexes . . 23 24 5 Espaces fonctionnels 5. 1 Espaces de Banach et de Hilbert 5. 2 Projection orthogonale et orthogonalit » e . 5. 3 Bases hilbertiennes . 5. 4 Th eor• eme de Stone-Weierstrass et s eries de Fourier 27 29 31 32 37 38 OF as de Hilbert.
Dans la recherche actuelle, la topologie joue un Ole ondamental aussi bien en Analyse Fonctionnelle qu’en G’ eom etrie Diff » erentielle ou encore en Topologie Alg ebrique. Ce cours (de 13 s’ eances d’une heure et demi) n’est cependant qu’une introduction aux notions de base. Il contient le strict minimum pour celui qui souhaite poursuivre les ‘ etudes en math ‘ ematiques. Comme la topologie repose sur relativement peu de connaissances aquises, elle Pr’ esente Foccasion id ‘ eale pour I » etudiant de combler d’ • eventuelles lacunes en logique ou en
Cest la raison pour laquelle la plupart des enonc’ es sont suivis d’une reuve compl ete_ Le dernier chapitre contient une collection d’exercices. Ces exercices servent la fois ‘a mieux familiariser I » etudiant avec les notions apprises en cours, et ‘a compr eter le cours l’a o’ u le temps n ecessaire manquait. En ce moment m • eme, le programme de Licence subit de profonds remaniements, dans le cadre de l’harmonisation europ eenne du syst eme universitaire. Il est fort probable qu’un cours sp ecialis ‘e de topologie n’aura plus sa place dans la Licence de demain.
Ceci est moins regrettable pour les concepts topologiques eux-m- emes (car ceux-l a s’introduiront tout seuls), que pour le -ole formateur du raisonnement topologique qui fait appel aussi bien a la perception OF pour le r nole formateur du raisonnement topologique qui fait appel aussi bien • a la perception spatiale qu » a la Pr’ ecision loglque. C’est Mathieu Thibaud qui a pris le soin de typographier la majeure partie de ce texte, aid e en cela par Julie D’ eserti, Nathalie et Laurie Canarelli, Nicolas Basbais et Laurence Mannucci.
A tous, un grand merci pour le temps et les efforts consacr’ es. 6 TABLE DES MATIERES Chapitre 1 Espaces m Distances efinition 1. 1 Un espace m etrique est un ensemble E muni d’une foction d ‘ erifiant pour tout triplet (x, y, z) E E 3 : a) d(x, y) = O x z Y b) d(x, y) = d(y, x) (sym ‘ etrie) c) d(x, y) d(x, y) + d(y, z) (in egalit’e triangulaire) une telle fonction est appel ee distance sur E. Exemple : Tout espace vectoriel norm e (E, — ) est un espace m retri ue d pour la . EXE distance d(x, y) = x -y . To ‘un espace m ‘ etrique (E, PAGF s 5 aurons l’occasion d’utiliser la norme x 2 xi 12+. lxn 12, la norme xl- xl I + . . + lxn l, ainsi que la norme x n sup(l xl l, . I xn l). Lemme 1. 2 Une distance d sur E v’ erifie pour tout (x, y, z) E E 3 l’in egalit’e Id(x, z)- d(y, d(x, y) Nous avons (par l’in egalit • e triangulaire) d(x, z) — d(y, z) d(x, y) et de mneme d(y, z) – d(x, z) d(y, x), d’O u (par sym ‘ etrie) Id(x, z) – d(y, d(x, y). D efinition 1. 3 Soit (E, d) un espace m etrique. La boule ouverte (resp. ferm ee) de centre a E et de rayon r > 0 (resp- r O) est d’ efinie par B(a, r) = {x e E I d(x, a) < r} (resp.
Bf(a, r) = {x e E I d(x, a) r}) Un voisinage d’un point a est une partie de E contenant une boule ouverte centr• ee en a. CHAPITRE 1. ESPACES METRIQUES Un ouvert de E est une partie de E qui est voisinage de tous ses points. un fermie de E est le compl’ ementaire d’un ouvert de E. Remarque : Dans un espace vectoriel norm ‘e (E, — ), B(a, r) est le translata e de B(O, r) par le vecteur a. Lemme 1. 4 Dans un espace rn’ etrique (E, d), toute boule ouverte est un ouvert, et toute boule ferm Yee est un ferm’ e. 6 OF as que B(x, s) c B(a, r).
Nous pouvons choisir s r – d(a, x) ; comme d(a, x) < r, il existe bien s > O, donc B(x, s) existe. Il reste a montrer que B(x, s) c B{a, r). Or si y c B(x, s), alors d(x, y) < s et donc d(a, x) + d(x, y) d(a, y) ; donc, d(a, y) < r et y E B(a, r). b) Il faut montrer que le compl ' ementaire d'une boule ferm ee est un ouvert, autrement dit ue pour tout x Bf(a, r), il existe B(x, s) inclus dans le compl ' ementaire de 3f (a, r). Posons s d(a, x) — r. Comme xe gf (a, r), d(a, x) > r et donc s > O d’O u l’existence de B(x. s). Il reste • a montrer que B(x, s) n Bf (a, r) e.
En effet, si y e B(x, s) alors d(x, y) < s, donc (par 1. 2) d(a,y) Id(a, x) — d(y, r ce qui montre que y e Bf (a, r). .2 Adh' erence efinition 1. 5 un point x d'un espace m ' etrique (E, d) adh a une partie A de E si tout voisinage de x rencontre A. Proposition 1. 6 LJn point x d'un es ace m etrique (E, d) adh' ere a A si et seulement s'il exi PAGF 7 5 efinition 1. 7 L'adh rence A de A est l'ensemble des points adh erents de A. Proposition 1-8 Soit A une partie d'un espace m • etrique E. Alors l'adh ' erence A de A est la plus petite (au sens de l'inclusion) partie ferm ee de E contenant A.
En particulier, A est ferm ‘ ee si et seulement si A —A 1. 3. CONTINUITE A C A car pour x A, tout voisinage de x rencontre A. Nous allons montrer que le compl ‘ ementaire de A est ouvert (A est alors ferm e). Par d ‘ efinition de A, nous savons que si x A, alors il existe un voisinage ouvert de x qui ne rencontre pas A. pour tout x E A choisissons un tel ouvert Ux et posons IJ = xeA Ux . Toute r eunion d’ouverts etant ouverte (cf. est une partie ouverte de E. Aucun des Ux ne rencontre A, 2. 2), u donc la r • eunion non plus, soit U E kA.
Inversement, si x E A, alors XE U par construction de IJ , d’a Enfin, A est le plus petit ferm• e contenant A. Pour cela, supposons A C F avec F ferm ‘e et montrons que A c F . De mani ‘ere ‘equivalente, montrons que E En effet, Si X il s’ensuit que XEU = E F ouvert qui ne rencontre pas A donc x E A. est dite continue en x E E si, pour toute suite (xn )nEN d » el ements de E qui converge vers x, la suite (f (xn d » el ements de E converge vers l’Image de x parf . Soit . lim f (xn ) = f ( lim xn ) E est dite continue si f est continue en tout x e E. Th eor• eme 1. 0 pour une application f : (E, d) (E , d), les quatre propri ‘ et ‘ es suivantes sont equivalentes : l) f est continue. Il) f (A) Ç f (A) pour tout A C E. Ill) L’image r’ eciproque de tout ferm ‘e de E est un ferm ‘ e de E. IV) L’image r • eciproque de tout ouvert de E est un ouvert de E. l) Il) Soit y E f c’est a dire qu’il existe x A tel que f (x) = y. Comme x e A il existe une suite (xn )nEN d’ el • ements de A qui converge vers x. Comme f est continue (hypoth ‘ ese l), f (xn ) converge vers f (x) = y. Comme xn A, nous avons f (xn ) E f (A).
Par cons’ equent, Ill) Soit Ac E un ferm ‘e. Par d’ efinition, Fimage r’ eciproque A=f-l – QA- (‘egalit•e E I f (x) e A} v’ erifie f (f —1 (A ÇA ( • egalit’e si f est surjective) si f est injective). Nous voudrions montrer que sous l’hypoth ese Il), A est ferm e. Nous allons montrer A = A, cf. 1. 8. Nou PAGF 5 On a f erm =f(f-l (A))cA f(A)cA ‘equivaut par d’efinition a’ Acf—l (A)=A. Ill) -a IV) Nous utilisons la suivante : pour toute application f , nous avons f-l Ekf-l Nous obtenons donc f-l (U ) =f-l (E . A) = Elf —1 (A D’apr• es
Ill) f -1 (A) est un ferm’e de E donc son compl’ ementaire est un ouvert U = f —1 (IJ w) l) Soit (xn )nEN une suite convergeant vers x. Il faut monter que sous l’hypoth ese IV), (f (xn )) converge vers f (x) dans (E , d c’est ‘a dire que toute boule ) contient presque tous les f (xn L’hypoth ese IV) implique que l’image r’ eciproque IJ = f — (x), )) est un ouvert de E ; comme f (x) E B(f (x), ), IJ contient x et il existe B(x, 6) cu . Comme (xn )neN tend 10 vers x, presque tous les xn appartiennent a B(x, b). par cons ‘ equent, presque tous les f (xn ) appartiennent af (B(x, 6)) c f (IJ ) c (x
