Sujet 1 devoir maths bac d

Sujet 1 devoir maths bac d

Exercice 1 5 points On note i le complexe de module 1 et d’argument 12. Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; u , v ) ,unité 1 cm). 1 . Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes les équations suivantes (les solutions seront données sous forme algébrique) : (1) : z 2 n 10 z 50 n O 2. a. Soit A le point d’affixe ZAC] 5 D Si Déterminer le module, un argument et la notation exponentielle de z A . b. Soit B le point d’aff conjugué de z A. Déterminer la notati bre complexe or 5 Sni* to View puis celle de B .

En déduire que 3 est l’image de A par une rotation de centre O dont on précisera l’angle. Construire le triangle OAB dans le repère donné et indiquer sa nature. 3. soit C le point d’affixe zc 0 02 21 3 . Montrer que l’image de C par la rotation de centre O et d’angle CIO/ 2 est le point D, d’affixe ZD002302i. Calculer la distance OC et construire avec précision le triangle OCD. 4. Soit K le milieu de [AC]. Calculer les affixes des vecteurs OK et DB puis montrer que les

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droites (DB) (DB)et (OK) sont perpendiculaires. on pourra utiliser le produit scalaire u. v 0 xu0 xvn n yun yvn ) Exercice 2 : 4 points une entreprise produit des objets qu’elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de éfauts • le défaut S de nature esthétique ; • le défaut F de fonctionnement. Un objet est déclaré parfait s’il ne présente aucun des deux défauts. On prélève un lot de 200 objets sur la production et on constate que : • le défaut S est observé sur 16 objets • le défaut F est observé sur 12 objets ; • 180 objets sont déclarés parfaits. 1.

Recopier et compléter le tableau suivant : Avec le défaut F Avec le défaut S Sans le défaut S Total Sans le défaut F 200 On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le lot de 200 objets prélevés, eflète celle de l’ensemble de la production. On admet également que tout objet produit est vendu. On sait en outre que le coût de fabrication d’un objet est de 200 accorde au client une réduction de 15 % du prix. Si Pobjet présente le seul défaut F, l’entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de 45 E.

Si l’objet présente les deux défauts, rentreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de 58 E. On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euros, réalisé par l’entreprise à la vente e cet objet. (a) Justifier le fait que X prend les valeurs (exprimées en euros) : 50 ; 12, 50;set-8. (b) Démontrer que la probabilité pour qu’un objet présente le seul défaut S est O, 04. (c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats dans un tableau. (d) Calculer l’espérance mathématique E Cl X D de la variable aléatoire X . Que représente E CX 0 pour l’entreprise ? PROBLEME-: 11 points La fonction f est définie sur l’intervalle parf (x) C a ln x où a, bet c sont trois nombres réels à déterminer. On note f’ la fonction dérivée de la fonction f . On a représenté la fonction f sur la feuille annexe dans un repère orthonormal (O ; i, j) d’unité graphique 2 cm. On sur la feuille annexe dans un repère orthonormal (O ; i , j ) d’unité graphique 2 cm.

On note C la courbe représentative de cette fonction f On note T la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 . La tangente T passe par l’origine O du repère. La tangente à la courbe C au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses. PARTIE A :Recherche de l’expression de f ( x) 1. Préciser (sans justifier) les valeurs de f (1) , f ‘(1) et f ‘(2) . 2. Déterminer f x) , en fonction de la variable x et des nombres éels a, bet c. 3. Exprimer f (1) , f ‘(1) et f ‘(2) en fonction des nombres réels a, b 4.

En utilisant les réponses aux questions 1 . et 3. , montrer que les nombres réels a, b et c sont solutions du système S suivant : Oa 0 1 n 2aD4bccco 5. Résoudre le système S. En déduire une expression de f (x). PARTIE B : Étude de la fonction f Dans la suite du problème la fonction f est définie sur l’intervalle IO , par : f ( x) 81nx 3x El 4 1. Déterminer par calculs la limite de f en (on peut factoriser f (x) par x). 2. On rappelle que : lim x ln x n O . En écrivant f (x) sous la forme d’une seule fraction, PAGF