La loi de Poisson P. Boldini 1 Introduction La loi de Poisson est la loi des variables al? atoires qui comptent le nombre d’occurences d’un e ? v? nement rare. e e D’apr`s Wikip? dia : “le domaine d’application de la loi de Poisson a ? t? longtemps limit? e e ee e a celui des ? v? nements rares comme les suicides d’enfants, les arriv? es de bateaux dans un ` e e e port ou les accidents d? s aux coups de pied de cheval dans les arm? es (? tude de Ladislaus u e e Bortkiewicz). Mais depuis quelques d? ennies son champ d’application s’est consid? rablement e e ? largi. Actuellement, on l’utilise beaucoup dans les t? l? communications (pour compter le nome ee bre de communications dans un intervalle de temps donn? ), le contr? le de qualit? statistique, e o e la description de certains ph? nom`nes li? s ` la d? sint? gration radioactive (la d? sint? gration des e e e a e e e e noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de param`tre not? aussi lambda), e e la biologie, la m? t? orologie, . . . .” ee 2
Une des mani`res de construire cette loi est de montrer que les lois binomiales convergent (en e probabilit? ) vers cette loi. e Consid? rons un ? v? nement E qui se produit en moyenne ? fois sur un intervalle [1, n] de e e e temps. Pour n ? x? on s’int? resse a la variable al? atoire e e ` e Xn = nombre d’occurences de l’? v? nement E durant la p? riode [1, n] e e e On sait que Xn suit une loi binomiale B(n, ? /n) de param`tre ? /n puisque la probabilit? e e que l’? v? nement E se produise ` l’instant t est ? gale a la fr? uence de l’? v? nement E sur la e e a e ` e e e ? p? riode [1, n]. On remarque l’esp? rance de Xn , E(Xn ) = n n = ? , ce qui veut dire en e? et que e e l’? v? nement E se produit en moyenne ? fois durant l’intervalle [1, n]. e e Maintenant on va regarder ce qui se passe lorsque n est tr`s grand, ce qui est une mani`re e e de dire que l’? v? nement E est rare, puisque sa fr? quence d’apparition en moyenne devient tr`s e e e e faible. Techniquement cel` revient a faire tendre n vers +? et ` calculer, a ` a n>+? lim p(Xn = k)
Le calcul de limite se fait de la mani`re suivante : e p(Xn = k) = n ? n? k ? k 1? n n k 1 = k! n(n ? 1) . . . (n ? k + 1) 1 ? k ? n? k ? k! nk n 1? n 1 ? n? k ? k! ?k 1 ? n 1 ? k n 1? ? n? k n par ailleurs, 1? on en conclut que : 1 k ?? ? e k! Au terme de ce calcul on peut dire que lorsque n tend vers +? la suite de variables al? atoires e (Xn ) tend vers une variable al? atoire X dont la loi est : e p(Xn = k) ? p(X = k) = 1 k ?? ? e k! ? n n? k = e(n? k) ln(1? n ) ? en(? n ) = e?? ? ? c’est ce que l’on appelle suivre une loi de Poisson P(? ) de param`tre ?. e 2
