propriétés maths

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PROPRIETES DE MATHS GEOMETRIE Droites -Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. (dd) -Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. -Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’u iculaire à l’autre. Swip page -Si AC + CB = AB alors C et B sont alignés. Si deux droites sont parallèles et possèdent un point commun alors elles sont confondues.

Médiatrices -Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités d’un segment alors c’est la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par un point équidistant des extrémités d’un segment et est perpendiculaire à ce segment alors c’est la médiatrice de ce segment. Triangle Théorème de Pythagore -Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Donc Si ABC est rectangle en A alors BC2=AB2+AC2 Réciproque du théorème de Pythagore -Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand

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côté est ?gal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté. Si ABC est un triangle tel que BC2=AB2+AC2 alors ABC est rectangle en A. Hypoténuse 2 est rectangle alors le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l’hypoténuse.

Si dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle. Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle. Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté alors cette droite passe par le milieu du troisième côté du triangle.

Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC] et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors . (Cas particulier du théorème de Thalès) Si un point appartient à la médiane d’un triangle et qu’il est situé aux deux tiers par rapport au sommet alors c’est le centre de ravité du triangle Si une droite passe par un sommet et le centre de gravité d’un triangle alors elle coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu. Si un point est le point d’intersection de deux médianes d’un triangle alors il est situé aux deux tiers de chaque médiane ? partir des sommets.

Si une droite passe par un sommet et l’orthocentre d’un triangle alors elle est perpendiculai triangle opposé à ce 3 de deux bissectrices d’un triangle alors c’est une bissectrice de ce triangle. Théorème de Thalès Soit un triangle ABC. Soit M un point de (AB) et N un point de (AC). Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, lors Réciproque du théorème de Thalès Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Contraposée du théorème de Thalès Si les points A B, M et les points A C, N sont dans le même ordre et si deux des rapports sont différents alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. Si un triangle est isocèle alors la hauteur issue du sommet principal est à la fois médiane, médiatrice, bissectrice et axe de symétrie. PARALLELOGRAMME Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. LOSANGE Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors c’est un losange. Si un quadrilatère est un losange alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses quatre côtés sont égaux. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires alors c’est un losange. Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors c’est un losange.

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors RECTANGLE Si un quadrilatère a trois angles droits alors c’est un rectangle. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur et ses quatre angles sont droits. de même longueur alors c’est un rectangle Si un quadrilatère est un r ses diagonales ont le S milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur alors c’est un carre. Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur.

Si un losange a un angle droit alors c’est un carré. Si un losange a deux diagonales de même mesure alors c’est un carré. CERCLE Si deux points sont sur un cercle alors le centre de ce cercle est équidistant de ces deux points. Si dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du cercle alors ce triangle est rectangle en ce point. ANGLES Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 1800. Si deux angles sont alternes – internes alors ils ont la même mesure. (droites parallèles coupées par une sécante).

Si deux angles sont correspondants alors ils ont la même mesure. (droites parallèles coupées par une sécante). Si deux angles sont inscrits dans un cercle et interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure. centrale, par une translation, l’image d’une droite est une droite parallèle. Rappels Le numérateur se situe au dessus du trait de fraction et le dénominateur en dessous. On parle de fraction lorsque le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers (ex: 3032) et d’écriture fractionnaire lorsque des nombre décimaux (ex: 3,14) sont utilisés pour le numérateur et/ou le dénominateur.

Egalité Deux fractions sont égales si l’on peut obtenir l’une en multipliant e numérateur et le dénominateur de l’autre par le même nombre. Exemple avec 21/4 et 63/12 . on remarque qu’en multipliant 21 par 3 et 4 par trois, on obtient la fraction 63/12 Autre méthode : On divise le numérateur de l’une par le numérateur de l’autre. On fait de même avec les numérateurs (toujours dans le même ordre). Si les deux quotients (résultats des divisions) sont égaux, alors les deux fractions sont égales.

Exemple avec 21/4 et 63/12: on divise 63 par 21 et on obtient 3; on divise ensuite 12 par 4 et on obtient également 3. Les deux fractions sont donc égales. Additions et soustractions Avant toute chose, il faut vérifier que toutes les fractions soient au même dénominateur. Il suffit ensuite d’additionner ou soustraire les numérateurs. Exemple : 3/4 + 1/2 + 7/8 = 6/8+4/8 + 7/8 = 17/8 Multiplications Pour multiplier des fractions, il suffit de multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux.

Exemple : 1/2 x 3/8 = 3/16 Fractions irréductibles Une fraction est dite irréductible lors u’elle ne peut plus être simplifiée. lorsqu’elle ne peut plus être simplifiée. Exemple : 1/2 est irréductible mais pas 2/4 Équations Les équations de type a + x- b (où x est l’inconnue et a et b sont eux chiffres) ont pour unique solution x = b a. Exemple : 3+XZ9 x=9-3 Les équations de type ax = b (où x est l’inconnue et a et b sont deux chiffres) ont pour unique solution x = Wa. =9/3 Cas particulier: le produit de facteurs Lorsque l’on se retrouve face à une équation de type (ax + b)(cx + d) = O (où a, b, c et d sont des chiffres et x une inconnue), la seule technique possible est d’utiliser la propriété suivante: n produit est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est U nul. Prenons un exemple pour mieux comprendre : (2x + l)(x – 4) = O La propriété précédente nous indique que pour que l’équation oit égale à O, l’un des deux facteurs doit obligatoirement être égal à O. Deux cas sont donc possibles . ?? soit 2X+1=o • Soit x -4=0 Il suffit donc de résoudre ces deux équations. On obtient alors deux résultats possibles. Voici ce qu’il faudra obligatoirement écrire le jour du brevet pour obtenir tous les points : Un produit est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul d’où : 2x+1= 0 ou x -4 ou x = 4 8 inéquation, tu dois donner l’ensemble des valeurs pour lesquelles l’inconnue vérifie l’égalité. Exemple : Résoudre l’inéquation 2x g 3 Il faut donc trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles 2x sera nférieur ou égal à 3.

On remarque que l’inconnue (x) est affectée d’un coefficient (2). Pour « supprimer » ce coefficient, il faut le neutraliser en divisant le terme de gauche par 2. Cependant, il faut également réaliser l’opération sur l’autre terme: on divise donc 3 par 2. On obtient donc: $latex $latex x ‘leq Voici le résultat sous forme graphique (la partie qui n’est pas en pointillés correspond à l’ensemble des solutions) : Opérations simples • Addition et soustraction : Lorsque l’on ajoute ou soustrait un même nombre à chaque membre d’une inégalité, on obtient une inégalité de même sens (le signe ne change pas).

Exemples : • Si x > 8 alors x + 2>8+2 et donc x +2 > 10 • Si x < 5 alors x -2<5-2 et donc x -2<3 • Multiplication et division : Lorsque l'on multiplie ou divise par un même nombre positif chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens (le signe ne change pas). Lorsque l'on multiplie ou divise par un même nombre négatif chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité de sens contraire (le signe change). • Si 4x > 8 alors x > 2 2 (on a divisé les deux termes par 4) Si -6x < 36 alors x > -6 (on a divisé les deux termes par -6 et on a donc inversé le sign 9