ProbabilitesStatistiques 1

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EXERCICES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES (version 2. 1 Révision 3 du 31. 10. 2010) Sciences. ch Probabilités et Statistiques EXERCICE 1. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguél (01. 09. 04, miguel. [email protected] be ) Swip next page Mots-clés : concept d Enoncé : On tire au hasard un probabilité cette cart Solution 9 cartes. Avec quelle Oit un cœur ? Un jeu de 52 cartes présente 13 cartes de pique 13 cartes de carreau 13 cartes de trèfle le client lui donne une somme égale à la différence entre 10 et le résultat obtenu, s’il est égal à IO aucune somme n’est échangée.

Le jeu est-il équ table ? Sinon quel devrait être le montant de la somme S pour qu’il soit équitable ? Classons dans un tableau les différents résultats que nous pouvons obtenir en lançant trois dés, nous allons également poser que ces événements sont équiprobables : Total des points des trois dés lancés Somme reçue (+) ou donnée (-) par le client 3 4 04 5 6 d’exercices 4/53 EXERCICE 3. Auteur : Dhyne Miguél (02. 09. 04, miguel. [email protected]in. be ) Mots-clés : concept de probabilité Quelle est la probabilité que dans une famille de trois enfants

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les deux plus jeunes soient des arçons ?

Soit G un garçon et F , une fille. Regardons les combinaisons possibles : GFG Nous avons donc huit configurations possibles. (nous aurions pu savoir cela à l’aide de l’analyse combinatoire, on choisit trois éléments (les trois enfants de la famille) par mi un ensemble de deux (garçon et fille), il s’agit donc d’un arrangement multiple : 2 3 D 8 Sur ces huit configuration 39 ns 2 qui présentent les trouver la bonne combinaison, c’est-à-dire 6 chiffres parmi 42 : P ( Rangi)D D 0. 0000002 C42 42 0 (42 5245786 (le nombre qui se trouve sous la barre de fraction est donc le ombre de grilles totales possibles. Pour le Rang 2 , nous avons du cocher 5 chiffres sur les 6 »principaux » tirés, et un autre qui doit correspondre au numéro complémentaire tiré. p ( Rang 2) LI cas n 1 D 0. 000001 5245786 C42 Pour le Rang 3 , nous avons donc cochés 5 chiffres parmi les 6 tirés, et nous avons également coché un chiffre qui ne correspond pas à ceux tirés (n’oublions pas que 7 numéros sont tirés, car nous avons la combinaison des 6 et le numéro complémentaire), ce chiffr 4 39 Le sexe d’un enfant est imprévisible.

Dans le cas de la naissance d’un enfant, certaines ersonnes pensent qu’il y a autant de chance d’avoir une fille que d’avoir un garçon. Voici un tableau reprenant de 1982 à 1992 le nombre de naissance de chaque sexe Année Nombre de naissance total 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 120241 117145 1 15651 1 14092 117114 117354 119779 120904 123776 125924 s OF 0,51 0. 51 0. 49 Nous remarquons tout de suite que l’opinion de certaines personnes n’est pas tout à fait correcte. En effet, nous avons de naissance de garçons contre 49% de naissance de filles.

L’opinion du D n’est, cependant, pas très loin de la « réalité Nous pouvons dégager une année « spéciale », celle de 1986 où le taux de naissance de garçon est supérieur aux autres années. Mais ce n’est rien d’exceptionnel… Serveur d’exercices 9/53 EXERCICE 6. Mots-clés : probabilité conditionnelle Un loueur apprend que su 6 es à sous, l’une permet Dhyne Miguél (01. 09. 04 mguel. [email protected] be ) *** Exercice tiré de « Que sais-je ? Les probabilités Albert Jacquard, V1571, p. 3-54 *** Devant un malade souffrant d’une angine, le médecin A pense que la cause peut en être un streptocoque. Compte tenu de l’ensemble des symptômes, il pense qu’il s’agit plutôt de treptocoques, mais il n’en conclut par d’autres causes, par exemple un virus. Toute réflexion faite, il admet que la probabilité du streptocoque est quatre fois plus élevée que celle des autres causes ; ce qui peut s’écrire : Mais, selon le diagnostique adopté, le traitement est tout différent, une erreur peut avoir de graves conséquences pour le malade.

Il s’adresse alors à un confrère B qui confirme les deux causes possibles, mais qui, toute réflexion faite, pense que dans ce cas, le Virus est quatre fois plus probable que le streptocoque, ce qui peut s’écrire : p (S)OO . 2 suite d’erreur ou de contamination. En représentant par « oui » la réponse positive (il y a des streptocoques) et par « non » la réponse négative (il ny en a pas), les Informations peuvent être exprimées par les probabilités : 0. p (oui D 0. 1 P(non / S) 0 0. 3 p (non / S) D Les médecins font cinq prélèvements ; la réponse du laboratoire PRELEVEMENT NO Réponse R 2 non Quel est le diagnostic de c in compte tenu de cette devient de la même façon : 90. 5 % Malgré l’opposition de leurs opinions initiales et en dépit de l’imprécision des résultats du laboratoire, les deux médecins sont maintenant d’accord : il faut oigner le malade en admettant que son mal est dû aux streptocoques.

Ils ne divergent plus que leur évaluation du risque d’erreur de diagnostic : % selon A (au lieu de 20 % avant l’examen de laboratoire), 9. 5 % selon B (au lieu de 80 % s’il laissait la décision à A , 20 % Si A s’en remettait à lui). 12/53 EXERCICE 8. Auteur : Dhyne Miguél (06. 09. 04 mguel. [email protected] be ) 0,24 3. de 3 jeux) 1 Û P(3 jeux max imum) 13/53 P (0 de 3 jeux) 0 0. 30 4. p ( B gagnesi C] de 3 jeux) Cl B / T) [l 0. 55 14/53 EXERCICE 9. Auteur : Isoz Vincent (20. 09. 07) Mots-clés : Questionnaires, Théorème centrale limite 0 9