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Limites – Comportement asymptotique Christophe ROSSIGNOL* Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Limite d’une fonction en + 1. 1 Limite infinie en +m, en 1. 2 Limite finie en +m horizontale 2 Limite en un réel a 7 2. 1 Deux exemples de base . or 12 Sni* to View Asymptote 12 4. 2 Cas d’une fonction rationnelle 5 Asymptote oblique * ce 13 cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons. org/licenses/by-sa/2. 0/fr/ TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX Table des figures Limite lorsque x tend vers 2

Fonction racine carree . 4 .. 13 Liste des tableaux Limite d’une somme…. 8 Limite d’un produit…. … 9 Limite de l’inverse…. quotient . LIMITE D’UNE FONCTION EN *co, EN -n ACtiVité : ACtiVité 1 page 112 [Transrvtath] 19 10 (figure 4) lim X2 = Fonction cube (figure 5) : Remarque : On peut montrer que, si n entier strictement positif – Si n est pair : limx et limx—+m xn = – Si n est impair : limx— et xn lim x3 = +m Limite infinie en en LIMITE D’UNE FONCTION EN +02, EN Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. – Fonction racine carrée Fonction identité Fonction

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carrée Fonction cube 2 Remarque : On peut montrer que, si n entier strictement positif : limx = O et limx Définition : Lorsque limx f (x) = I (respectivement limx—-m f (x) = l), on dit que la droite d’équation y = I est asymptote (horizontale) à la courbe représentant f. Remarque : Graphiquement, ceci signifie que la courbe représentant f se rapproche de plus en plus de cette droite lorsque x devient grandl (voir figure 6). 1 éventuellement négatif et grand en valeur absolue pour l’asymptote en

Limite finie en en —m – Asymptote horizontale 1 LIMITE D’UNE FONCTION EN +00, EN Fie. 7 – Fonction x PAGF s 9 Définition . Soit a un réel f une fonction. Dire que f tend vers lorsque x tend vers a signifie que fon peut rendre les valeurs de f (x) aussi grandes que l’on veut dès que x est suffisamment proche de a. On note alors : lim f (x) = lim f = Remarques : 1. On peut définir de manière analogue limx—a f (x) = ; limx— f (x) = et limx—a f 2. ona = -Fm (voir figure 7) 3. On peut montrer que, si n entier strictement positif : Si n est pair : limx—O xln = – Si n est impair : limx-.

O x ln -— – net lirnx—Ox1n Définition : Lorsque limx—af x (respectivement limx (x) = on dit que la droi PAGF s 2 on s’est contenté de conjecturer des limites, ce qui n’est pas satisfaisant. On va donc donner des règles de calcul sur les limites pour pouvoir déterminer les limites de fonctions plus complexes. Dans toute cette section, I et désignent deux nombres réels ; a désigne soit un réel, soit -Fm, soit — 3. 2 Somme de deux fonctions Les résultats sont résumés dans le tableau 1 . mx—a f (x) limx—a g (x) 7 2 El. Il s’agit de la règle des signes Tab. 2 — Limite d’un produit Exemples : 1. —3×2 limx-+m -3 – -3 limx—+mx2 donc -3X2 – On a déjà vu à la sous-section 3. 2 que cette limite présente une forme indéterminée. Or, x2 + x = x(x+l)et: limx—-mx+l 9 deux racines évidentes : —1 et 1. De plus, le coefficient du terme de degré 2 est positif. Le signe est donc le suivant On a donc : x2 PAGF 19 3x-1 lim 1 x-2 On a une asymptote verticale d’équation x 31 3. limx—O limx—o limx-. Ox=Oet x > O