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Algorithme d’cueillie Soient donc deux entiers strictement positifs k n: n – quo + ara, -roque +orl orl < ro ro-rl q2 + Q, rm?2 ? ? rm?l qm + rm , rm-l -rm qm+l rrn+l , n k +rO n correspond au (m + 4)-lème nombre de la suite Fibonacci où apparaît le nombre d'or q) (1 + 5)/2: = Fj?l + Fj?2 avec comme départ de la récurrence, FO = O et FI = 1. Comme Fj (tpj ?(1 ? 5 et Frn+4 = n on a au plus D logtp (n) divisions avec reste à faire (Lamé (1845)).

fermée et aller Pour tout entier n 1, on note O(n) le nombre d’entiers entre 1 et n – 1 premiers avec n: Théorème de fermée-aller: Si a est premier avec n alors ai(n) = 1 mode (n) (preuve via sexe x = sexte axa ode (n)). Lorsque n est premier cuba(n) = n ? 1 on a le petit théorème de fermée: si n est premier et si a entier entre 1 et n ? 1, alors an?l = 1 mode (n). Théorème chinois Théorème Chinois: soient deux entiers p et q > 1 et premiers entre eux.

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Alors les anneaux swap x sqq. et sept sont isomères.

Preuve: l’application : Z swap x sqq. qui à x e Z associe (x mode (p), x mode (q)) est un monographies d’anneau, surexcité et de noyau pic. Il suffit de quotient par le noyau pour avoir un sommerais entre Z/pic = sept et swap x sqq. Corollaire: si p et q sont premiers entre eux, alors Corollaire: Si n admet comme décomposition en facteurs premiers n = plu al … Pack alors (épia – plaie -1 ) Déchiffrement ARS On part d’un grand nombre n (d’au moins 1024 bits) qui est le produit de deux grands nombres premiers p et q: clé publique n et e inversible modula cuba(n) = (p ? ? 1), clé secrète (p, q).

chiffrèrent d’un message i par un entier M mode (n) dès que n – pic où p et q sont deux nombres premiers, e E {1, – 1)} inversible modula et d’inverse d e {1, cuba(n ? 1)} Si M et n sont premiers entre eux, alors par le théorème d’aller-fermée M = 1 mode (n). Ainsi M de=M 1+k TOI) = M mode (n). Si M et n non premiers entre eux, utiliser l’sommerais de la preuve du théorème chinois. La fonction ( éléments primitifs Théorème de l’élément primitif’. Si p est premier alors, le groupe (swap , x) est cyclique, i. Eu. , il est de la forme pp-2 où a E est appelé élément primitif (non nécessairement unique).

Preuve: le nombre d’éléments rimerait a est cuba(p? 1) ( p-1 est forcément d’ordre n- 1 dans . Or tout élément de est d’ordre un diviseur de cuba(n) (reprendre des bouts de la preuve du théorème sur l’élément primitif). Comme O(n) g n – 1 on voit que nécessairement = n- 1 mais cela signifie n premier. Jean auditionne dans ponctionnerai universaliser Ce qu’on appelle la théorie analytique des nombres ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu’on donne à ces mots, c’est-à-dire un système organisé de définitions de théorèmes généraux accompagné d’applications à des exemples importants.

Il s’agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui se posent en arithmétique et qui, pour la plupart, consistent à étudier l’allure à l’infini de certaines fonctions définies par des conditions de nature arithmétique: par exemple le ombre art(x) de nombres premiers p g x ou le nombre al(n) des solutions de l’équation (sel )2 + ex )2 = n en nombres entiers (sel Depuis 1830, on a imaginé, méthodes d’une extrairai euro résoudre ces questions, des été qui consistent 6 FO méthodes, on ne peut dire que l’on en comprenne vraiment les raisons profondes.

Exemples La méthode consiste à associer à une suite d’entiers an (définis par une construction arithmétique (nombre de solutions d’une équation dépendant de n, cardinal d’un certain ensemble d’entiers plus petits que n, une série formelle.

Le plus simple est de considérer la série n X n née mais il faut être souvent plus malin comme nous le verrons avec les nombres premiers pin Suite à des manipulations astucieuses on propose une autre écriture de cette série que l’on manipule alors avec les règles usuelles de calcul sur les fonctions de la variable complexe (dérivée, résidu, intégrale de coucha, Les informations sur les an , pour des grands indices n sont reliées aux singularités de la fonction analytique attachée à la série S.

Comme an = dessin on calcule cette dérivée n-aimé sur la décomposition en éléments simples En utilisant l’identité dix n (1 -px on obtient n + + 2) n+1 17 (-1)n n + ? an BOUF chercher le nombre de solutions an en nombres entiers (positifs ou négatifs) d’une équation à r inconnues: AUX + sur = n Ce nombre an est le coefficient de X n dans la série de (F (X ))r semé . Cette série converge pour EX C de module plus petit que 1.