Notes Cours MAT1000

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Les Entiers Naturels Un entier naturel est un nombre O qui ne possède pas de décimal après la virgule. Par exemple, le nombre 12. L’ensemble de tous les entiers naturels est représenté par la lettre capitale grasse N. (0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Lorsqu’on effectue des opérations mathématiques avec des entiers naturels (addition, soustraction, division, multiplication), il est important de respecter l’ordre des opérations. Les multiplications et les divisons on toujours priorité sur les additions et les soustractions. Ainsi, la réponse à l’exemple Swipe to page suivant, n’est pas 20 mais bien 14. 3 • 4=14 Il arrive parfois qu’on eu or 11 multiplication. Dans ce;• prioriser une opérati opérations qui sont ? ddition avant une s parenthèses pour urs effectuer les ses en premier. Lorsqu’il y a plusieurs parenth se une dans l’autre, on effectue toujours celle à l’intérieur en premier. (2 + 3) . 4=20 + 2)) 24 Il existe une autre technique pour effectuer des multiplications lorsqu’on utilise des parenthèses. Il faudra bien la maitriser car il sera indispensable de l’utilisée lorsque nous aurons à travailler avec des équations algébriques.

En effet, lorsqu’un des nombres ans une équation est représenté par une lettre, il

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n’est parfois pas possible d’effectuer les opérations à l’intérieur d’u d’une parenthèse. Dans le cas d’une multiplication on peut multiplier chaque nombre d’une parenthèse par ceux de l’autre parenthèse 1 fois puis simplifier l’équation. Voici un exemple de cette méthode utilisant la dernière équation de l’exemple précédent. (2+3) • (1+2) 2(1+2) 2) = (2 1+2 • 2) (3-1 3, 2) (2*4) + (3+6) = 15 Bien sûr cette méthode est beaucoup plus longue.

Cependant, si on utilise une équation algébrique, c’est la seul façon possible de simplifier l’équation. (2a+3b) 2a+4 3b = + 12b (2a+3) • (2+4) = 2a (2+4) + 3 (2 +4) = (4a + 80) + (6 + 12) = 120 + 8 Les Nombres premiers et la factorisation Un nombre premier est un nombre > 1 qui est seulement divisible par lui-même et par 1. Par exemple, 5 est un nombre premier puisqu’on peut seulement le diviser par 5 ou par 1. Si on le divise par autre chose, on obtiendra un nombre rationnel. Voici un ensemble contenant plusieurs nombre premier. (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, La factorisation d’un nombre est le produit de tous ses facteurs.

Un facteur est un nombre par lequel on peut en diviser un autre ans qu’il y ait de reste après la virgule. par exemple, 4 est un facteur de 12 puisqu’on peut diviser 12 par 4 et qu’il n’y aura pas de reste après la virgule. Le chiffre 5 ne serait par contre pas un facteur de 12 puisqu’après avoir effectué cette opération, on obtient un nombre rationnel. Voici tous les facteurs du nombre 12. (2, 3,4, 6, 12} L’ensemble précédent est composé de nombres premier PAG » 1 les facteurs du nombre 12. L’ensemble précédent est composé de nombres premier mais aussi de nombre qui ne sont pas premier.

Dans certain cas, il sera très utile d’identifier seulement les facteurs premiers d’un ombre. pour commencer, il suffit de prendre un nombre et de le diviser par 2 (le plus petit nombre premier). Si c’est possible sans qu’il y ait de reste après la virgule, on prend alors le résultat obtenu et on le divise à nouveau par 2. Il est important de noter le nombre de fois qu’on divise par 2 et ainsi de suite. Lorsqu’on obtient un nombre décimal, on retourne au résultat précédent et on divisera ensuite par le prochain nombre premier dans la liste. On continue ainsi jusqu’à ce qu’on obtienne 1. 4 12+2=63+3-1 La factorisation avec des nombres premiers peut être est tilisée lorsqu’on doit trouver le plus petit commun multiple de 2 nombres (PPCM). En factorisant 2 nombre et en prenant le plus grand nombre de fois que chacun des facteurs premier apparait, on peut trouver leur PPCM. Par exemple prenons les nombre 48 et 26. Les Entiers Relatifs Les entiers relatifs son semblable au entiers naturels mais ils incluent également les nombres qui sont < O. Un nombre qui est plus petit que O sera représenté avec un signe négatif à l'avant. Par exemple le nombre -12.

Les entiers relatifs incluent autant les nombres positifs que néga PAGF30F11 nombres positifs que négatif. L’ensemble des entiers relatifs peut être représenté de la façon suivante. Lorsqu’on fait face à des équations qui comportent des nombres positifs et négatifs, il est important de respecter certaines règles lorsqu’on effectue les opérations. Ce qui est important, c’est premièrement de respecter la priorité d’opération comme avec les entiers naturels puis, lorsqu’on doit effectuer des additions ou des soustractions, on garde seulement le premier signe ? gauche d’un nombre.

En faisant cela, il est possible de déplacer et réarranger l’équation et d’obtenir le même résultat. Si un nombre ‘a pas de Slgne à sa gauche mais qu’il est positif, on ajoutera automatiquement un + si on doit le déplacer. 10+-5 (10) + = 10-5- -5 + 10=5 Lorsqu’on utilise une parenthèse et qu’il y a un signe négatif devant la parenthèse, il est passible d’enlever les parenthèses si on inverse tous les signes + et- à l’intérieur. Notez qu’il faudra premièrement avoir effectué les multiplications et les divisions s’il y a lieu. – (3 + 8) = 2-3-8=9 Lorsqu’on doit multiplier ou diviser des nombres positifs et négatifs entre eux, on peut le faire facilement en respectant les règles suivantes. En maitrisant bien les règles que n PAGFd0F11 En maitrisant bien les règles que nous venons de voir, il sera facile de résoudre et simplifier des équations algébriques. Voici quelque exemple qui illustre bien les règles que nous venons de voir plus haut. -2(-3a + b) – (3 +4- 5) = (-2 • -Ba) + (-2 • b) – (3 +4-5) = 6a – 2b- 3-4+5-6a-2b-2 Les Nombres Rationnels Un nombre rationnel est un nombre qui n’est pas entiers.

C’est-à- dire qu’il se situe entre les entiers relatifs. On peut l’exprmé sous forme de nombre décimal ou sous forme de fraction. Une fraction est composée d’un numérateur (le chiffre du dessus) et d’un dénominateur (le chiffre du dessous). Pour convertir une fraction en nombre décimal, il faut simplement diviser le numérateur par le dénominateur. -1+2 0. 5 Il arrive parfois qu’ont doivent simplifier une fraction si le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. Avec de petites fractions il est facile de simplifier. ar contre, lorsqu’on a des nombres plus importants, il devient plus difficile de simplifier une fraction et de trouver un diviseur commun. pour simplifier une fraction, on doit factoriser le numérateur et le dénominateur et retirer les facteurs communs. fractions, (addition, soustraction, multiplication, division) ce n’est as aussi simple que lorsqu’on effectue les mêmes opéra s 1 soustraction, multiplication, division) ce n’est pas aussi simple que lorsqu’on effectue les mêmes opérations avec des nombres entiers.

Lorsqu’on doit additionner ou soustraire des fractions, elles doivent être rnlses sur un dénominateur commun. pour se faire, il faut premièrement factoriser chaque dénominateur pour trouver leur PPCM. Le PPCM de 2 dénominateur sera appeler PPDC (plus petit dénominateur commun). Une fois les fractions misent sur un dénominateur commun, il sera possible de les additionner ou de les soustraire. On doit premièrement trouver le PPCM de 18 et de 16. PPCM = – 144 16=2-2-2-2 On va maintenant mettre les 2 fractions sur le PPDC et il sera possible de les soustraire.

Notez que pour effectuer une addition de fraction, la procédure est semblable. Il faudra simplement additionner au lieu de soustraire. Il y par contre un inconvénient avec cette méthode. Bien que simple, elle n’est pas très rapide et il n’est pas possible de l’utiliser lorsqu’on doit travailler avec des fractions algébrique. Il existe une autre façon d’additionner ou de soustralre des fractions. Il faut additionner ou soustraire le produit de chaque extrême et le ettre sur le produit des 2 dénominateurs.

Il ne reste qu’à simplifier la fraction Pour effectuer une multiplication de fraction, il faut sim 6 1 simplifier la fraction Pour effectuer une multiplication de fraction, il faut simplement faire le produit des numérateurs et le mettre sur le produit des dénominateurs. La division de fraction n’est pas beaucoup plus complexe. On doit inverser le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction et effectuer une multiplication. Si on doit effectuer une opération avec un nombre entier et une fraction, on doit premierement convertir le nombre entier en raction en le mettant sur le dénominateur 1 .

Il sera par la suite possible d’additionner, soustraire, multiplier ou encore de diviser les 2 nombres. Lorsqu’on travaille avec des fractions algébriques on doit utiliser les mêmes règles qu’avec des nombres puis simplifier si possible. Voici quelque exemple d’opérations mathématiques effectuées avec des fractions algébriques. 7 ab La représentation décimale des nombres Nous venons de voir ensemble les fractions qui sont en fait une des façons différentes d’exprimer les nombres rationnels. On peut aussi exprimer les nombres rationnels sous forme de ombre décimal.

Donc un nombre qui comporte des chiffres après la virgule. Il existe 2 types de nombre rationnel décimal. Les nombres décimaux finis et les nombres décimaux périodiques. Nombre décimal finis : Nombre décimal périodique : = 7,333 333 333…. Comme on peut constater dans l’exemple pr PAGF70F11 décimal périodique : 7,333 333 333.. Comme on peut constater dans l’exemple précédent, le premier nombre décimal a seulement un chiffre après la virgule. Il pourrait y en avoir plusieurs, comme par exemple le nombre 0,75. On sait par contre qu’il n’y a pas d’autre chiffre après le 5.

Dans le cas dun nombre périodique, on aura une période de 1 ou plusieurs chiffres qui se répètent à l’infini. Par exemple le nombre 2. 417 417 417… on voit ici que la période 417 se répète à l’infinis. Conversion d’un nombre décimal vers une fraction Il est important de bien comprendre la différence entre les nombres décimaux finis et périodique car la méthode utilisée pour les convertir en fraction sera légèrement différente. Dans le cas d’un nombre finis il sera très facile de convertir en fraction. Il suffit d’effectuer une simple équation et de la balancer pour ouvoir convertir le nombre. ,75 100x- 75,00 75/100 3/4 Pour effectuer la conversion, nous avons simplement multiplié la partie de gauche et la partie de droite de l’équation par 100 pour éllminer les chiffres après la virgule. par la suite, nous avons balancé l’équation. Lorsqu’on balance une équation, il faut simplement inverser le signe d’une opération lorsqu’elle passe de l’autre côté de l’égalité. Par exemple une multiplication devient une division et une soustraction deviendra une addition. Il est facile de comprendre comment balancé une équation ? l’aide de l’exemple précédent.

Le principe sera le mêm B1 comprendre comment balancé une équation à l’aide de l’exemple précédent. Le principe sera le même lorsque nous utilisons des équations algébrique. La méthode pour convertir un nombre décimal périodique sera légèrement différente car elle comporte quelque étape de plus mais le principe reste le même. On va devoir balancer l’équation pour retirer la période puis par la suite convertir en fraction. 2,341 414 141 IOx= 23,414 141 414… 1 000x – 2341, 414 141 414… I OOOX- lox= 990x = 2341, -23, = 2318 2318/990 1 159/495 pour convertir le nombre 2,341 414… us avons premièrement multiplié ‘équation par 10 pour isoler la période. Par la suite nous avons multiplié par 1 000 pour inclure la période complètement du côté gauche de la virgule. Finalement on soustrait 1 000x par 10x et on obtient un nombre sans période. Il reste simplement à balancer Véquation à l’aide d’une division pour obtenir une fraction. Finalement on peut la réduire au minimum en factorisant et en trouvant le PPDC. Les nombres Irrationnels Les nombres irrationnels sont des nombres décimaux sans période dont les nombres à droite de la virgule continue de s’ajouter à l’infini.

En d’autre mots, les chiffres situé ? droite de la vi gule vont continuer de s’ajouter après la virgule jusqu’à Finfini sans suite logique. Par exemple la – 1. 414213562373095048801 6887242… On peut voir ici que les nombres continuent de s’ajouter sans suite logique après la virgule. Il arrivera parfois qu’une fraction a un no de s’ajouter sans suite logique après la virgule. Il arrivera parfois qu’une fraction a un nombre irrationnel comme dénominateur. Lorsqu’on a un nombre irrationnel comme dénominateur, il est pratique courante de le rationaliser pour donner la réponse à un problème. ur ce faire, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué. Le conjugué de 3 est 3 + . Les Ensembles Un ensemble est une liste de nombres. Par exemple {1, 2, 3, 4}. Un ensemble peut également être désigné avec un intervalle. Par exemple [2, 4] voudrais dire tous les nombres entre 2 et 4. On aurait donc l’ensemble {2, 3, 4}. Les intervalles peuvent inclure ou exclure certain chiffre. Ainsi si on à l’intervalle suivant : [2, 41 on écrirait l’ensemble {2, 3} puisque 4 n’est pas inclus à l’intérieur. Les ensembles son généralement désigné par des lettres ajuscule tel que A et B.

A = O, 2,4} L’ensemble réunion de A et de B, noté « A U B » (lire « A union B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B. L’ensemble intersection de A et de B, noté A n B » (lire « A inter B ») est l’ensemble des éléments de A qui sont également éléments de 3. La différence ensembliste de A et B notée « A B » (lire « A moins B n) est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à 3. A B = {-1,4} Les Exposants Les exposants sont utilisés pour abréger un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois. Ainsi, le nombre est en fait l’op 11