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TD DE TS SPECIALITE . DIVISIBILITE ET CONGRUENCES Exercice 1 (exercice ouvert) Pour quelles valeurs de l’entier naturel n la fraction A n2 + n est-elle irréductible? 2n+1 Exercice 1 Soit n un entier naturel. next page 1. Trouver, suivant le euclidienne de 5 par tous les cas particulie 5 2007 8 est divisible par 13. de la division raliser) . 2. En déduire que 2007 – 5 est divisible par 13, puis que 2007 3. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal ? nombre N = 31 ar 13. 184n —1 est divisible = 2n où a est un entier naturel, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. 2 a. Montrer que, pour tout a entier naturel, a est Impair si et seulement si a est impair. b. En déduire que, s’il existe a et n vérifiant l’équation (E2), alors a est impair. c. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a d. Déduire des questions précédentes, en raisonnant modulo 4, que l’équation (E2) n’a pas de solution. 2. ??tude de l’équation (E3) d’inconnue a : a2 + 9 = 3n où a est un entier naturel

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non nul, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n pair, on a 3 = 1 [4]. b. Montrer que, pour tout entier naturel n impair, on a 3 3 c. En déduire que, s’il existe a et n vérifiant l’équation (E3), alors a est pair et n est pair. d. On pose n 2p où p est un entier naturel, avec p à 1. Déduire, d’une factorisation de 3 -a , que l’équation (E3) n’a pas de solution. 2