math

31/07/2006 17:04 page 1 maths LIVRE DU PROFESSEUR Sous la direction de Jacqueline Borréani S. wp page Fabienne Lanata Collège Pablo Picass Guillemette Le Hir-Jo Collège Jean de La Fo Bernadette Lemetais Collège Louis Anquet David Vincent 28 – IIJFM, Rouen uen Collège Arthur Rimbaud, Saint-Aubin-les-Elbeuf ILJFM, Rouen @ Éditions Magnard, 2006 ww »‘. magnard. fr 3920_pages_départ page 2 et gestion de données, fonctions Contenus 1. 1. Proportionnalité Compétences [Thèmes de convergence] – Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité dont les données ont fournies partiellement.

En particulier, déterminer une quatrième proportionnelle. – Reconnaître SI un tableau complet de nombres est ou non un tableau de proportionnalité. – Mettre en oeuvre la proportionnalité dans les cas suivants : comparer des proportions, calculer et utiliser un pourcentage, calculer et utiliser l’échelle d’une carte ou d’un dessin, reconnaître un mouvement uniforme à l’existence d’une relation de proportionnalité entre durée et distance parcourue, utiliser cette proportionnalité. [SVT, Géographie, Physique, Technologie] 1. 2. Expressions littérales

Utiliser une expression littérale. Produire une expression littérale. 1*3. Activités graphiques Repérage sur une droite graduée. Sur une droite graduée – lire rabscisse d’un point donné, – placer un point d’abscisse donnée exactement ou approximativement, en fo exte)

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2 28 coordonnées, abscisse, ordonnée. [SVT, Histoire, Géographie, Physique… ] Repérage dans le plan. 1. 4. Représentation et traitement de données Classes, effectifs. Fréquences. Tableau de données, représentations graphiques de données. – Calculer des effectifs et des fréquences. Regrouper des données en classes d’égale amplitude. SVT, Histoire, Géographie, Physique, Technologie] Lire et interpréter des informations à partir d’un tableau, ou d’une représentation graphique (diagrammes divers, histogramme). – Présenter des données sous la forme d’un tableau, les représenter sous la forme d’un diagramme ou d’un histogramme. 2. Nombres et calculs 2. 1. Nombres entiers et décimaux positifs : calcul, divisibilité sur les entiers Enchaînement d’opérations. Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

Effectuer une succession d’opérations donnée sous diverses formes (par calcul mental, posé ou instrumenté), uniquemen les numériques. 128 entier positif est multiple ou diviseur d’un autre nombre entier positif. 2. 2. Nombres positifs en écriture fractionnaire : sens et calculs Sens de l’écriture fractionnaire. Ordre. – Utiliser récriture fractionnaire comme expression d’une proportion. – Utiliser sur des exemples numériques des égalités du type = bc Addition et soustraction. Multiplication. 4 Sur des exemples numériques ou littéraux, utiliser les égalités k (a + b) = ka + kb et k (a – b) = ka – kb dans les deux sens. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes t dans le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du dénominateur de l’autre. – Additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans le cas où le dénominateur de fun est un multiple du dénominateur de l’autre. Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale, étant 4 28 valeurs numériques. Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale. Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs. Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans aquelle interviennent uniquement les signes +, – et éventuellement des parenthèses. – Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de nombres relatifs. 3. Géométrie 3. 1. Figures planes – Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) Parallélogramme. du parallélogramme.

Figures simples ayant un centre de — Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments ymétrie ou des axes de symétrie. de symétrie) du carré, du rectangle, du losange. [Technologie] Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés. Caractérisation angulaire du Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et parallélisme. eurs réciproques. Triangle . Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des aneles d’un tr S 28 équilatéral, d’un triangle rectangle, d’un triangle socèle. Construction de triangles et inégalité Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire. triangulaire. Construire un triangle connaissant • la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents, • les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés, • les longueurs des trois côtés.

Sur papier uni, reproduire un angle au compas. Cercle circonscrit à un triangle. – Construire le cercle circonscrit à un triangle. Médianes et hauteurs d’un triangle. – Connaître et utiliser la définition d’une médiane et d’une hauteur d’un triangle. 3. Prismes droits, cylindres de – Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme et dont les dimensions révolution sont données, en particulier à partir d’un patron. Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné. Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ces deux solides. 3. 3 Symétrie centrale – Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’une demi-droite, d’un cercle. – Construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée ou de figures possédant un centre e symétrie à l’aide de la règle (graduée ou non), de l’équerre, du compas, du rapporteur. Calculer le périmètre d’une figure. Calculer des durées, des horaires. 4. 2 Angles Maîtriser rutilisation du rapporteur. 4. 3 Aires Parallélogramme, triangle, disque. Calculer l’aire d’un parallélogramme. – Calculer l’aire d’un triangle connaissant un côté et la hauteur associee. Calculer l’aire dun disque de rayon donné. – Calculer l’aire d’une surface plane ou celle d’un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables. 4. 4 Volumes Prisme, cylindre de révolution. Calculer le volume d’un prisme droit, en particulier celui d’un parallélépipède rectangle. – Calculer le volume d’un cylindre de révolution, – Effectuer pour des volumes des changements d’unités de mesure. Technologie : contrôler des mesures, des dimensions, des pièces] 5 3920 Ch01 17:06 28 Dans ce chapitre, mais aussi tout au long de l’année, le professeur trouvera des activités et exercices pour entretenir et développer les compétences en calcul mental, mais aussi contrôler et anticiper des résultats par les calculs d’ordre de grandeur. L’utilisation raisonnée de la calculatrice et du tableur doit ?galement être poursuivie. La calculatrice permettra d’introduire les priorités de calcul à l’activité 4. Le niveau 5e constitue le niveau fondamental pour l’introduction du calcul littéral.

Cest là que vont se mettre en place les bases de l’algèbre. Il est primordial de commencer par travailler sur les concepts, la construction du sens, avant même d’aborder la technique. La lettre doit apparaître comme outil de preuve et de généralisation. La lettre en tant que nombre et le calcul littéral représentent un véritable saut conceptuel pour les jeunes collégiens et cela impose de prendre du temps. Des jalons devront être posés régulièrement tout au long de l’année. Parallèlement, l’égalité va changer de statut. our l’élève, le signe = est synonyme d’action ; cette interprétation occulte la propriété de symétrie mais aussi explique les difficultés à percevoir « x + 8 » comme un « résultat Un travail spécifique devra amener l’élève à se construire des représentations correctes du concept d’égalité : égalité toujours vraie appelée encore identité, égalité parfois vraie nommée équation. Les tests d’égalité prennent ici tout leur sens. Activités 1 Des calculs Objectif 8 28 ?quation. Les tests d’égalité prennent ici tout leur sens.

Objectifs : Pratiquer le calcul exact sous différentes formes : mental, posé et en employant la calculatrice. Revoir l’associativité de l’addition et de la multiplication. Réactiver la technique de multiplication de deux nombres décimaux apprise en classe de Difficultés : Les opérations choisies permettent de pointer certaines difficultés et erreurs classiques des élèves ; par exemple pour le calcul 32,45 + 319,7, on observera l’addition séparée des parties entières et des parties décimales donnant 351 ,52. Réponses : 1. a. 17 36 13+4=70 . 19,72 c. 58 – = 54,8 d. 25 x 76 x 4 = 7 600 e. 51,8 + 100 451 f. 43,9 x 100 – – 4 390 c. 2,04 7,752 2. a. 32,45 + 319,7 = 352,15 b. 402,7 – 71,8 330,9 3. a. = 221,4 c. 451,4 : 3,05 = 148 b. 1 539,32 + 6 880,61 = 8 419,93 2 Vocabulaire Objectifs : Réactiver l’utilisation du vocabulaire somme, différence, produit et quotient. 9 28 108 : Résultat 115,2 777,6 100,8 15 Page 7 COMMENTAIRES ET CORRIGES 3 Tout un symbole ! Objectifs : En tout début d’année, cette activité est une bonne évaluation diagnostique du sens donné par les élèves au signe « = Elle permet une première approche des différents tatuts de ce symbole.

Dans ce chapitre, il aura par exemple le statut d’identité à travers l’égalité littérale + b) = ka + kb qui est toujours vraie, mais il sera aussi rencontré dans le cadre des équations où se pose alors la question de la valeur de vérité d’une égalité. Se cache aussi le problème des quantificateurs. Cette activité permet également de réactiver plusieurs acquis de la classe de 6e, comme la distinction des notations (AB) et AB, ou encore l’égalité des nombres en écriture fractionnaire. Difficultés : Les élèves ont tendance à enser que le symbole n’est utilisé que pour 00F 128