TD de maths Niveau:MP 2009-2010 Normes subordonn? es e Exercice 1 : Soient E, F deux Kespaces vectoriels norm? s r? els et f : E > F une application. e e 1. On suppose que K = R et f est born? e sur la boule unit? de E telle que : e e ? (x, y) ? E 2 : f (x + y) = f (x) + f (y) Montrer que f est une application lin? aire continue sur E e 2. On suppose que f est lin? aire v? ri? ant : e e (f (xn ))n? N est born? e dans F pour toute suite (xn )n? N de E tendant vers 0 dans E. e Montrer que f est continue Exercice 2 : Soit (E, ||. ||E ) et (F, ||. ||F )deux K-espaces vectoriels norm? s e soit u ? C (E, F ) on pose |||u||| = sup ||u(x)||F ||x|| 1 Montrer que |||u||| = inf{k 0, ? x ? E, ||u(x)|F k||x||E } Exercice 3 : Soit (E, ||. ||E ) et (F, ||. ||F )deux K-espaces vectoriels norm? s tel que F est complet e Soit (un ) une suite de
Rn [X] > Rn [X] P (X) > P (X + n) on munit Rn [X] de la norme||. ||1 d?? nie par : e n n ?P ? Rn [X]tel que P = i=0 ai X i : ||P ||1 = i=0 |ai | Montrer que ? est continue et calculer sa norme subordonn? e e Exercice 5 : On note E = c? ([0, +? [, R) et D l’endomorphisme de E de d? rivation : D(f ) = f . e Montrer qu’il n’existe aucune norme sur E pour laquelle D soit continu Exercice 6 : ? Soit E = {(un )n? N? ? RN / lim un = 0} muni de la norme ||. || : n+? ?u = (un )n? N? ? E, ||u|| = sup |un | n? N? E>R et l’application ? : (un )n? N? > un 2n n=1 1 CPGE – Mohammedia +? MOHAMED SAHROURDI TD de maths Niveau:MP 009-2010 1. V? ri? er que ? une forme lin? aire continue et calculer sa norme subordonn? e e e e 2. Montrer que |||? ||| n’est pas atteinte Exercice 7 : Soit A ? Mp (R). On suppose que la suite de matrices : An = I + A + A2 + · · · + An converge vers une matrice B. Montrer que I ? A est inversible, et B = (I ? A)? 1 . Exercice 8 :On munit Mn (R) d’une norme subordonn? e||. || , soit A, M ? (Mn (R))2 e 1 ? 1 1. Si||A|| < 1 alors In + A est inversible et ||(I + A) || 1 ? ||A|| 1 2. Montrer que si A ? GLn (R) et ||M ? A|| < alors M est inversible ||A? 1 || Exercice 9 : Soit E un evn de dimension ? ie et P l’ensemble des projecteurs de E. Montrer que P est ferm? dans L(E). e Exercice 10 : Soit E = l? l’ensemble des suites r? elles u = (un ) born? es et F = l1 le sev des suites telles que la s? rie de e e e terme g? n? ral |un | converge. Pour u ? E, on pose u ? = sup |un | et pour u ? F : u 1 = |un |. e e n n E>E 1. Soit a ? E et f : u > (an un ). (a) Montrer que f est une application lin? aire continue de E dans E et calculer sa norme. e (b) Montrer que F est stable par f et calculer la norme de f|F quand on prend la norme F >R 2. Soit a = (an ) ? E et l’application ? a : +? 1 sur F . (xn )n? N > =0 xn an (a) Montrer que ? a ? lc (F, R) = F et calculer sa norme E>F (b) En d? duire que ? : e est une isom? trie bijective e a > ? a Exercice 11 : Soit E un R-evn et ? ? E ? . 1. Montrer que ? est continue si et seulement si F = Ker? est ferm? e 2. On suppose ? continue et non nul . Soit ? ? R,on pose H = {x ? E/? (x) = ? } Soit x0 ? E. |? (x0 ) ? ?| Montrer que d(x0 , H) = inf ||x0 ? y|| = . y? H |||? ||| Exercice 12 : Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme in? nie ||. ||? et g ? E , on consid? re l’application e E>R ? : 1 f > ? (f ) = 0 f (t)g(t)dt 1. Montrer que ? est une forme lineaire continue 2.
Calculer ||? || la norme subordonne? de ? e 3. Soit K ? C([0, 1]2 , R) (a) Montrer que ? x ? [0, 1], l’application t > K(x, t) est continue sur [0, 1] (b) Montrer que x > 0 K(x, t) dt est continue sur [0, 1] et on pose : 1 ? f ? E, ? x ? [0, 1] : ? (f )(x) = 0 K(x, t)f (t)dt Montrer que ? est une application lin? aire continue , et qu’ il existe x0 ? [0, 1] telle que : e 1 1 ||? || 0 |K(x0 , t)|dt MOHAMED SAHROURDI 2 CPGE – Mohammedia TD de maths Niveau:MP 1 telles que 1 2009-2010 (c) Montrer que ?? > 0, ? f? ? E, ||f? || ||? || 0 |K(x0 , t)|dt ? ? (On pourra utiliser la question 2 ) (d) En d? uire ||? || e Exercice 13 : Soit E un espace vectoriel r? el muni d’une norme ||. ||E ) et ? ? lc (E) = E tel que ? = 0 e 1. Montrer qu’ existe a ? E tel que ? (a) = 1, et v? ri? er que ker ? et V ect(a) sont des f? rm? s de E e e e 2. On d?? nit l’application 😕 : E > E par ? x ? E, ? (x) = ? (x). a Montrer que ? ? lc (E, E) et calculer sa e norme subordonn? e e 3. On munit F = ker(? ) ? V ect(a) de la norme ||. ||F d?? nie par : e ? (x, ? ) ? F, ||(x, ? a)||F = ||x||E + |? |||a||E Soit ? : E > F , telle que ? x ? E, ? (x) = (x ? ?(x), ? (x)) D? montrer que ? est un hom? omorphisme lin? ire , e e e et donner la norme subordonn? e de ? ?1 e 4. Montrer h : V ect(a) > R d?? nie par ?? ? R, h(? a) = ? e est un hom? omorphisme lin? aire et calculer les normes subordonn? es de h et h? 1 e e e F > V ect(a) 5. On note p : (x, ? a) > ? a Montrer que ? = h ? p ? ? 6. En d? duire que l’image d’un ouvert par une forme lin? aire continue non nulle est un ouvert e e Exercice 14 : Soit A = (ai,j )1 i n,1 j n ? Mn (K) , on pose |||A||| = ||AX||? X? Mn,1 (K),X=0 ||X||1 sup n o? , ||X||? = sup |xi | et u 1 i n ||X||1 = i=1 |xi | lorsque ? x1 ? x2 ? ? ? X=? . ? ? . ? . xn ? 1. Montrer que |||. || est une norme sur Mn (K) associ? e ` une norme subordonn? e sur l(Kn ) e a e 2. Calculer |||A||| en fonctions des ai,j , 1 i n, 1 j n 3. Montrer que |||. ||| n’est pas sous-multiplicative Exercice 15 : M? thode It? rative e e Soient A une matrice de GLn (K) , B ? Mn (K). et||. || une norme subordonn? e sur Mn (K) . On appelle matrice e r? siduelle de B la matrice R = I ? AB. e 1. Calculer A? 1 ? B en focntion de A? 1 et R. 2. On consid`re la suite (Bk )k 0 d?? nie par B0 = B, e e I ? ABk+1 en fonction de R 3. En d? duire que si ||R|| < 1 alors la suite (Bk ))k e Exercice 16 : Centrale-Sup? lec 2005 e On identi? Cn et Mn,1 (C) donc, en calcul matriciel un vecteur s’identi? e avec la matrice colonne ayant les m? mes ? l? ments. Pour A ? Mn,p (C), on note A = (ai,j )1 i n,1 j p lorsqu’on veut pr? ciser les ? l? ments de A ; e ee e ee quand le contexte est clair, on ? crit simplement A = (ai,j ) ou A = (Ai,j ). e . Pour A ? Mn (C), ? A d? signe le spectre de A, c’est-`-dire l’ensemble des valeurs propres de A et ? (A) = e a max {|? | ; ? ? ? A }. MOHAMED SAHROURDI 3 CPGE – Mohammedia 0 Bk+1 = Bk (I + Rk ) o` Rk = I ? ABk . Calculer u converge ves A? 1 . TD de maths 1. On munit Cn de la norme Niveau:MP soit z = max |zj |. =1,… ,n 2009-2010 ? ? On d?? nit l’application A ? Mn (C) > N? (A) = max e i=1,… ,n j? [1,2,… ,n] |ai,j |. (a) Montrer que A > N? (A) est une norme sur Mn (C). (b) i. Montrer que ? A ? Mn (C), ? z ? Cn : A(z) ii. Montrer l’? galit? e e N? (A) = z? (Cn {0}) ? N? (A) Z ?. max iii. Montrer que ? (A) A(z) ? . z ? N? (A). (c) Montrer que N? est une norme matricielle c’est-`-dire qu’elle v? ri? e : a e ? A et B ? Mn (C), N? (AB) N? (A) N? (B). (d) Soit Q ? Mn (C) une matrice inversible. On d?? nit e A ? Mn (C) > NQ (A) = N? (Q? 1 AQ). i. V? ri? er que NQ est une norme matricielle sur Mn (C). ii. Montrer qu’il existe une constante CQ telle que 1 ? A ? Mn (C) N? (A) NQ (A) CQ N? (A). CQ 2. Soit T ? Mn (C) une matrice triangulaire sup? rieure et ? > 0 donn?. e e Montrer que l’on peut choisir une matrice diagonale DS ? Mn (C) S = (s, s2 , s3 , . . . , sn ) ? Cn o` s est un r? el strictement positif telle que : u e NDS (T ) < ? (T ) + ?. ? Etant donn? s A ? Mn (C) et ? > 0, montrer qu’il existe une norme matricielle N? telle que e N? (A) < ? (A) + ?. 3. En d? duire l’? quivalence lim Ak = 0 ? ?(A) < 1. e e k>? avec • • • FIN • • • MOHAMED SAHROURDI 4 CPGE – Mohammedia
