Horloge astronomique

a la mise en rotation………………………………. 6. 1 Les dimensions en bref………………………………………………………… 6. 2 La motorisation du planetaire………………………………………………… 6. 3 Choix des vitesses………………………………………………………………. 6. 4 Les engrenages mecaniques…………………………………………………… 6. 5 La partie electronique……………………………………………. …………… page 11 page 12 page 12 page 12 page 13 page 14 page 15 7. Interet de la maquette………………………………………………… 7. Quand peut-on observer une planete ?…………………………………………………….. 7. 2 Toutes les planetes sont-elles visibles de la Terre ?……………………………………. 7. 3 Pourquoi y a-t-il des saisons ?…………………………………………………………………… 7. 4 : Quels sont les phenomenes imputables a la presence de la Lune ? ……….. 7. 5 : Mercure et Venus sont-elles capables elles aussi d’eclipses ?…………………… 7. 6 : Y a-t-il un phenomene qui ne serait visible qu’avec un planetaire motorise ? page 17 page 18 page 18 page 18 page 19 page 19 page 20

IV. Les equations solaires (& lunaires) ………………………… 1. D’ou vient la complication de la modelisation ?……………………………. 2. A propos de la Lune……………………………………………………………………. 3. Objectif du groupe……………………………………………………….. 4. Des equations mathematiques au secours de la mecanique…………… 5. A l’image de SCHWILGUE, conception d’une maquette illustrative page 21 page 21 page 21 page 22 page 22 page 23 V. FOUCAULT, exemple d’une modelisation historique………. page 26 1. Rappels des faits………………………………………………………. page 26 2.

Modele « maison »…………………………………………………….. page 26 3. Experimentations……………………………………………………… page 26 VI. Conclusion…………………………………………….. VII Bibliographie…………………………………………. VIII. Remerciements …………………………………….. IX. Documents annexes………………………………….. 2/36 page 27 page 28 page 29 page 30-36 I. Introduction 1. Historique du projet Mai 2004 : Initialisation du projet par M. SCHEFFLER, professeur de physique-chimie : depot d’un dossier de candidature pour la creation d’un atelier-recherche soutenu par le service d’actions culturelles du Rectorat de Strasbourg dans le cadre de l’annee 2005, annee mondiale de la Physique.

Theme : « Physique, culture, spectacle » Intitule du sujet : La cathedrale de Strasbourg : Sciences et Arts, regards croises. Juillet 2004 : Dossier retenu par un jury d’etude avec un budget initial de 400 euros. Septembre-decembre 2004 : – Mise en place du projet dans le cadre des Travaux Personnels Encadres en liens avec les sciences physiques et les sciences de l’ingenieur sur le theme officiel du programme de sciences de l’ingenieur lie a la modelisation. – 4 eleves (Benjamin VIX, Olivier WOLFF, Laurent GIESI, Nicolas REIBEL) commencent un travail de reflexion sur l’horloge astronomique de Strasbourg. M. Alain SPRAUER du service d’actions culturelles du Rectorat de Strasbourg nous met en contact avec M. Pascal DUBOIS, astronome a l’Observatoire de Strasbourg, qui organise tres vite une visite guidee de l’horloge astronomique et met a disposition de nombreux documents personnels. Premiere simulation avec le logiciel SOLIDWORKS. – Presentation, a titre exceptionnel, des mecanismes interdits de visite au grand public, par M. FAULLIMMEL, employe par une societe implantee a Molsheim (67) habilitee a entretenir l’horloge astronomique depuis des decennies. 2 sujets de travail sont mis en place : « Les equations solaires et lunaires » (Benjamin, Olivier) et « Etude de la modelisation du systeme solaire. » (Laurent, Nicolas) – 1er plan du planetaire etabli a partir des propositions de M. MARTIN (S. I. mecanique) & M. SCHEFFLER (sciences physiques) et des conseils avises de M. DUBOIS. Janvier-Fevrier 2005 : Suite a une erreur d’attribution de budget, les credits promis ne parviennent au lycee qu’en fevrier 2005, soit pratiquement au moment de la cloture des TPE : le groupe « Equations solaires » finalise son projet par la conception d’une maquette (peu onereuse).

La conception du planetaire n’aboutit pas faute de moyens financiers. Presentation des TPE. Juin 2005 : – Profitant de la fin des cours : premiers achats pour le planetaire (barres de cuivre, choix de tournebroches pour les moteurs…), premier montage avec un planetaire articule manuellement. Choix des boules de polystyrene pour les planetes. – Visite nocturne de l’observatoire de STRASBOURG. La pluie et une panne d’electricite empechent malheureusement toute observation astronomique. Septembre-decembre 2005 : – M.

SCHEFFLER obtient la reconduction de l’atelier recherche avec l’attribution d’un nouveau budget de 400 euros et l’appui de Monsieur DUBOIS pour l’encadrement. – En TPE (mathematiques, Sciences de l’ingenieur) Benjamin VIX, qui redouble son annee de premiere S, reprend le travail inacheve sur le planetaire avec Anthony PANTHOU. – Reprise des elements calculatoires avec M. FISCHER, enseignant en mathematiques. – Reflexion sur la programmation de la partie informatique avec M. POIREY (Sciences de l’Ingenieur electronique). Reprise plus affinee de la simulation avec SOLIDWORKS. 3/36 En TPE (Lettres-Sciences-Physiques), deux groupes de travail participent de pres ou de loin au projet : sujet n°1 : (Julien BISCEGLIA, Lucas KELLER, Julian GRAFF) « Comment modeliser le temps ? » Etude de plusieurs dispositifs de mesure du temps. Reflexion sur la conception d’un calendrier. Montage avec M. SCHEFFLER d’une clepsydre d’apres une idee developpee sur le site de l’UDPC par M. FORTIN (professeur stagiaire au lycee Marc Bloch en 2004-2005). sujet n°2 : (Virginie BITTERLIN, Habibe SUMENOGLU) « Le pendule de FOUCAULT : comment montrer avec un pendule que la terre tourne sur ellememe ? Pour les deux groupes : etudes d’ecrits scientifiques encadrees par M. GRENIER, enseignant en lettres modernes (Textes de FOUCAULT, ordonnances de Henri III sur l’intauration du calendrier gregorien en France,…). Vacances de Fevrier 2006 : – Reprise de l’experience historique de FOUCAULT dans le hall d’entree du lycee avec l’aide de M. DUBOIS & M. SCHEFFLER. Reflexion sur les materiaux a choisir, sur le montage a suivre. Enregistrement de mesures. Conception d’une maquette explicative. – Conception de cylindres adaptes au planetaire encadree de M.

DANELON (Genie Mecanique). Conception des circuits imprimes destines a assurer la commande electronique du planetaire avec l’aide precieuse de M. HAFIR, enseignants en Genie Electronique. – Aide de son papa et de son oncle electronicien, Benjamin realise un premier montage du planetaire. Les 4 planetes tournent mais de facon assez desordonnee. 23 Mars 2006 : Journee portes ouvertes du lycee Un peu intimidees, Virginie et Habibe passent le relais a Anthony pour la presentation du pendule de FOUCAULT.

Reprise de l’experience de FOUCAULT, mais les resultats sont nettement plus mauvais pour cause de courants d’air et de perturbations du fait de la presence du public. Exposition du planetaire mais sans mise en marche electronique. Avril-Juin 2006 : – Premiere mise en place de la partie electronique du planetaire. Presentation finale des TPE. – Inscription et participation au concours de la semaine des sciences organisee au CRDP de Strasbourg par la mission culturelle du Rectorat de Strasbourg : conception de panneaux explicatifs sous la conduite de Mme MOREAU (Arts

Appliques). – 20 Mai 2006 : Premier prix du concours de la semaine des sciences (Ex-aequo avec le Lycee Marcel RUDDLOFF de Strasbourg-Hautepierre). Le planetaire tourne mais la programmation des vitesses est a revoir et de nombreuses forces de frottements demeurent. – Visite nocturne de l’observatoire de STRASBOURG et observation dans des conditions meteo optimales : visibilite des crateres de la Lune, de Saturne et de diverses etoiles. – Ete 2006 : Benjamin entreprend d’ameliorer le planetaire durant les vacances. er trimestre de l’annee scolaire 2006-2007 : – Dans le cadre des TPE (Sciences physiques-Sciences et Sciences & Vie de la Terre) 4 eleves acceptent la proposition de M. SCHEFFLER : travailler sur la visibilite de phenomenes astronomiques avec un planetaire. – Inscription aux Olympiades de physique dans l’objectif de rendre le projet visible. – Le planetaire est rapatrie au lycee mais au 1er essai un des 4 moteurs lache et de nombreuses forces de frottement empechent toujours les autres de tourner correctement. M. DUBOIS & M. POIREY proposent de nouvelles modifications. – Encadres de M.

POIREY & M. SCHEFFLER, nous consacrons beaucoup de temps a la mise ou a la remise en etat du planetaire : decision a ete prise de supprimer le degre de liberte qui existait sur les moteurs qui permettait le cas echeant de debrayer le moteur. – Aide de M. FRITSCH, Ouvrier Professionnel du lycee, pour realiser les soudures des barres de cuivre afin de solidifier l’ensemble dans la perspective du deplacement a Reims. – Recherche de budget pour les epreuves de preselection. Finalisation des rapports. Clips videos en plongee et en chambre noire. Etude de la retrogradation. Essais avec une webcam. /36 2. Evolution de la problematique La datation au carbone 14 pour connaitre l’age d’un sarcophage de momie, les rayons X pour authentifier un tableau de grand peintre ou lever quelques mysterieux secrets comme l’illustre avec fracas le « Da Vinci Code » de Dan BROWN, la pyrotechnique et les rayons lasers pour enrichir les spectacles de rock ou de theatre, le defi des architectes pour construire le pont de Millau qui attire depuis une foule de curieux en quete d’une photo a immortaliser sont autant d’exemples qui temoignent d’un reel partenariat entre la Science et les Arts.

Pour souligner ce « regard croise » entre deux disciplines qu’on a tendance a mettre bien souvent dos a dos, les exemples de problematique ne manquaient pas : « Comment les arts contribuent-ils au developpement de la science ? » « Les arts ont-t-ils besoin des sciences ? »… A Strasbourg, la cathedrale de Strasbourg est un passage oblige pour n’importe quel touriste qui fait halte dans notre ville. Pendant trois siecles environ, la fleche de la cathedrale, reel defi technique, est le point culminant d’Europe admire, envie et finalement copie comme n’importe quelle ? uvre d’art. Victor HUGO ne qualifiera-t-il pas lui-meme ette impressionnante cathedrale au gothique flamboyant de « prodige du gigantisme et du delicat » ? Science et art, il y avait matiere a croiser nos regards sur la cathedrale de Strasbourg : « Forces mecaniques : comment concevoir un edifice qui allie gigantisme et duree de vie ? » « Les arcs-boutants, ? uvre d’art ou simples piliers de soutien ? » « La propagation du son : ou placer de facon adequate un orgue dans une cathedrale ? » « La mesure du temps (cadrans solaires, rayons solaires… ) : comment creer une horloge ? »… Tous les Strasbourgeois connaissent « leur » horloge astronomique.

Ils ne se doutent peut-etre pas des tresors d’ingeniosite utilises par ses constructeurs, dont certains relevent precisement des mathematiques et de la mecanique. Debout face a l’horloge, c’est avant tout la beaute artistique qui emerveille les regards : les aiguilles et les cadrans en or ou cuivre, le buffet en bois dans lequel s’encastre l’horloge, les tableaux autour, notamment celui de Copernic, le planetaire qui nous place devant l’immensite de l’univers, les automates qui se mettent en mouvement, saluent le public et repartent au rythme du temps… sont tous classes monuments historiques !

Pourtant, dans l’ombre, a l’arriere de la face visible, dans un espace relativement exigu, secretement preserve du grand public, au c? ur des rouages et des mecaniques, la science fait son spectacle … et le regard croise entre science et art parait du coup plus evident que jamais : « Comment des lois mecaniques et mathematiques ont-elles pu conduire a une telle merveille artistique ? » « Comment modeliser un mouvement si complexe que celui des astres ? » « De quelles contraintes faut-il tenir compte pour illustrer comment la Terre tourne et permettre a tous de se reperer dans le temps et l’espace ? ». /36 II. L’horloge astronomique de Strasbourg 1. L’Horloge des Trois Rois Vers la fin du XIIIeme siecle se produisit une revolution technique avec l’invention de l’horloge mecanique. Suite a cela, les grandes villes se doterent d’une horloge monumentale pourvue de differents systemes revolutionnaires qui leur donnaient un aspect spectaculaire. La ville de Strasbourg fut parmi les premieres a donner l’exemple d’une telle realisation en faisant elever de 1352 a 1354 l’Horloge des Trois Rois. Cette horloge realisait une veritable synthese des connaissances astronomiques et mecaniques de la Renaissance.

L’edifice comportait alors : un calendrier, un astrolabe, une statue de la Vierge a l’enfant devant laquelle, toutes les heures, les rois mages venaient s’incliner, pendant qu’un carillon jouait differentes melodies et qu’un coq chantait en battant des ailes. 2. L’Horloge du XVIeme siecle Lorsque l’Horloge des Trois Rois cessa de fonctionner vers le debut du XVIeme siecle, on installa en 1533 sur la facade sud du transept un cadran qui devait montrer la trajectoire du soleil et de la lune a travers le zodiaque, au moyen ‘aiguilles actionnees depuis l’horloge. Encore fallait-il que celle-ci fut renouvelee… En 1547, la ville de Strasbourg decida alors de remplacer l’ancien instrument devenu trop delabre, par une nouvelle horloge qui fut mise en chantier en face de l’ancien emplacement dont les traces au mur sont encore visibles aujourd’hui. En 1571, Conrad Dasypodius (1531 – 1601) reprit l’ouvrage interrompu par ses predecesseurs. Les travaux s’etendirent de 1571 a 1574.

Le buffet, largement avance, empecha Dasypodius d’elaborer un projet plus ambitieux, de meme que l’astrolabe deja esquisse l’incita peutetre a rester fidele au systeme de Ptolemee qui placait la terre au centre de l’univers, quarante ans apres la publication de la theorie heliocentrique de Copernic. Precisons seulement que si sa conception astronomique etait des l’origine depassee, son calendrier elabore d’apres le systeme Julien, herite des Romains, le fut aussi apres la reforme gregorienne de 1582 (Cf.

ANNEXE 1) introduite a Strasbourg un siecle plus tard. Au fil des annees, l’usure affecta les rouages en fer forge qui refuserent progressivement de fonctionner jusqu’a ce que l’horloge s’arreta completement en 1788. 6/36 3. La renovation de SCHWILGUE Un jour, que le suisse de la cathedrale, apres avoir presente a des visiteurs l’horloge immobile et muette, concluait que personne ne pourrait plus jamais la remettre en marche, un garcon lui lanca :  » Eh bien ! Moi, je la ferai marcher ! « 

Il s’agissait du jeune Jean-Baptiste SCHWILGUE (1776-1856) qui allait consacrer son existence a acquerir en autodidacte toutes les connaissances necessaires a une telle entreprise. Devenu ingenieur mecanicien, il fut enfin charge, a l’age de 61 ans, de la renovation de l’horloge qu’il mena a bien de 1838 a 1842. C’est qu’il etait pret depuis longtemps ! Il avait forme quelques ouvriers capables de l’assister et s’etait mis a construire les machines qui devaient lui faciliter la confection des pieces de l’horloge avec la plus extreme precision.

Parmi elles figurait meme une machine a sculpter le bois qui permettait d’ebaucher les automates d’apres des maquettes en platre. Personnellement il aurait volontiers renonce a ces figures mobiles dont il pensait  » qu’elles ne sont plus du gout actuel, qu’elles n’interessent que le vulgaire, le moins instruit « . Son reve eut ete de construire une horloge entierement neuve, dans un buffet largement vitre qui aurait permis d’admirer les mecanismes. Devant le cout d’un tel projet, la ville prefera lui demander de ne renouveler que les differentes fonctions de l’ancien instrument.

C’est a cette sage decision que nous devons d’avoir conserve le buffet qui est un chef-d’oeuvre de la Renaissance et qui abrite une realisation exemplaire de la science et de la technique du XIXeme siecle. Le coq (automate) Tour renfermant les contrepoids 12 apotres defilent au fil des heures devant le Christ. Tableau dedie a COPERNIC, le pere de l’heliocentrisme Les 4 ages de la vie (l’enfant, le jeune, le bien portant, le vieillard) sonnent les ? heures devant la mort.

Tableau representant SCHWILGUE Cadran horaire 7 Dieux grecs sur leur chariot incarnent les 7 jours de la semaine. Le globe lunaire montrant les phases de la Lune (ici la pleine Lune). Signes du zodiaque Planetaire montrant les mouvements de Mercure, Venus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne en revolution autour du Soleil. (Cf. partie III) Calendrier ecclesiastique Equations solaires et lunaires (Cf. partie IV) Calendrier avec les fetes & les annees liturgiques Globe celeste Terre avec les positions de la Lune et du Soleil. 7/36 III.

De la realite a la conception d’un planetaire 1. Objectif vise : Notre projet s’inspire du systeme solaire presente sur la facade de l’horloge astronomique de la Cathedrale de Strasbourg renovee par SCHWILGUE en 1842. Conscients que nous n’allions bien evidemment pas refabriquer une nouvelle horloge astronomique ni etre en mesure d’entretenir celle de la cathedrale de Strasbourg comme SCHWILGUE a pu le faire en son temps, nous avons volontairement restreint notre reflexion a un element cle de l’horloge astronomique : le planetaire qui figure au centre du buffet.

Emerveilles depuis notre plus tendre enfance par la beaute et la magie de l’horloge astronomique, nous avons cherche a nous mettre dans les pas de Jean-Baptiste SCHWILGUE en tentant de fabriquer un planetaire avec les moyens et les competences dont on dispose dans un lycee moderne du XXIeme siecle. Confrontes a un defi somme toute assez illusoire, par dela les reussites ou les embuches, notre principal objectif etait de vivre cette exaltante aventure qui est celle de ne partir de rien pour mettre en definitive une bonne partie de l’Univers en mouvement ! 2. Donnees astronomiques

Afin de realiser une maquette du systeme solaire conforme a la realite astronomique, nous avons commence par rechercher des donnees precises sur les corps celestes … En son temps, SCHWILGUE n’a sans doute pas fait autrement pour commencer son travail … bien qu’il soit de l’evidence qu’une connexion internet facilite tout de meme considerablement l’acces aux connaissances. Le tableau donne en ANNEXE 2 regroupe les elements indispensables a la construction d’un planetaire : distance des planetes au soleil, diametres des planetes, vitesses de rotation, etc… 3. Le planetaire de l’horloge de SCHWILGUE

A la lecture des donnees collectees, certaines questions sont tres vite apparues : quelle taille allait avoir notre planetaire ? Comment faire tourner les planetes ? Peut-on toutes les representer ? Que prendre pour le Soleil ? Une ou plusieurs echelles ?… Notre groupe de travail a donne lieu a de nombreuses discussions. Avant de nous lancer a corps perdu dans notre projet, une petite reverie devant l’ouvrage de SCHWILGUE s’imposait… Le cadran du planetaire de l’horloge astronomique actuellement en place dans la cathedrale de Strasbourg reproduit le mouvement autour du Soleil des six premieres planetes visibles a l’? l nu (Mercure, Venus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne), auxquelles on ajoute la Lune tournant autour de la Terre. Les six planetes decrivent des cercles autour du soleil place au centre, cercles dont les rayons sont proportionnels aux distances moyennes relativement au Soleil. Les signes du zodiaque traces sur le pourtour permettent de savoir dans quelles constellations se trouvent les planetes. Les dimensions de celles-ci, ainsi que leurs distances et leurs mouvements sont restitues proportionnellement a la realite avec une precision de l’ordre du cent millionieme.

Uranus n’a pu etre admise sur le Planetaire a cause de son trop grand eloignement. Au regard des donnees glanees sur le net, on comprend mieux ce premier choix : si Saturne est la planete la plus eloignee sur le planetaire de SCHWILGUE, une distance d’environ 1 m 8/36 correspond en realite a 1430 Millions de km. Uranus placee a 2871 Millions de km du Soleil serait a une distance du soleil environ double de celle Saturne, ce qui doublerait du coup aussi la dimension du planetaire sur le buffet… Or pour SCHWILGUE la conservation de l’ancien buffet devait etre l’une des contrainte lors de la renovation de l’horloge du XVIeme siecle.

Neptune n’ayant ete decouverte qu’en 1846 par LE VERRIER, SCHWILGUE ne s’est donc bien evidemment pose aucune question la concernant. Chaque planete est representee par une boule doree au feu, de diametre proportionnel a sa grandeur apparente et fixee a la pointe d’une aiguille tres effilee, peinte en bleu fonce de maniere a etre aussi imperceptible que possible. Les six planetes sont equilibrees et montees sur des tubes concentriques, separes entre eux par des bagues en acier.

Chacun de ces tubes porte a son extremite interieure une roue dentee qui communique le mouvement de revolution a la planete respective. 1 4 La Terre est montee sur un grand disque qui decrit un tour complet autour du soleil en une annee tropique, que SCHWILGUE prend egale a 365 jours, 5 h. , 48 mn, 48 s = 31 556 928 s. Ce disque est entraine par un arbre moteur qui fait un tour en une heure de 3600 secondes. Il y a de ce fait un systeme de trois engrenages reducteurs dont les rapports sont donnes par : 3600 9 10 10 = ? 31556928 156 188 269 Pour realiser le mouvement des autres planetes, SCHWILGUE emploie pour chacune deux engrenages dont les rapports sont calcules au plus juste en utilisant des approximations determinees au moyen de fractions continues, approximations donnees par le tableau suivant ou le numerateur represente le nombre de secondes d’une annee tropique et le denominateur le nombre de secondes pour la revolution de la planete consideree : S 2 3 P L 9/36 4. Premiers choix, premieres joies, premieres peines…

Sous la conduite de M. DUBOIS, astronome a l’Observatoire de Strasbourg, de M. SCHEFFLER, notre professeur de sciences physiques, de M. POIREY (Sciences de l’Ingenieur – electronique) et M. MARTIN (Sciences de l’Ingenieur – mecanique), nous avons tres rapidement emis des priorites et cerne quelques limites a notre projet. 4. 1. Echelle des distances au Soleil Si notre planetaire devait un jour servir de support de cours de physique ou de Sciences et Vie de la Terre, notre production devait etre visible de loin.

On est parti sur l’idee d’une envergure maximale de 3m, plus aurait ete tres contraignant a manipuler dans une salle de classe habituelle, moins paraissait insuffisant. Les choix qui se sont imposes decoulent d’un produit en croix : sur la maquette, si on place la Terre a 1 m du Soleil pour une distance reelle de 1 U. A. , Mercure se trouve a 0,387 m, Venus a 0,720 m, Mars a 1,52 m… et Jupiter a 5,2 m !!! Ce calcul implacable nous a convaincu qu’il fallait limiter notre etude au mouvement des planetes telluriques (Mercure, Venus, la Terre et Mars) autour du soleil. 4. 2.

Echelle des diametres des corps celestes Si en 1842, SCHWILGUE ne disposait pas de l’electricite pour illuminer son planetaire, et en particulier le Soleil, pour nous, il en etait tout a fait autrement. Pour tout le groupe, l’idee de prendre une grosse ampoule comme soleil relevait de l’evidence meme et offrait, de surcroit, l’espoir de visualiser des ombres et lumieres illustrant quelques phenomenes astronomiques, les eclipses en particulier. Pour ce faire, nous devions par contre faire le choix de planetes aux diametres nettement plus grands que des tetes d’aiguille.

Le prix a payer etait d’assumer deux echelles de longueurs : une pour les distances par rapport au soleil, une autre pour les dimensions des planetes ! Les boules de polystyrene que l’on trouve dans les magasins de decoration interieure ont considerablement guide nos choix : Si la Terre (? 6400 km) est representee par une boule de ? 10 cm, Mercure (? ? 2400 km) peut etre approximativement representee par une boule de ? 2,5 a 3 cm, Venus (? 6048 km) peut etre approximativement representee par une boule de ? 10 cm, Mars (? 3400 km) peut etre approximativement representee par une boule de ? cm, … La encore, il est interessant de remarquer que Jupiter (? 71900 km), en bonne planete geante qui se respecte, serait hors norme : une boule de ? 112 cm !!! Le choix de se limiter aux planetes telluriques se confirme. Le souci est le meme pour le Soleil (? 0,696 millions de km ? 10,9 m), mais la difficile de faire sans ! 4. 3 La lune Si le satellite naturel de la Terre ne pose a priori aucun probleme de dimension (une boule d’environ le tiers de celle de la Terre), elle pose un reel souci de distance : la distance Terre-Lune, egale a 3,85. 05 km equivaudrait a 2,5 mm de la Terre, distance quasiment impossible a respecter… surtout avec une boule-Lune de 3 cm environ de diametre. Nous avons cependant emis l’idee de l’ajouter manuellement au bout d’une tige en vue d’une exploitation possible sur le planetaire comme pour illustrer les phases de la Lune par exemple. 4. 4 Conception generale Puisque les elements de recherches sur l’horloge ont ete une des idees directrices de notre travail, notre planetaire s’inspire de celui de SCHWILGUE.

Contrairement a celui-ci, nous avons cependant decide de construire notre maquette a l’horizontale. Cela nous facilitait son fonctionnement et offrait une meilleure visualisation d’un systeme que nous avons plutot l’habitude de concevoir a l’horizontale sur les pages glacees de nos manuels scolaires. 10/36 En se reportant au schema donne dans la partie II. 3 consacree au planetaire de SCHWILGUE, nous avons place le soleil (S) au centre de la maquette, les 4 planetes (P) gravitent autour de ce dernier.

Initialement, nous avions egalement envisage de mettre la lune (L) en mouvement de facon independante mais comme nous l’avons explique, pour des raisons techniques et de choix d’echelle, ce souhait n’a pas ete realise a ce jour. Dans notre projet, presque comme par mimetisme pour celui de SCHWILGUE, les planetes tournent autour du soleil par le moyen d’axes (1) en cuivre qui sont emboites les uns dans les autres (2) et qui sont mis en rotation au moyen d’engrenages (3). Les planetes tournent chacune a des vitesses differentes produites par des reducteurs (4). . Simulations avec les logiciels Solidworks et Meca 3D Grace au logiciel SOLIDWORKS, de conception assiste par ordinateur (CAO), nous avons realise notre maquette numerique, qui est une conception virtuelle de notre maquette reelle. Il nous permet entre autre de rendre visible : • Les problemes que l’on pourra rencontrer lors de la realisation de la maquette reelle • L’assemblage des pieces et le montage de celles-ci les unes par rapport aux autres. • Les dimensions des differentes pieces. • La maquette terminee.

Avec le logiciel MECA3D, qui est un complement de Soliworks, nous avons pu visualiser notre maquette numerique (Cf. ANNEXE 3) en mouvement avec les vitesses reelles propres a chaque planete. Donc ce logiciel permet de simuler une utilisation future de la maquette reelle. Nous pouvons egalement visualiser les graphes des equations du mouvement des differents ensembles (voir de la rotation des planetes). On definit les pieces On definit les liaisons entre les pieces On peut visualiser les graphes associes aux equations de mouvements 11/36 6. De la conception a la mise en rotation 6. Les dimensions en bref Maquette numerique Les diametres des planetes sur la maquette sont proportionnels aux diametres reels. Si les distances Planete-Soleil ont pu etre respectees, il ne nous a cependant pas ete permis de conserver la relation diametredistance. Comme nous l’avons evoque precedemment, cette contrainte a ete quasiment impossible a respecter compte tenu des differences notables entre les diametres et les distances. En magasin, le choix des barres de cuivre s’est impose du fait de la possibilite qui nous etait donnee de pouvoir disposer ainsi de tiges industrialisees a la fois solides et emboitables ! . 2 La motorisation du planetaire En 1842, SCHWILGUE mettait ses planetes en mouvements grace a d’innombrables roues dentees entrainees par des poids dont les lents mouvements sont caches par le corps du buffet qui soutien l’horloge. En juin 2005, lors de nos premiers achats, conseilles par M. MARTIN et M. SCHEFFLER, nous avons opte pour une motorisation a base de 4 tournebroches alimentes chacun par deux piles de 1,5 V soit une tension de 3 V au total que nous avons par la suite delivree avec un generateur de tension continue.

Aussi curieux que cela puisse apparaitre aujourd’hui, le choix des tournebroches s’est fait le plus naturellement possible : il nous fallait des moteurs assez lents et suffisamment solides pour entrainer en sortie, des barres que nous avions toutes choisies a l’origine en cuivre et dont la plus longue faisait tout de meme 1 m 50. A l’origine, nous comptions utiliser un seul moteur pour alimenter tout le planetaire, mais ce choix a ete nettement trop restrictif si bien que nous l’avons tres vite abandonne pour adopter une motorisation a 4 moteurs (un par planete).

A partir des moteurs utilises pour la revolution de chacune des planetes, il nous a fallu employer des reducteurs pour nous permettre d’aboutir aux vitesses de rotation desirees Comme SCHWILGUE, nous avons ainsi tout d’abord mis en place tout un mecanisme d’engrenages : un moto reducteur entrainant des pignons de type Mecano convenablement choisis qui eux-memes appliquent une vitesse de rotation a des tubes creux verticaux directement lies aux barres fixes horizontales soutenant les differentes planetes en rotation circulaire autour d’un axe fixe sur lequel se situe le soleil represente par une ampoule (Cf.

ANNEXE 3). Lorsque les rapports de reduction ne donnaient pas exactement le resultat escompte par la mecanique, nous avons ajoute un systeme de rectification electronique etudie en Sciences de l’ingenieur : la Modulation de Largeur d’Impulsion. En associant ces deux techniques, l’une plutot ancestrale, l’autre resolument moderne, nous sommes arrives a obtenir, a partir d’un moteur unique pour chaque planete, des vitesses de revolutions aussi proches que possibles de celles que nous souhaitions. 2/36 6. 3 Choix des vitesses Disposant de 4 moteurs pour faire tourner 4 boules-planetes chacune a une vitesse differente, il nous est apparu assez logique de faire le necessaire possible pour que l’une d’entre-elles au moins puisse etre mise en rotation sans correction aucune. Il etait par ailleurs evident que si on pouvait assez facilement agir sur un moteur pour abaisser sa vitesse, il etait impossible d’augmenter celle-ci au risque de griller le moteur immediatement !

Partant de ce principe, nous avons pris comme premiere hypothese de mettre directement en rotation, par le moteur, la planete qui tournerait la plus vite ; autrement dit Mercure, la plus proche du Soleil (Cf. ANNEXE 2). Comme reference de base, nous avons pense que la visualisation des phenomenes astronomiques pourrait etre interessante si la Terre accomplissait une revolution autour du Soleil en 3 minutes environ. La faire tourner plus vite conditionnait une revolution trop forte pour Mercure, la faire tourner plus lentement avait peu d’interet pour visualiser rapidement un phenomene astronomique.

Au regard des donnees cicontre, conformes a celles de l’ANNEXE 2, il apparait que si la Terre met 1 an a faire un tour autour du Soleil, Mercure, plus proche ne met que 0,24 an. Mercure est donc MERCURE Distance moyenne au soleil (106km) Periode de revolution (an terrestre) Periode de rotation (h) 53 0,24 1407. 6 VENUS 108 0,62 5832. 2 TERRE 150 1 23. 9 MARS 220 1,88 24. 6 1 v (Mercure) = 4,2 v (Terre) = 4,2 fois plus rapide que la Terre : 0,24 Or pour la Terre, on a pose : 1 tour ? 3 mn.

En 3 minutes, Mercure accomplirait ainsi 4,2 fois plus de tours que la Terre soit 4,2 tours. Donnee mecanique : Vitesse moyenne de nos moteurs Tournebroche : 12 tr. mn-1. Si on part du principe que Mercure est alimentee directement par le moteur, ce dernier ferait donc 3 x 12 = 36 tours en 3 mn (temps pris comme reference pour la revolution de la Terre). Par consequent, si on souhaite que le moteur illustre la vitesse de revolution de 36 Mercure, nous sommes contraints et forces de reduire sa rotation d’un facteur : = 8,6 . ,2 Compte tenu des vitesses relatives de chaque planete, par un facteur de proportionnalite, on peut aisement en deduire le rapport de reduction a appliquer a chaque moteur : MERCURE Distance moyenne au soleil (10 km) Periode de revolution (an terrestre) Rapport : vitesse de la planete / vitesse de Mercure Rapport de reduction a appliquer au moteur Rapport de reduction retenu pour chaque moteur 6 VENUS 108 0,62 2,6 22,4 21 TERRE 150 1 4,2 36 33,6 MARS 220 1,88 7,8 67 62,4 53 0,24 1 8,6 8 13/36 6. 4 Les engrenages mecaniques

Associes aux moteurs, les engrenages sont les principaux acteurs de notre planetaire, ils demeureront aussi au cours de notre travail notre principal sujet d’angoisse et d’attention : ce sont d’abord eux qui transmettent le mouvement de rotation aux barres auxquelles sont accrochees les planetes, mais c’est surtout, par leur association, que nous sommes parvenus a modifier la vitesse de rotation propre des moteurs donc des axes verticaux qui transmettent le mouvement aux differentes planetes via une connexion en forme de « T ».

Comme il faut une vitesse differente pour chaque planete, ces associations d’engrenages sont forcement specifiques a chaque moteur. En enchainant plusieurs associations, on dispose d’une large palette de reduction mais qui a somme toute ete assez limitee, puisqu’a la difference de SCHWILGUE, nous n’avions pas les moyens techniques et financiers pour couler nos propres roues dentees ! Nous avons du composer avec celles qui etaient disponibles dans les magasins de modelisme notamment : des roues de 10, 20, 30, 40 ou 50 dents… en plastique vert !

Les reductions obtenues peuvent cependant etre encore affinees, par l’alternative de la partie electronique liee a la M. L. I. dont ne beneficiait bien evidemment pas Jean-Baptiste SCHWILGUE ! La partie mecanique represente cependant l’essentiel de la reduction, voire la totalite, comme explique plus haut pour la planete Mercure. Les calculs des reductions r selon une formule mathematique qui depend du nombre z de dents que comptent les differentes roues dentees : r = (z1. z3)/(z2. z4) Pour le moteur de l’axe de Mercure: Les nombres ci-dessous designent le nombre de dents des roues utilisees.

La vitesse du moteur est d’abord divisee par 4 puis par 2, ceci pour obtenir au final une vitesse divisee par 8. Notons que Mercure a sa vitesse reduite entierement grace aux engrenages. roue de 20 roue de 40 ? roue de 40 collee sur l’AXE d’entrainement. MOTEUR ? pignon de 10 ? Pour le moteur de Venus : Ce dernier doit tourner environ 22 fois moins vite que la vitesse de nos moteurs pour tournebroche. L’association d’engrenages qui s’en rapproche le plus est la suivante : roue de 10 roue de 40 ? roue de 50 collee sur l’AXE d’entrainement. MOTEUR ? pignon de 10 ?

La vitesse de ce moteur est donc divisee par 4 puis par 5, soit par 20. Comme la reduction doit etre de 22 on utilisera la MLI pour faire le reste. Pour le moteur de la Terre : D’apres nos precedents calculs, la vitesse du moteur de la Terre doit etre divisee par un facteur compris entre 30 et 35. Les engrenages reduisent de 25 puis la MLI gerera le reste. roue de 10 roue de 50 ? roue de 50 collee sur l’AXE d’entrainement. MOTEUR ? pignon de 10 ? La vitesse du moteur de la Terre doit etre divisee par 35. Les engrenages reduisent de 25 puis la MLI gerera la reduction de ce qui reste. 4/36 Pour le moteur de Mars : Mars, la planete la plus lente de notre maquette, doit tourner environ 65 fois moins vite que la vitesse du moteur tournebroche. Compte tenu des nombreuses incertitudes qui demeurent sur les engrenages du fait des forces de frottements, on peut quasiment considerer qu’un rapport de 64 peut etre satisfaisant. Ce rapport est assez facile a obtenir mecaniquement bien qu’il nous oblige a implanter 3 series de roues dentees en plus du pignon sur le moteur. roue de 10 ? roue de 40 ? roue de 40 sur l’AXE. MOTEUR ? roue de 10 ? oue de 10 roue de 40 Il faut remarquer ici qu’une autre contrainte est apparue pour le choix de nos rapports : celle de l’association impossible de certaines roues dentees hors dimensions. En effet, une roue de 50 ne peut par exemple pas entrainer une roue de 20 surmontee d’un pignon de 10, a moins d’y associer une roue inverseuse destinee a ecarter le pignon de l’axe d’entrainement. Pour Mars et la Terre, nous avons ete ainsi contraints de suivre cette solution afin d’eviter que la derniere roue (40 pour Mars ; 50 pour la Terre) n’entre en contact avec l’axe !

Une astuce de plus dont Jean-Baptiste SCHWILGUE n’a pas hesite a user en son temps. De notre cote, nous avons evite autant que possible cette solution car l’ajout d’une roue supplementaire occasionnait a chaque fois de nouveaux tourments lies aux forces de frottements. Les regles en la matiere sont implacables : si l’une des roues dentees n’entre plus en contact avec sa voisine, l’ensemble ne tourne plus. Si l’une d’entre-elles pousse trop fort, l’ensemble se bloque ! Cornelien comme choix !

Par surete avant notre expedition pour les epreuves de preselection a Reims, nous avons ainsi decide de supprimer le degre de liberte que nous avions jusque-la toujours voulu maintenir sur nos moteurs afin de pouvoir les debrayer le cas echeant. M. DUBOIS nous a rendus attentifs au fait que la lunette de l’Observatoire de Strasbourg est soumise aux memes contraintes. A l’Observatoire, le degre de mobilite a toujours ete maintenu car s’il n’en avait pas ete ainsi, une seule fausse manipulation aurait occasionne de gros degats du cote des engrenages… Il n’en est pas autrement de notre cote !

La ou on a sans doute gagne en fiabilite des moteurs, on a perdu en protection en cas d’eventuels chocs au cours d’une manipulation. Faudra bien se tenir le jour de la presentation ! 6. 5 La partie electronique A un facteur d’echelle pres, la maquette du systeme planetaire respecte la periode de revolution propre a chacune des planetes. La partie electronique est donc par consequent essentielle au bon fonctionnement de la maquette puisqu’elle nous permet de palier aux limites des engrenages en faisant tourner chaque moteur a la vitesse reellement souhaitee.

Nous avions en outre imagine de pouvoir mettre chaque planete en rotation sur elle-meme avec un dispositif electronique a commande a distance que l’on aurait localise dans les boules de polystyrene… mais le poids de celle-ci aurait alors ete considerablement augmente et les forces de frottements mecaniques qui en resultaient auraient ete sans doute presque impossibles a corriger. Nous avons donc limite la partie electronique a la correction des revolutions des planetes autour du soleil. La programmation du dispositif a ete realisee en langage BASIC. Les planetes sont entrainees en rotation par des moteurs a courant continu.

Un microprocesseur definit pour chacun de ces moteurs l’energie qui lui est necessaire pour respecter les differentes periodes de revolution. Cette distribution d’energie s’effectue en Modulation de Largeur d’Impulsion (MLI) ; c’est-a-dire que les moteurs sont alimentes periodiquement pendant une duree proportionnelle a la vitesse souhaitee. 15/36 Periode de revolution [ jours ] Mercure Venus Terre Mars 88 225 365 687 Cmde moteurs ? [%] MLI 100 38,43 23,53 12,55 Largeur Impulsion 255 98 60 32 Rayon moy. orbite [ua] 0,39 0,72 1 1,52 ua = unite astronomique = 150 millions de Km = 1 m sur la maquette 6/36 7. Interet du planetaire Du fait de l’eblouissement occasionne par le Soleil dans le ciel, l’essentiel des observations astronomiques se pratique generalement de nuit…aux horaires ou les portes des salles de TP ne sont generalement pas ouvertes ! Pour les sciences physiques et les Sciences et Vie de la Terre, cette maquette est un bon compromis pour la comprehension du systeme solaire. Elle devrait permettre de demontrer et d’expliquer une multitude d’elements fascinants, d’apporter quelques precisions a des questions laissees parfois sans reponse faute de preuves visibles ! 7. Quand peut-on observer une planete ? Quand le soleil se couche, toutes les planetes qui se trouvent a gauche du Soleil se voient, toutes celles qui sont a droite sont invisibles. Le matin, au lever du soleil, c’est l’inverse. Meme si les planetes ne tournent pas sur elles-memes sur notre planetaire, la modelisation permet cependant de clarifier ce constat : supposons une planete a droite et une planete a gauche du soleil. La planete a droite se couchera avant le soleil. Donc au coucher du soleil, on ne verra qu’une planete a gauche… sous reserve qu’elle ne soit pas trop proche du soleil inon l’eblouissement empechera toute observation ! 7. 2 Toutes les planetes sont-elles visibles de la Terre ? Comme en temoignent les documents fournis en ANNEXE 4, a cause de l’eblouissement du Soleil les planetes ne sont pas visibles quand elles se trouvent dans la direction du soleil a +/10 degres. Le reste du temps on doit pouvoir les voir. Ce constat peut se faire sur le planetaire en se placant proche de la Terre et en regardant dans la direction de la planete observee. Si la lampe qui materialise le soleil est trop proche de celle-ci, c’est l’aveuglement assure !

Les periodes ou une planete peut etre visible varient d’une annee a l’autre en fonction de la position des planetes autour du soleil. Les 4 planetes materialisees sur notre planetaire presentent quelques distinctions sur ce point : – Mercure et Venus restent toujours entre la Terre et le Soleil, – Mercure est rarement visible. Du fait de sa proximite au Soleil, l’eblouissement est frequent. – Venus, nettement plus distante du soleil peut etre visible soit le soir, soit le matin selon qu’elle se trouve a gauche ou a droite du soleil. Mars peut-etre vue lorsqu’elle se trouve a l’arriere du Soleil et pas trop eloignee mais sa visibilite varie la aussi d’une annee a l’autre en fonction de sa position sur l’orbite autour du soleil. 7. 3 Pourquoi y a-t-il des saisons ? En inclinant la boule Terre sur son support, pour differentes positions au cours de sa revolution autour du Soleil, il est possible de comprendre le rythme des saisons : Printemps, Ete, Automne et l’Hiver. Il est clairement visible alors que le temps et la surface d’eclairage n’est pas le meme au cours de la revolution de la Terre autour du Soleil. 7/36 Ce point nous permet de mieux comprendre comment les hommes ont pu acceder a une mesure du temps et fixer des reperes temporels : Le calendrier chretien est base sur le mouvement de la terre autour du soleil. Les mois n’ont pas de rapport avec le mouvement de la lune autour de la terre. Le calendrier islamique repose sur le principe inverse car celui-ci est base sur le mouvement de la lune autour de la terre et les annees n’ont aucunes relations avec le mouvement de la terre autour du soleil. Le calendrier hebraique est luni-solaire.

Cela signifie que les annees sont liees au mouvement de la terre autour du soleil et les mois suivent a peu pres les lunaisons et comptent 29 ou 30 jours. Etant donne que les Juifs veulent egalement suivre le Soleil, une annee de 12 mois lunaires est trop courte de 10 a 12 jours. Pour y remedier, certaines annees juives comptent 13 mois lunaires. 7. 4 Quels sont les phenomenes d’ombre et de lumiere ? Les phases de la Lune ou de Venus : Un satellite ou une planete n’emet pas de lumiere. La preuve irrefutable de leur existence nous est apportee par le Soleil qui les rend visibles de la terre sous forme de phases !

Si on place notre planetaire en chambre noire, que l’on fixe son regard au niveau de la Terre (avec une webcam par exemple) et que l’on regarde comme ci-contre Venus tourner autour du soleil, 4 phases apparaitront peu a peu… Les croissants de Venus sont les plus brillants puisque Venus est proche du Soleil. Le phenomene observe pour Venus est exactement comparable a celui de la Lune autour de la Terre ! Les eclipses : Si nous n’avons pas pu integrer la Lune dans notre planetaire, il est tout a fait possible de l’ajouter manuellement hors dimensions au bout d’une tige. Il est alors possible de visualiser l’effet produit sur la face terrestre !

Comme la Lune tourne autour de la Terre et qu’elle se trouve dans le plan de l’ecliptique (plan commun a toutes les planetes du systeme solaire) alors l’alignement Soleil- Lune- Terre est possible. Donc on pourra visualiser une eclipse solaire et une eclipse de lune. Mais ces phenomenes sont relativement rarissimes car une eclipse demande un alignement parfait du Soleil avec la Lune et la Terre. De plus l’orbite de la Lune est legerement inclinee par rapport au plan de l’ecliptique c’est pourquoi notre satellite peut par exemple passer entre le Soleil et la Terre sans pour autant etre parfaitement aligne avec eux.

Eclipse de Soleil : Pour cela, la Lune doit se trouver exactement entre la Terre et le Soleil. Pour un observateur sur Terre, trois cas de figure sont alors possibles : Une eclipse totale : le disque lunaire est bien centre et cache completement la surface du Soleil. L’obscurite s’abat sur une petite zone de la Terre et peut durer plusieurs minutes. Comme la surface du Soleil est cachee, sa chromosphere et sa couronne sont visibles et donnent lieu a un spectacle magnifique. Une eclipse partielle : le disque lunaire n’est pas centre sur celui de Soleil.

Seule une partie de la surface de notre etoile est alors cachee. Ce phenomene est beaucoup moins spectaculaire mais il est plus frequent. Une eclipse annulaire : les distances relatives des trois corps sont telles que le disque lunaire est plus petit que celui du Soleil. Dans ce cas, seule la partie centrale du Soleil est cachee. On dit alors annulaire car un anneau de lumiere semble entourer le disque de la Lune. 18/36 Eclipse de Lune : Pour cela, la Terre passe exactement entre le Soleil et notre satellite. La lumiere solaire est alors bloquee par la Terre et la Lune n’est plus completement eclairee.

Mais meme dans le meilleur cas (une eclipse totale avec un alignement parfait), la Lune ne disparait pas du ciel car les rayons du Soleil qui passent aux abords de la Terre sont devies par l’atmosphere et une partie d’entre eux vient faiblement eclairer la Lune. Notons encore qu’en passant dans notre atmosphere, la lumiere du Soleil subit un phenomene de diffusion qui affecte surtout sa partie bleue et moins sa partie rouge. La lumiere qui atteint notre satellite est donc plutot rouge, ce qui explique l’aspect rougeatre des eclipses de Lune. 7. 5 : Mercure et Venus sont-elles capables elles aussi d’eclipses ?

Du fait du non respect d’une meme echelle pour les distances et les dimensions, l’observation avec le planetaire tendrait a repondre a cette question par l’affirmative. En realite, vu les distances Mercure-Terre et Venus-Terre seule une petite partie de Soleil disparait lorsque cette situation se produit. On parle alors plutot de « passage » que d’ « eclipse ». En juin 2004, Venus etait ainsi passee devant le soleil. A Strasbourg, vu de la Terre, on a pu avoir l’impression que le soleil avait un grain de beaute durant quelques heures, mais on etait loin d’une ombre totale comme en Aout 1999 lors de l’eclipse solaire. . 6 : Y a-t-il un phenomene qui ne serait visible qu’avec un planetaire motorise ? La troisieme loi de KEPLER : Le rapport entre le carre de la periode de revolution et le cube du demi-grand axe de l’ellipse est constant pour toutes les planetes : T2 / a3 = cste. perihelie S grand axe aphelie La modelisation n’est qu’un exemple de simulation. Regi par des lois mathematiques, le modele doit donc forcement caler a la realite scientifique. Par consequent, la mesure de la periode T et la connaissance du rayon orbital de chaque planete conduit a la 3eme loi de Kepler.

Du fait du choix orbital circulaire, les 2 autres lois n’ont pas lieu d’etre verifiees ici. La retrogradation : Le mouvement d’une planete autour du soleil est presque circulaire. Cela est un fait generalement bien accepte. Il est par contre nettement plus difficile d’imaginer quel serait le mouvement de Mars ou de Venus par rapport a la Terre. Lorsqu’un corps est en mouvement vis-a-vis d’un autre qui est lui-meme en mouvement, ce qui est le cas ici, on parle de apparent d’une planete qui, apres avoir decrit un mouvement d’ouest en est, se deplace dans le mouvement apparent.

La retrogradation est le nom que l’on peut attribuer au mouvement sens inverse. Notre planetaire rend possible la visibilite d’un tel phenomene : le jeu consiste a regarder le mouvement d’une planete (Mars ou Venus) vue d’une autre (la Terre par exemple). A un moment donne, la planete observee semble aller en sens inverse, d’ou le nom de retrogradation. 19/36 Manipulation : Dans le hall du lycee, a l’aide d’un bon appareil photo numerique, nous avons enregistre une video en plongee du planetaire en fonctionnement.

Apres avoir ete travaille avec le logiciel de traitement video : VIRTUALDUB (compression, selection de la sequence voulue, frequences d’images …) le clip video ainsi obtenu a pu etre lu et exploite avec le logiciel traceur REGAVI. En cliquant sur « ORIGINE / Origine mobile » nous avons ainsi pu visualiser la retrogradation d’une planete vis-a-vis d’une autre (La Terre par rapport a Mercure dans l’exemple ci-dessous). La seule contrainte etait l’impossibilite du choix de l’axe de visee vers une « etoile fixe ». La regle jaune placee au sol a permis d’etalonner le logiciel n ayant acces a des points de coordonnees. L’enregistrement des points se faisait en cliquant successivement sur Mercure pour placer le repere mobile puis sur la Terre pour la position du systeme etudie. Le trace obtenu a l’ecran restitue les trajectoires circulaires des deux corps celestes dans le referentiel heliocentrique. En cliquant sur l’icone , les donnees sont transmises au logiciel REGRESSI. En affichant la courbe selon x et y, la retrogradation de la Terre vue de Mercure apparait a l’ecran : 20/36 IV. Les equations solaires (& lunaires) : 1. D’ou vient la complication de la modelisation ?

Pour modeliser avec rigueur et precision le mouvement naturel de la terre autour du soleil, Jean-Baptiste SCHWILGUE a obligatoirement du tenir compte de deux anomalies que nous avons negligees dans la conception de notre planetaire : L’anomalie terrestre : Cette anomalie provient de la forme elliptique de l’orbite de la terre : cette derniere tourne plus vite autour du soleil quand elle en est le plus proche (perihelie) et plus lentement quand elle en est le plus eloignee (aphelie), ce qui a evidement une repercussion sur la marche apparente du soleil.

Resultat : par rapport au mouvement circulaire illustre par notre planetaire, vu du sol terrestre, le Soleil est en realite soit un peu en avance, soit un peu en retard sur l’horaire que l’on pourrait deduire de la modelisation. Notre planetaire etant destine a voir comment les planetes bougent les unes par rapport aux autres et non a determiner precisement un temps, M. Pascal DUBOIS nous a conseille de negliger l’anomalie terrestre qui aurait de toute facon considerablement complique notre tache pour un gain finalement assez minime.

Le principe des boules de polystyrene suspendues a l’extremite de barres en rotation autour d’un axe n’aurait en effet plus ete possible avec la modelisation d’un mouvement elliptique… a moins de fixer une rallonge variable au cours du temps sur chaque tige ! La reduction (a l’equateur) : Cette anomalie provient des 23°27’ d’angle d’inclinaison entre l’equateur terrestre et le plan de l’ecliptique dans lequel migrent les autres planetes. Le fait qu’il y ait existence de cet angle a pour consequence que la vitesse dans le plan de l’equateur n’est pas la meme que dans celle de l’ecliptique.

Une vitesse uniforme sur l’ecliptique entraine que la vitesse est variable a l’equateur. 2. A propos de la Lune… La Lune nous montre toujours la meme face car sa vitesse angulaire est en moyenne egale a sa vitesse de rotation. Si son mouvement etait circulaire et uniforme, on ne pourrait jamais voir que 50 % de sa surface. En realite, on peut observer pres de 59 % de sa surface au cours d’une revolution. En consequence de quoi, on peut en deduire que sa trajectoire est, elle aussi elliptique… et que sa vitesse orbitale varie ! Si pour des contraintes d’echelles et de difficultes electriques ou mecaniques, ous avons ete contraints d’abandonner le projet de faire figurer la Lune sur notre planetaire, force est de constater que nous serions tombes sur la meme epineuse question que pose la modelisation d’un corps en mouvement non uniforme sur une orbite elliptique ! 21/36 3. Objectif du groupe. Bien que nous ayons occulte l’anomalie terrestre et lunaire pour concevoir notre planetaire, nous avons malgre tout voulu comprendre et chercher a reproduire le plus modestement possible comment Jean-Baptiste SCHWILGUE a su relever ce defi il y a maintenant plus d’un siecle… avec une ingenieuse astuce mecanique ! . Des equations mathematiques au secours de la mecanique L’equation mathematique : y(t) = A sin (? t + ? ) a comme atout de traduire le comportement d’une elongation dont l’amplitude A evoluerait periodiquement au cours du temps t … exactement comme la vitesse de la terre sur son orbite solaire. Considerons un point M dont la mobilite sur l’horloge astronomique aurait pour but d’indiquer l’evolution du temps sur un cadran (la pointe d’une aiguille par exemple) ou la position exacte d’une planete sur une orbite elliptique. La pulsation ? tant liee a la frequence ? du mouvement du point M par la relation ? = 2?.? , mecaniquement, si l’elongation uM du point M est une fonction sinusoidale du temps, de la forme uM = A sin (2?? t), quand t augmente d’une periode T = 1/? , l’elongation de ce point reprend la meme valeur. Poursuivant ce raisonnement, on peut faire apparaitre la phase a l’origine notee ? : A l’instant t : uM (t) = A sin (? t) A l’instant t+T : Or en posant ? = 0 rad uM (t+T) = A sin (? (t + T)) = uM (t) et T = 1/? ? = 2?.? soit ? = ? / 2? donc T = 2? /?

En remplacant dans l’expression de l’elongation du point M a l’instant t+T : uM (t+T) = A sin (? (t + 2? /? )) = A sin (? (t + 2? /? )) = A sin (? t + 2? ) uM (t) = uM (t+T) = A sin (? t + 2? ) Il apparait donc que pour toutes les valeurs ? = 2. k.? (avec k =1 ; 2 ; 3…), le point M a la meme elongation qu’a l’instant t. De meme, pour toutes les valeurs de la pulsation ? = (2. k+1).? , le point M aurait une elongation opposee a celle qu’il avait a l’instant t. Comme illustre sur le schema cicontre, on peut remarquer que l’elongation u1 = A sin(? ) du point M pourrait etre ainsi augmentee si on lui ajoutait, a chaque instant, une nouvelle elongation d’amplitude u2 = B sin (? t+T) ou carrement annulee si cette nouvelle elongation etait destinee a s’opposer a la precedente en etant cette fois de la forme : u2 = B sin (? t+T/2). 22/36 Ce constat pourrait etre aisement illustre experimentalement avec un oscilloscope bicourbe dont chacune des voies y1 et y2 serait reliee a l’entree d’un generateur basses frequences delivrant respectivement des tensions alternatives de formes : u1 = sin(? t) et u2 = sin(? t+? ).

A l’aide de la fonction « ADD » (addition de courbes) de l’oscilloscope, on parviendrait a visualiser la somme des deux tensions. Bien que les vraies fonctions mathematiques soient sans doute plus complexes qu’une simple sinusoide (Cf. ANNEXE 5), comme en temoigne le document ci-dessous, l’ingeniosite de SCHWILGUE est d’avoir compris qu’un mecanisme regi par de telles equations mathematiques pourrait parfaitement compenser les anomalies soulignees precedemment…d’ou l’appellation « Equations solaires » pour l’ensemble du dispositif mecanique amene a illustrer le mouvement apparent du Soleil.

La longitude solaire est l’angle d’inclinaison qui donne la position de la terre sur son orbite autour du Soleil. L’erreur dite de reduction correspond a la courbe G ci-dessus. Dans l’horloge astronomique de Strasbourg, les mecanismes des equations solaires et lunaires tiennent ainsi compte des principales anomalies dont les corrections doivent etre appliquees aux aiguilles solaires et lunaires sur le cadran qui indique le temps apparent.

Il s’agit donc d’un systeme correcteur qui a pour fonction de faire accelerer ou ralentir, dans un espace de temps donne, la progression des aiguilles indicatrices des positions du Soleil ou de la Lune, afin d’obtenir a un chaque instant la reproduction de la marche reelle de ces deux astres dans l’espace. Ce mecanisme est constitue de trois parties : • A gauche les equations solaires, reliees a l’aiguille solaire. • Au milieu les equations lunaires reliees a l’aiguille lunaire. • A droite, l’equation de la ligne des n? uds, reliee a la came des n? ds qui tient compte de la precession de l’orbite lunaire sur le plan de l’equateur terrestre. 23/36 5. A l’image de SCHWILGUE, conception d’une maquette illustrative Nos recherches se sont tout d’abord portees sur la comprehension du fonctionnement de l’horloge astronomique. Nous avons eu la grande chance de pouvoir visiter l’arriere de l’horloge astronomique en compagnie de l’horloger charge de la maintenance de l’edifice. La visite de l’edifice a ete tres impressionnante. Celle-ci nous a permis d’apprecier reellement le genie de SCHWILGUE.

L’avancee de notre realisation a ete grandement facilitee par la documentation et les explications fournies par Monsieur DUBOIS. Le schema du mecanisme actionnant l’aiguille solaire (Cf. Fig 5 en page suivante) a ete une tres bonne base de travail. Tres vite nous avons pu commencer la realisation de notre maquette afin de mieux comprendre l’utilite du mecanisme des equations solaires et lunaires : Chaque equation est materialisee par une courbe sinusoidale decoupee dans le bord superieure d’une rampe cylindrique (D), fixee sur une roue dentee horizontale tournant librement autour d’un axe vertical fixe (W).

La courbe est reproduite deux fois sur la circonference, de sorte que deux points diametralement opposes soient toujours a la meme hauteur. Cette disposition permet de faire reposer sur la courbe un chariot (H) muni de deux galets (h) et guide par des rails verticaux (J). Les hauteurs (ordonnees) de la courbe correspondent a l’amplitude de l’anomalie, et les longueurs (abscisses) correspondent au temps. Lorsque la courbe tourne a la vitesse de l’anomalie le chariot horizontal monte ou descend en indiquant a chaque moment l’ordonnee instantanee de la courbe.

Ce chariot horizontal porte la roue dentee a la courbe superieure. Chaque courbe a sa propre vitesse et les ordonnees de ces courbes s’additionnent algebriquement a chaque instant sous l’effet des chariots qui soulevent ou abaissent toutes les roues au-dessus. Le chariot superieur effectue un mouvement ascendant ou descendant qui represente la somme algebrique des valeurs instantanees de toutes les courbes du mecanisme. J H h D d W 24/36 Ci-contre : Modelisation numerique avec le logiciel SOLIDWORKS :

Dans l’horloge de SCHWILGUE, le mouvement est transmis par des fils de tiree (K) et des renvois aux tirees (O) agissant par l’intermediaire des etriers de correction (L) sur les rouages differentiels (M) des aiguilles correspondantes (N) (un deplacement des tirets de 6 mm provoque une avance ou un retard de 1°). Chaque courbe est graduee en degre afin de pouvoir controler a chaque instant sa longitude. K O N M H h L d D La realisation de notre maquette nous a pose quelques problemes, comme toute realisation, tout n’etait pas acquis du premier coup, nous avons donc du faire face pour arriver a nos fins.

Le premier probleme rencontre a ete de realiser les « sinusoides » (modelisation physique des equations). Celles-ci ont ete realisees en metal par SCHWILGUE par le biais de machines qu’il a du specialement creer. Nous avons decide de les realiser dans des manchons de gouttiere plastique. Le probleme a ete de les decouper de facon a obtenir ces sinusoides. Par le calcul nous avons pu les obtenir. Nous les avons calques sur les manchons pour pouvoir les decouper. Ce premier probleme resolu, il a fallu realiser les chariots. N’ayant pas de materiel de menuisier, la precision finale de notre mecanisme a un peu diminue.

Nous avons rencontre quelques problemes dus a notre manque de precision lors du limage, sciage et percage. Au depart nous avions pense faire fonctionner la maquette grace a un moteur. Les sinusoides sont entrainees par friction, mais le couple a fournir par le moteur etait trop eleve, il a donc fallu faire tourner les sinusoides a l’aide d’une manivelle… 25/36 V. FOUCAULT, exemple d’une modelisation historique La partie developpee ici est une sorte d’hommage que nous avons voulu rendre aux collegues qui ont contribue de pres ou de loin a l’evolution de notre travail.

Certes un peu moins ambitieux d’un point de vue financier, le projet de concevoir un pendule de FOUCAULT dans l’enceinte du lycee dans le cadre d’un TPE avait tout de meme un gros point commun avec le notre : FOUCAULT, SCHWILGUE meme combat : ne partir de rien pour montrer que l’Univers bouge ! 1. Rappels des faits Janvier 1851 …dans sa cave, rue d’Assas a Paris, Leon FOUCAULT installe sous la voute de sa cave, un fil met