Espaces

Espaces

MPSI 1 Devoir en temps libre no 22 2005-2006 Espaces euclidiens A rendre le lundi 24 avril Probleme 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considere l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ? E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i). Partie I 1. Montrer qu’on de? nit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynome P associee au produit scalaire precedent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , … , Ln ) de E telle que Li (j) = ? i,j pour tout (i, j) ? {0, 1, … , n}2 . Veri? er que la famille B = (L0 , … , Ln ) est une base orthonormee de E. Que peut-on dire du degre du polynome X n + (? )n+1 n! L0 ? 3. Determiner les coordonnees dans la base B d’un vecteur N de E orthogonal a l’hyperplan H de E forme des polynomes de degre ? n ? 1. Si P ? E, on note d(P, H) = inf Q? H P ? Q 2 la distance de P a l’hyperplan H. Montrer que d(X n , H) = n!

Désolé, mais les essais complets ne sont disponibles que pour les utilisateurs enregistrés

Choisissez un plan d'adhésion
d(L0 , H). n 4. En remarquant que (1 + X)2n = (1 + X)n (1 + X)n , exprimer p=0 n p 2 a l’aide d’un seul coe? cient binomial. 5. En deduire la valeur de d(X n , H). Partie II Un endomorphisme d’un espace euclidien E est autoadjoint si pour tous x, y ? E, f (x)|y = x|f (y) . n On note ? = i=0 (X ? i) et on ? xe un polynome M0 dans E. On considere l’application de E dans E qui a tout P associe le reste de la division euclidienne de M0 P par ?. 1. Montrer que ? est un endomorphisme de E. 2. Exprimer ? (Li ) en fonction de Li . En deduire que ? est un endomorphisme autoadjoint de E. 3. Donner une condition necessaire et su? sante portant sur M0 pour que ? soit un automorphisme orthogonal de E. Quelle est alors sa nature geometrique ? 1 d’apres Centrale PSI Math 2 M 2002 1 4. On note B(0, 1) = {P ? E | P P ? B(0,1) 2 ? 1}. Exprimer et P ? B(0,1) min ?(P )|P max ?(P )|P a l’aide des M0 (i). Probleme 2: Dans tout le probleme2 , E designe un espace vectoriel reel muni d’un produit scalaire.

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est note u · v, la norme u . De plus, dans les parties I et II, E designe un espace eudidien de dimension n (n ? 2). Partie I I. A – Soient u et v deux vecteurs quelconques de E. On note Gram(u, v) la matrice de? nie par : u·u u·v et G(u, v) = det[ Gram(u, v) ] Gram(u, v) = v·u v·v I. A. 1) I. A. 2) I. A. 3) Montrer que : G(u, v) ? 0. On note P un sous-espace vectoriel de dimension 2 de E contenant u et v et B une base orthonormale de P . Veri? er que : G(u, v) = [ detB (u, v) ]2 A quelle condition a-t-on G(u, v) = 0 ? I. B – Dans toute la suite de la partie I, n est egal a 3 et E est oriente.

Si u, v, w sont trois vecteurs quelconques de E , on note Gram(u, v, w) la matrice de? nie par : ? ? u·u u·v u·w Gram(u, v, w) = ? v · u v · v v · w ? et G(u, v, w) = det[ Gram(u, v, w) ] w·u w·v w·w I. B. l) I. B. 2) I. C I. C. 1) u, v, w sont trois vecteurs quelconques de E. Montrer qu’il existe t et n, vecteurs de E, veri? ant : w = t + n, u · n = v · n = 0, (u, v, t) liee. Montrer que, dans ces conditions, on a : G(u, v, w) = G(u, v, t) + G(u, v, n) Montrer que les deux propositions suivantes sont equivalentes : a) Il existe un triplet (x, y, z) de reels di? erent de (0, 0, 0) tel que xu + yv + zw soit orthogonal a u, v et w. ) G(u, v, w) = 0 En deduire que : G(u, v, w) = 0 ?? (u, v, w) liee Calculer G(u, v, w) si u, v, w sont trois vecteurs deux a deux orthogonaux. On suppose w orthogonal a u et v. Exprimer G(u, v, w) en fonction de G(u, v). I. C. 2) I. C. 3) 2 Centrale Math 2 PSI 1999 2 I. C. 4) I. D I. D. 1) I. D. 2) Montrer que G(u, v, w) est un reel positif. u, v, w sont trois vecteurs de E et B une base orthonormale de E. Montrer que le reel | detB (u, v, w)| ne depend pas du choix de B. Soit P un plan de E contenant u et v et n1 un vecteur unitaire orthogonal a P . On designe par B1 une base orthonormee de P et on note B = B1 ? n1 }. En utilisant ces deux bases, montrer que G(u, v, w) = [ detB (u, v, w) ]2 I. E – Pour u, v vecteurs quelconques de E, u ? v designe le produit vectoriel de u par v. Rappels – Si B est une base orthonormee directe de E, pour tout element y de E on a detB (u, v, y) = (u ? v) · y. – P et P , deux plans de E de vecteurs normaux respectifs n et n (n et n non nuls) sont dits orthogonaux si n · n = 0. I. E. l) I. E. 2) Montrer que u ? v 2 = G(u, v) Soient P1 , P2 et P3 des plans de E orthogonaux deux a deux et p, q, r les projections orthogonales sur ces trois plans. Montrer que : V (a, b) ?

E 2 , a ? b 2 = G(p(a), p(b)) + G(q(a), q(b)) + G(r(a), r(b)) Partie II Soient u, . . . , un n vecteurs de E. Pour tout i, tout j, entiers de |1, n| , on note gi,j = ui ·uj On note Gram(u1 , . . . , un ) la matrice d’element general gi,j et le determinant de cette matrice est note G(u1 , . . . , un ) = det [ Gram(u1 , . . . , un ) ] II. A – Soit B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormee de E. On pose, pour tout entier j de |1, n| n uj = k=1 uk,j ek II. A. 1) II. A. 2) Exprimer, pour tout i, tout j, gi,j en fonction des coordonnees des vecteurs u1 , . . . , un dans la base B.

Soit A = (ui,j ), A element de Mn (R). Montrer que Gram(u1 , . . . , un ) = tAA En deduire que G(u1 , . . . , un ) est un reel positif. Montrer que G(u1 , . . . , un ) = 0 ?? (u1 , . . . , un ) libre II. A. 3) II. B – On munit E d’un autre produit scalaire note f1 . Soit (u1 , . . . , un ) une base orthonormale pour f1 et G1 = Gram(u1 , . . . , un ). II. B. 1) Cette question sera admise Montrer qu’il existe une matrice diagonale D, element de Mn (R), et une matrice P orthogonale telles que : D = tP G1 P . 3 II. B. 2) Soit (v1 , . . . , vn ) la famille de vecteurs de E de matrice P dans la base (u1 , . . , un ). Montrer que : Gram(v1 , . . . , vn ) = D. En deduire que (v1 , . . . , vn ) est une base orthogonale pour le produit scalaire (x, y) > x · y et orthonormale pour f1 . Montrer que tous les elements diagonaux de D sont strictement positifs. II. B. 3) II. C – Soit (u1 , . . . , un ), (u1 , . . . , un ) deux bases orthonormales pour f1 . II. C. 1) Montrer qu’il existe S, matrice orthogonale, telle que : G2 = tSG1 S avec G1 = Gram(u1 , . . . , un ) et G2 = Gram(u1 , . . . , un ). n II. C. 2) Montrer que : det(G1 ) = det(G2 ) et que i=1 ui 2 n = i=1 ui 2 . II.

D – E, designe ici un espace a? ne euclidien de dimension 2 et E l’espace vectoriel associe. (O; i, j) est un repere orthonorme de ce plan. On considere deux nombres reels strictement positifs a et b et on de? nit la courbe C d’equation : x2 y 2 + 2 = 1, ou x et y designent les coordonnees dans le repere (O ; i, j). a2 b II. D. 1) Pour u et v, vecteurs de E, de coordonnees (x, y) et (x , y ) dans la base (ij) on note xx yy f1 (u, v) = 2 + 2 a b Montrer qu’on de? nit ainsi un nouveau produit scalaire dans E. Soit M un point quelconque de C et T la tangente a C en M .

Soit D la droite passant par O et parallele a T et M un element de C ? D. ? > ?? ? ? > Montrer que f1 (OM, OM ) = 0. Montrer que 0M 2 + OM 2 II. D. 2) II. D. 3) ? > ?? ? ? > = a2 + b2 et que G(OM, OM ) = a2 b2 . Partie III Dans toute la suite E n’est plus forcement de dimension ? nie. Si u1 , . . . , ur sont r vecteurs de E, on note, comme dans la Partie II, G(u1 , . . . , ur ) le determinant de la matrice de Mr (R) de terme general ui · uj (G est un determinant de Gram). III. A – Soit (e1 , . . . , ep ) une famille libre de p vecteurs de E et F = Vect(e1 , . . . , ep ).

Pour tout x element de E, on note xF le projete orthogonal de x sur F et x? le vecteur tel que : x = xF + x? . III. A. 1) III. A. 2) Exprimer xF en fonction des vecteurs e1 , . . . , ep . Exprimer simplement le reel d(x, F ) de? ni par d(x, F ) = inf x ? f ; f ? F Montrer que d(x, F ) = G(x, e1 , . . . , ep ) G(e1 , . . . , ep ) III. A. 3) 4 III. B – Dans toute la suite du probleme, E designe l’ensemble des applications continues de [0 1] dans R, muni du produit scalaire 1 f. g = 0 f (t)g(t) dt. Pour ? reel strictement positif, on note p? l’element de E de? ni par : ? t ? ? , p (0) = 0. ]0 1], p? t) = t ? Soit (? j )j? 1 une suite strictement croissante de reels strictement positifs veri? ant : 1 lim ? j = +? et est une serie divergente j>+? j? 1 ? j III. B. 1) III. B. 2) Pour n entier non nul, on note En = Vect(p? 1 , . . . , p? n ). Veri? er que En est un sous-espace vectoriel de E de dimension n. Soit k un entier ? xe pour toute la suite du probleme. Pour n entier non nul, on note : 1 n uk n = inf 0 t ? i=1 k ai t? i 2 dt ; (a1 , . . . , an ) ? Rn En interpretant uk comme le carre d’une distance d’un vecteur a un sous-espace n vectoriel de E, exprimer uk en fonction de determinants de Gram. III. C – Soit p un entier non nul, (a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bp ) des reels strictement positifs tels que, pour tout i, pour tout j, i = j ? bi = bj Le but de cette question est de calculer le determinant de la matrice de Mp (R) de 1 terme general . ai + bj Ce determinant sera note C(a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bp ). III. C. 2) Soit F (X) = simples de F . III. C. 2) On note D le determinant d’ordre p : 1 1 … F (a1 ) a1 + b1 a1 + bp? 1 … … … … D= 1 1 … F (ap ) ap + b1 ap + bp? 1 Montrer, a l’aide de III. C. 1, et en calculant D par deux methodes di? rentes que : p? 1 (X ? a1 ) . . . (X ? ap? 1 ) . Expliciter la decomposition en elements (X + b1 ) . . . (X + bp ) (ai + bp ) F (ap ) C(a1 , . . . , ap? 1 , b1 , . . . , bp? 1 ) = i=1 p? 1 C(a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bp ) (bp ? bi ) i=1 III. C. 3) En deduire : (aj ? ai ) C(a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bp ) = 1? i 0, ? n ? N? , ? (a1 , . . . , an ) ? Rn n / pk ? i=1 ai p? i ? ? III. E. 4) En deduire, a l’aide du theoreme d’approximation de Weierstrass, que toute fonction f de E est limite d’une suite d’elements de En . n? 1 6