Epreuve specifique- mathematiques filiere mp

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SESSION 2003 EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Duree : 4 heures Les calculatrices sont interdites. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d’enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ete amene a prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! On designe par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degre inferieur ou egal a n ou n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynome et fonction polynomiale. Si f est un element de E, on pose f ? = sup f(x) . x ? [? 1 ,1 ] Les parties II. , III. sont independantes et utilisent les resultats de la partie I. I. Polynomes de Tchebychev Dans toute cette partie, n designe un entier naturel. 1. Existence et unicite a) Determiner un polynome T a coefficients reels de degre

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n verifiant la propriete (*): (*) : ?? ? ! , T (cos? ) = cos ( n? . (on pourra remarquer que cos(n? ) est la partie reelle de (cos? + i sin ? ) n ). b) Montrer qu’un polynome verifiant (*) est unique. On l’appelle le polynome de Tchebychev d’indice n, on le note T n . On definit alors une fonction polynomiale sur [-1,1] par : ? x ? [? 1, 1], Tn(x) = cos(n arcos x). Tournez la page S. V. P. 2 2. a) Montrer que ? x ? [? 1, 1], Tn + 2 ( x) = 2 xTn +1 ( x) ? Tn ( x) (on pourra calculer Tn + 2 ( x ) + Tn ( x ) ). b) Calculer T0 , T1 , T2 , T3 . c) Donner le coefficient du terme de plus haut degre de T n . 3. Racines et extrema a) Montrer que ? x ? -1,1], Tn(x) = 2n ? 1 ? (x ? cos? k ) ou ? k = k =0 n ? 1 (2k + 1)? . 2n b) On pose pour k dans {0, 1,…,n}, ck = cos( k? ). n Calculer Tn ? puis montrer que : ? k ? {0,1,… , n}, Tn(ck ) = Tn ? et que : ? k ? {0,1,… , n ? 1}, Tn(ck +1) = ? Tn(ck ) . Les n + 1 reels c0 , c1 ,… , cn sont appeles points de Tchebychev. c) Dessiner le graphe de T3 , preciser sur le graphe les reels c0 , c1 , c2 , c3 . II. Polynomes de Tchebychev et orthogonalite Orthogonalite des Tn 4. Montrer que pour toute fonction h de E, l’application t  » f (t ) g (t ) 1? t2 h( t ) 1? t2 est integrable sur ]-1,1[.

Pour f et g elements de E, on pose f , g = ? 1 ? 1 dt. 5. a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si ? 1 ? 1 h(t ) 1? t2 d t = 0 alors h est la fonction nulle. b) Montrer que , definit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de definir une norme euclidienne sur E : pour tout element h de E, on pose h 2 = h, h . 6. naturel n que la famille (T0 , T1 ,… , Tn ) est une base orthogonale (pour Calculer Tn , Tm selon les valeurs des entiers naturels m et n. En deduire pour tout entier , ) de E n . Polynome de meilleure approximation quadratique Dans toute la suite de la partie II. f designera un element de E et n un entier naturel. On pose d 2 ( f , E n ) = inf f ? Q 2 , Q ? E n . { } 3 Le but de la suite de la partie II. est d’exprimer f 7. 2 en fonction des f, Tk . Tk 2 a) Enoncer un theoreme justifiant l’existence et l’unicite d’un vecteur tn ( f ) dans E n tel que f ? tn ( f ) 2 = d 2 ( f , En ) . b) Exprimer tn ( f ) a l’aide des polynomes de Tchebychev. On dit que t n ( f ) est le polynome de meilleure approximation quadratique de f sur E n . 8. Montrer que d 2 ( f , En ) = f 2 2 ? ? k =0 n f ,Tk Tk 2 2 2 . 9. a) En deduire que la serie ? k ? f, Tk 2 est convergente. Tk 2 2 b) Que pensez-vous de la limite de ? 1 ? 1 f (t )Tn (t ) 1? t2 d t lorsque n tend vers + ? ? Convergence en norme quadratique 10. a) Soit h un element de E, montrer que h 2 ? ? h ?. n > +? b) Montrer en utilisant un theoreme de Weierstrass que : lim f ? t n ( f ) 2 = 0 . 11. a) En deduire que f f, Tk 2 . 2 Tk 2 k =0 b) Application : un theoreme des moments. Que peut-on dire d’une fonction h de E telle que pour tout entier naturel n, 1 h(t)T (t) ? ?1 1 ? nt 2 d t = 0 ? = ? +? 2 III. Polynome de meilleure approximation au sens de Tchebychev

Dans toute cette partie, n designe un entier naturel et f un element de E. On note d ? ( f , E n ) = inf f ? Q ? , Q ? E n . On dit qu’un element P de E n , est un polynome de meilleure approximation (on notera en abrege PMA) au sens de Tchebychev de f d’ordre n, s’il verifie une des deux conditions equivalentes : (i) f ? P ? = d ? ( f , En ) (ii) ?Q ? E n , f ? P ? { } ? f ? Q ?. Tournez la page S. V. P. 4 Existence d’un PMA d’ordre n pour f On pose K = Q ? E n , f ? Q { ? ? f ? } 12. a) Montrer que K est une partie non vide fermee et bornee de E n . b) En deduire que K est une partie ompacte non vide de E n . 13. a) Montrer que d ? ( f , E n ) = d ? ( f , K ) . b) En deduire qu’il existe un element P de E n tel que f ? P ? = d ? ( f , En ) . P est donc un PMA d’ordre n de f. Condition suffisante pour etre un PMA Soit h un element de E. On dit que h equioscille sur k + 1 points s’il existe k + 1 reels x 0 < x1 0 . On a de meme, que si f ( xi ) ? P( xi ) < 0 alors Q( xi ) ? P ( xi ) < 0 . b) En deduire que P = Q et conclure. Determination de PMA 16. Dans cette question, pour x ? [-1,1], on prend f ( x ) = x n +1 et on pose : q n ( x ) = x n +1 ? 2 ? n Tn +1 ( x ) .

Montrer que q n est un PMA d’ordre n de f. 5 17. En deduire que pour tout polynome P unitaire de degre n + 1 , on a 2 ? n Tn +1 18. a) Dans cette question, f est un polynome de degre n + 1 . Determiner un PMA d’ordre n de f . b) Application : determiner un PMA d’ordre 2 de f ( x) = 5 x 3 + 2 x ? 3 . ? ? P ?. Remarque : On peut montrer l’unicite du PMA. Il n’existe pas de formule generale qui donne l’expression du PMA d’une fonction quelconque. On peut cependant utiliser un algorithme (de Remes) qui fournit une suite de polynomes qui converge vers le PMA. Fin de l’enonce Tournez la page S. V. P.