DM Loi Binomiale Et Algorithmique En 1ere ES

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D. M. de mathématiques no 7: Loi binomiale 1ère SI A rendre le mercredi 9 mai 2012 au début de l’heure Exercice 1. Une urne contient cinq boules numérotées de 1 à 5. On tire au hasard, successivement et avec remise IO boules dans l’urne. On appelle succès, lors d’un tirage, l’apparition de la boule numérotée 1 1 VARIABLES 25 EST DU TYPE NO 3 x EST DU IMPE NO 4iEST DU TYPE NO or 11 Sni* to View RE 5 DEBUT ALGORITHME 7 POUR i ALLANT DEI A IO DEBU POUR x floor(l 10 SI ALORS DEBIJT_SI 12 13 entre 1 et B et on appelle succès, lors d’un tirage, l’apparition d’une boule dont le numéro est compris entre 1 et m. Écrire sur votre copie un algorithme afin de simuler cette expérience aléatoire. La variable n sera lue en entrée, les variables m et B seront initialisées au début de l’algorithme. b) Prouvez que le nombre de succès suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 3) Application :Vous avez sûrement entendu parler du classement PISA qui évalue les systèmes d’enseignement des différents pays. Supposons que le LFJM doive envoyer aux tests PISA SIX élèves choisis au hasard

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parmi ses 240 élèves de seconde 2.

On établit un classement des élèves de seconde du lycée Mermoz au vu de leur moyenne générale. ) Quelle est la probabilité que parmi les six élèves choisis, quatre au moins soient dans le premier quart du classement ? b) Modifier l’algorithme précèdent3 pour qu’il simule 10 000 choix4 au hasard d’un groupe de six élèves parmi les élèves de seconde et comparer le résultat obtenu à la probabilité calculée ci-dessus. pour cette question, on ne demande pas d’écrire l’algorithme sur la copie. Précisez les valeurs choisies pour B, m et n.

Exercice 2. EX 70 p 321 Réponses au hasard à un QCM un questionnaire comprend cinq questions. pour chacune des cinq questions posées,trois propositions de éponses sont faites (A, g et C une seul d’entre elles étant exacte. PAG » 1 seul d’entre elles étant exacte. Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot-réponse de cinq lettres. Par exemple, le mot BBAAC signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième questions A, aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième question. ) a) Combien y a-t-il de mots-réponses possibles à ce questionnaire ? b) On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions du questionnaire. ALCOBOX est gratuit et téléchargeable à http://mathematiques. ac -bordeaux. r/profplus/logitheque/logitheque. htm Les tests PISA ont toujours lieu sur des élèves de 15 ans. Dans Algobox, au lieu de réécrire des lignes, on peut les déplacer avec couper coller: « ctrl + X » puis « ctrl + V » 4 Faites 100 000 simulations plutôt que IO 000 si votre ordinateur y survit.

Mme Helme-Guizon http://mathematoques. weebly. com 2 Calculer la probabilité de chacun des événements suivants E: « Le candidat a exactement une réponse exacte. » F: « Le candidat n’a aucune réponse exact . » G : « Le mot-réponse du candidat est un palindrome. » (un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de auche à droite ou de droite à gauche: par exemple, le mot-réponse BACAB est un palindrome). 2) Un professeur soumet de questionnaire aux 28 élèves de sa classe.

Tous les élèves répondent au hasard ? chacune des cinq questio par X le nombre d’élèves 3 1 des cinq questions. On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot réponse ne comporte aucune réponse exacte. a) Déterminer la loi de probabilités suivie par la variable aléatoire x. b) Calculer la probabilité, arrondie à 2 décimales, qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses. Corrigé du D. M. nb7: Loi binomiale Exercice 1 Une urne contient cinq boules numérotées de 1 à 5. On tire au hasard, successivement et avec remise 10 boules dans l’urne.

On appelle succès, lors d’un tirage, l’apparition de la boule numérotée 1) Échauffement : On simule cette expérience avec le programme cicontre (fait avec Algobox5) a) x est le numéro de la boule tirée dans l’urne. b) S compte le nombre de fois où on a obtenu la boule numéro 1. c) i est le numéro du tirage ; Ainsi, lors du premier tirage, i vaut 1 et lors du dixième tirage, vaut 10. 2 S EST DU TYPE NOMBRE 3 x EST DU TYPE NOMBRE 4 i EST DU TYPE NOMBRE PAGFd0F11 FIO et p-0,2 . En effet, on répète n IO fois ‘épreuve de Bernoulli qui consiste à prélever une boule et à noter si son numéro est le 1 ou non.

Le succès est le fat d’avoir la boule no 1, de probabilité 0,2. Les tirages sont faits avec remise. L’indépendance est acquise. La variable S qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli suit donc une loi binomiale de paramètres 10 et 0,2. 2) Généralisation : L’urne contient B boules numérotées de 1 à B. On tire au hasard, successivement et avec remise n boules dans l’urne. m est un nombre compris entre 1 et B et on appelle succès, lors d’un tirage, l’apparition d’une boule dont le numéro ompris entre 1 et m. expérience aléatoire.

La variable n sera lue en entrée, les variables m et g seront initialisées au début de l’algorithme. Explications sur l’algorithme : • x est le numéro de la boule tirée dans l’urne, c’est donc un entier aléatoire entre 1 et B. • S compte le nombre de fois où on a obtenu la boule dont le numéro est entre 1 et m. • est le numéro du tirage ; Ainsi, lors du premier tirage, i vaut 1 et lors du nème tirage, i vaut n. preclser ses paramètres. 3 x NOMBRE 5 B NOMBRE 6 n EST DU TYPE NOMBRE 7 m EST DU TYPE NOMBRE 8 DEBUT ALGORITHME s 1