Exercice 1 Si une suite u est croissante alors elle tend vers +? Faux – contre exemple : la suite de terme general {draw:frame} {draw:frame} est croissante et pourtant converge vers 0 Si une suite est bornee alors elle est convergente. Faux – contre exemple : la suite de terme general cos(n) est bornee par -1 et 1 et n’a pas de limite donc n’est pas convergente. La composee d’une fonction paire suivie d’une fonction impaire est une fonction paire. Vrai : Si u est une fonction paire sur I a valeur dans J alors : pour tout x de I , -x {draw:frame} {draw:frame} I et u(-x) = u(x)
Si v est une fonction impaire sur J a valeur dans K alors pour tout x de J, -x {draw:frame} {draw:frame} J et v(-x) = -v(x) Ainsi si pour tout x de I, -x {draw:frame} {draw:frame} I ; vo u(-x) = vo u(x) , v o u est paire. Soit f la fonction definie par f(x) = {draw:frame} {draw:frame} ; f est continue sur IR Vrai Sur ]-? ; 1[, f est affine donc continue et sur ]1 ;+? [ f est la fonction racine carree donc continue. En 1 : f(x)
Faux- La courbe representative de f admet deux demi-tangentes distinctes en 5 donc f n’est pas derivable en 5. (f est une fonction associee a la fonction valeur absolue qui n’est pas derivable en 0) Soit f la fonction definie par f(x) = {draw:frame} {draw:frame} ; f est derivable en 0. Vrai {draw:frame} {draw:frame} donc la fonction f est derivable en 0 et f’(0) = 0 Exercice 2 Soit f la fonction definie sur IR{-1 ;1} par {draw:frame} {draw:frame} et C sa courbe representative dans le plan muni d’un repere orthonormal (unite graphique : 2cm) Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction definie sur IR par : g(x) = x3 – 3x – 4 g est une fonction polynome donc derivable et continue sur IR {draw:frame} {draw:frame} Pour tout x reel, g’(x) = 3x? -3 = 3(x+1)(x-1) g’ a le signe d’un polynome de degre 2 dont les racines sont -1 et 1 ainsi : D’apres le tableau des variation et le corollaire du theoreme des valeurs intermediaires, il existe un unique reel ? appartenant a ]1 ; +? [ tel que g(? ) = 0, puis d’apres la calculatrice ? ? 2,19 g(2,2) >0 et g(2,18) < 0 D’apres le tableau des variations, on en deduit que : g(x) > 0 pour x > ? g(x) < 0 pour x < ?
Partie B : Etude de la fonction f {draw:frame} {draw:frame} et de meme : {draw:frame} {draw:frame} Limite en -1 or si x {draw:frame} {draw:frame} x? -1 < 0 donc {draw:frame} {draw:frame} si x {draw:frame} {draw:frame} x? -1 > 0 donc {draw:frame} {draw:frame} Limite en 1 or si x {draw:frame} {draw:frame} x? -1 > 0 donc {draw:frame} {draw:frame} si x {draw:frame} {draw:frame} x? -1 < 0 donc {draw:frame} {draw:frame} _ {draw:frame} {draw:frame} _ f’ a le signe de x. g(x) Donc a) Pour tout x, de IR{-1 ;1} : {draw:frame} {draw:frame} b) f(x) – (x + 2) = {draw:frame} {draw:frame} et {draw:frame} {draw:frame}
On en deduit que la courbe C admet une asymptote oblique (d) : y = x+2 en +? et en -? c) etudions le signe de f(x) – (x+2) = {draw:frame} {draw:frame} La courbe C est au-dessus de la droite (d) pour x {draw:frame} {draw:frame} ]-2 ;-1[ U ]1 ;+? [ La courbe C est en dessous de la droite (d) pour x {draw:frame} {draw:frame} ]-? ;-2[ U ]-1 ;1[ La courbe et la droite se coupent pour x = – 2 {draw:frame} Partie C : nombre de solutions d’une equation Determiner l’abscisse des points de la courbe C, ou la tangente est parallele a la droite d’equation y = x + 2 Deux droites sont paralleles ssi leurs coefficients directeurs sont egaux !!
Le coefficient directeur de la tangente a C est egale a f’(x) Donc on cherche xde IR{-1 ;1} tel que f’(x) = 1 soit _ {draw:frame} {draw:frame} _ On cherche les racines d’un polynome de degre 2 : discriminant : 4? -4=12>0 Determiner une equation de chacune de ces tangentes et les representer (T2) y = x + 2 + {draw:frame} {draw:frame} +(-2) – {draw:frame} {draw:frame} +2+ {draw:frame} {draw:frame} = x+2 – {draw:frame} {draw:frame} y = x +2- {draw:frame} {draw:frame} En deduire graphiquement, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l’equation f(x) = x + m D’apres le graphique : Pour 2+ {draw:frame} {draw:frame}
