Devoir 1 CNED mathématiques – BTS SIO 1ere année

Devoir 1 CNED mathématiques – BTS SIO 1ere année

82930CTPA0113 BTS Service Informatiques aux Organisations Mathématiques Première année Devoir 1 Exercice 1 (Calcul propositionnel) (4,5 points) – BTS SIO 1 . (0,5 point) La proposition P « l’adresse IP est inconnue ou son masque est inconnu». (Loi de Morgan) 2. (0,5 point) Si l’adre l’adresse de l’hôte es nt connus alors Sni* to View 3. (0,5 point) 82930CTPA01 p AQ Q) v PV Q (involution et loi de Morgan) pvQv PVQ (définition de p v PV Q v Q (associativité) p v l(idem potence et tiers exclu) d.

La proposition (P Q) A (P A Q) elle une tautologie car elle st toujours vraie d’après c. (0,5 point) Exercice 2 (Algèbre de Boole) (5 points) cab (0,25 pont) 2. a + c signifie, ici, « voyager en train ou seul (0,25 point) 3. bc + ab + ba +bc+ abc (0,5 point) 4. bc + ab+ ba + bc + abc = bc + ab+b + bc + abc = bc + a. 1+ bc + abc = bc+ a + bc 4 abc (1 point) 5. (0,75 point) absorbant) = a+c (1 élément neutre de la multiplication booléenne) 8. a. (0,5 point) bc+a +bc+ abc – – a + c

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(d’après les deux questions précédentes) (loi de Morgan) (involution) b. 0,25 point) Le contraire de ce qui est possible pour le prochain voyage ‘affaire de M. Paul se résume par cette phrase « voyager en train avec l’associé », donc l’assistante de M. Paul avait bien résumé la situation. Exercice 3 (généralités sur les suites numériques) (10,5 points) Partie A (3,75 points) 1. (025 point +025 point) 25 x 9 + 50 275 13, 75 20 25 x10 + 50 300 LIIO- 13, 636 2×10+2 22 4. (0,5 point) La suite de terme général Un est décroissante, donc elle est majorée par son premier terme UO qui vaut bien 50 — 25n 25. 5. 0,5 point) pour tout entier naturel n, 25n + 50 – 12,5 (2n +2) 25n 5n + 50 25 – 125 – 2r1+2 211+2 2n+2 n È O donc 2n O mais aussi 2n+2 O Un. 12,5- donc 6. (0,5 point) -25 Pour tout entier naturel n, on a démontré que c’est-à- dire que en d’autres termes, la suite de terme général Un est minorée par 12,5 de plus, d’après 4) elle est majorée par 25, elle est donc bornée. 7. (0,5 point) IJn<14 251-1 + 50 < 14 —14<0 PAGF déduit que Vn+l -Vn>O c’est-à-dire que Vn+1>Vn ce qui par définition, justifie que la suite de terme général Vn est croissante. Il suffit d’étudier le signe de Vn – 14.

Or pour tout entier naturel n on a Vn — 14 — 0,9n -14= – 0,9n qui est négatif. Donc Vn – 14<0 ou encore Vn < 14 c'est-à-dire que la suite de terme général Vn est majorée par 14. La suite de terme général Vn est croissante donc le premier terme de la suite est plus petit que tous les autres, or VO=13 (en effet 14 — 0,90 = 14— 13) Ainsi pour tout entier naturel n on a Vrlà 13 , ce qui prouve que 13 est un minorant de la suite. (remarque : il s'agit d'ailleurs du plus grand des minorants possibles) Autrement dit, la suite de terme général Vn est minorée par 13. (1 point) Déterminer l'indice n à partir duquel que Vn>13,9 en résolvant algébriquement l’inéquation. > 13,9 14— 13,9 > 0,9n > 0,9n > ) l’ordre est conservé car la fonction ln est croissante sur ln(0, 1) l’ordre est renversé car les deux membres de l’inéquation ont été divisés par un nombre négatif. — – -0. 105) n È 22. nombre négatif. z -O. 105) 22. Ainsi à partir de l’indice n=22 on a Vn>13,9. Pour tout entier naturel n, on a : o,9n + o,9n +1 partie C (3 points) (1 point) 18 17 16 15 Cb 14 13 ca 12 10