derives

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Devoir no 6 -D erlvation – IS 17 janvier 2014 – 2h 2×2 – 5x +2 Exercice 1 (8 pts) : On consid’ere la fonction d’ efinie parf (x) – sur R* . On note Cf la courbe repr esentative de la fonction f dans un rep ere orthonormal. 1. Montrer que f est d erivable en tout point o’ u elle est d • efinie, et que pour tout r’ eel x = O • 2(X2 – 1) x2 p g 2. Donner le tableau des variations de f , et pr• eciser les extr emums locaux ‘ eventuels. 3. R’ esoudre l’ • equation f (x) 0 et interpr• eter graphiquement. 4.

D’ eterminer Ie(s) point(s) de Cf , pour lesquels Cf admet une tangente parall ele ‘a la droite D d’ • equation —6x ; donner alors les equations des tangentes eventuelles. 5. Tracer Cf , en compr etant avec tous les el ements de l’exercice. Exercice 2 (3,5 pts) : Soit f (x) = —3x x 1. Pr’ eciser le domaine de d’ efinition de la fonction f , ainsi que son domaine de d • erivabllit 2. Calculer la d eriv ee de f , puis dresser

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le tableau de variation de f. points) : Montrer que x3 3x — 2 sur [—2, -FA.

Exercice 4 (5 pts) : Un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des bo ‘tes de conserve pour conditionner ses produits. On suppose qu’une bo- Ite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 L. Le fabricant cherche donc a d eterminer les dimensions de la bo- Ite de conserve afin que : le volume contenu soit de IL, la quantit•e de m ‘ etal (suppos ‘ ee proportionnelle • a l’aire totale du cylindre) utilis • ee pour la fabriquer, soit minimale. 1. Soit r le rayon de la base du cylindre et soit h sa hauteur.

Exprimer h en fonction de r. 2 2. Etablir que l’aire totale du cylindre est donn ‘ ee par A (r) = 2rtr 2 3. Etudier la d’ erivabilit• e puis calculer la d’ eriv ee de la fonction A sur 4 En d eduire les variations de la fonction A sur +4. pour quelle valeur de r cette aire est-elle minimale ? Montrer alors que h 2r. 5. Quelles doivent -etre au millim etre Pr’ es, les dimensions de la bo Ite de conserve (rayon de la base et hauteur), pour r’ epondre aux contraintes fix ees par le fabricant ? 2