Proportionnalite | | Definitions: Suites de nombres: Une suite de nombres est un ensemble de nombres entiers ou non, relatifs ou non. Le rang qu’occupe un nombre dans une suite est important. Exemple: (2; -5; 4. 5; 1/3; -1. 02) est differente de (2; -5; 1/3 4. 5; -1. 02) parce que deux nombres ont echange leur place. Suites proportionnelles: Les suites de nombres A et B sont proportionnelles lorsque tout nombre de l’une est obtenu en multipliant le nombre de meme rang de l’autre, par un meme nombre appele coefficient de proportionnalite. Exemple:
A=(9;5;-1;6) et B=(27;15;-3;18) sont proportionnelles . Tout nombre de B est obtenu en multipliant un nombre de A par 3. Le coefficient de proportionnalite de A vers B est donc 3. Nous obtenons les nombres de A en multipliant les nombres de B par 1/3. Le coefficient de proportionnalite de B vers A est donc 1/3. Remarque: – Les nombres, dans la suite, sont separes par des points-virgules (;). Ce qui previent les erreurs en cas d’utilisation de nombres a virgule. – Ces deux coefficients sont inverses l’un de l’autre (le nombre non nul x a pour inverse 1/x: le produit x fois1/x est egal a 1.
Zero n’a pas d’inverse). Par consequent: l’inverse de 3 est
Nous pouvons changer un nombre de place dans l’une des suites proportionnelles a condition de changer de la meme facon la place des nombres correspondants dans les autres suites. Proportionnalite des sommes: Si A et B sont deux suites proportionnelles alors la somme de deux ou plusieurs nombres de B est proportionnelle a la somme des nombres correspondants de A. Exemple: Dans les suites proportionnelles ci-contre, 1 et 2 de B sont proportionnels a 2 et 4 de A. Dans B la somme de 1 et 2 est 3 qui est proportionnel a la somme de 2 et 4 (=6) dans A: (2+4)*0,5=2*0,5+4*0,5=1+2=3 t 2+4=6 qui est proportionnel a 6*0,5=3. Verifiez avec 2+6, 4+6, 2+8 de A mais aussi avec des differences: 8-6, 10-4, 10-6 de A Proportionnalite des produits par un nombre donne: Si A et B sont deux suites proportionnelles alors le produit d’un nombre de A par un nombre x est proportionnel au produit du nombre correspondant de B par x. Exemple: Dans les suites proportionnelles ci-contre, en multipliant 2 par 3 dans la suite A et en multipliant le nombre 1 proportionnel a 2 dans B par la meme valeur 3. Dans B nous obtenons 3 qui est proportionnel a 6 (2fois3) dans A.
De meme en multipliant 2 dans B , proportionnel a 4 dans A, par la valeur 2,5 nous obtenons 5 qui est proportionnel a 10 dans A (obtenu en multipliant 4 par 2,5 dans A) Representation de deux suites proportionnelles: Dans un repere du plan: Si deux suites A et B sont proportionnelles Alors les points representant les couples de nombres de A et B sont alignes sur une droite passant par l’origine du repere. | Les suites A et B sont proportionnelles. Le repere orthogonal ci-contre a des axes gradues avec des unites differentes, ce qui n’a aucune importance pour la propriete etudiee ici.
Nous avons place les nombres de A sur l’axe des abscisses et ceux de B sur l’axe des ordonnees. Les traits en pointilles montrent comment la relation s’etablit entre deux nombres de meme rang de chaque suite. Ces traits sont paralleles aux axes. Leurs intersections determinent ainsi des points alignes sur une droite passant par l’origine du repere situe a l’intersection des axes. | | Remarque: La droite n’est pas tracee en trait fort car cela signifierait que tous ses points representent un couple de nombres pris dans les suites A et B. Ce qui n’est pas le cas ici: il n’y a que 5 nombres dans chaque uite et donc, 5 couples a representer (par 5 points). Calculs de base: Calcul du coefficient de proportionnalite: Pour calculer le coefficient de proportionnalite de deux suites proportionnelles A et B il suffit de connaitre des nombres de chaque suite et de meme rang. Exemple: A et B sont proportionnelles telles que A=(5; 12; z; 10; 7) et B=(x; 7,2; 1,8; y; 4,2) ou nous connaissons 12 et 7,2 de meme rang. Le coefficient de proportionnalite de A vers B se calcule endivisant un nombre de B par celui qui lui correspond dans A c’est a dire 7,2/12=0,6 .
Verifiez en prenant un nombre de A et en multipliant par 0,6: 5*0,6=3 (donc x=3) 12*0,6=7,2 (c’est bien ce qui est donne) 10*0,6=6=y et 7*0,6=4,2 qui est connu. Pour calculer z il faut utiliser le coefficient de B vers A. Nous savons que ce coefficient est l’inverse du coefficient de A vers B: inverse de 0,6 est 1/0,6 ou 10/6 (fraction decimale: pour l’obtenir, multipliez le numerateur et le denominateur par 10). Donc z=1,8*10/6=18/6=3. Remarque: Nous pouvions aussi calculer le coefficient de proportionnalite de B vers A en divisant un nombre de A par le nombre de meme rang dans B. Produits en croix:
Soient les suites proportionnelles A=(a;b) et B(c;d). Nous avons l’egalite suivante: ad=cb Exemple d’utilisation: Soient les suites proportionnelles A=(5; 4; y) et B=(12,5; x; 10). Calculer x et y. A | B | 5 | 12,5 | 4 | x | y | 10 | | Nous ecrivons les produits en croix pour les deux premieres lignes du tableau:5x=12,5*4 5x=50 5x*1/50=50*1/50 (R2) (voir Equations) x=10 De meme pour la premiere et la derniere ligne: 5*10=12,5*y Nous trouvons y=4. | Remarque: Ces produits en croix ont des applications importantes dans les calculs avec des cosinus ou des egalites de quotients (quotients egaux).
Quatrieme proportionnelle: 4 | 20 | 7 | x | | Si les nombres 4, 20, 7 et x , dans cet ordre, constituent un tableau de proportionnalite (voir ci-contre) alors le quatrieme nombre est appele quatrieme proportionnelle. | Pour calculer cette quatrieme proportionnelle il suffit d’utiliser soit le coefficient de proportionnalite (apres l’avoir calcule) ou les produits en croix (ce qui est plus elegant): coefficient de proportionnalite=20/4=5d’ou x=7*5=35. | Produits en croix: 4*x=20*74*x*1/4=140*1/4 d’ou x=35 | La quatrieme proportionnelle a 4, 20 et 7 est 35 Comment reconnaitre une situation de proportionnalite:
Une situation de proportionnalite est traduite par deux suites … proportionnelles. Pour verifier que deux suites inconnues sont proportionnelles, vous pouvez: Les mettre sous forme de tableau: et – mettre en evidence un coefficient de proportionnalite (en le calculant pour chaque couple de nombres des suites). Exemple: A | B | 16 | 4 | 24 | 6 | 8 | 2 | | 4:16=0,25 6:14=0,25 2:8=0,25 Le coefficient de proportionnalite est 0,25. A et B sont proportionnelles | ou – effectuer les produits en croix plusieurs fois si cela est necessaire. A | B | 2,3 | 46 | 1,7 | 34 | 0,45 | 9 | | 2,3*34=78,2 et 1,7*46=78. 1,7*9=15,3 et 0,45*34=15,3 Les suites A et B sont proportionnelles. Remarques: – Il est inutile de verifier 1ere ligne avec derniere ligne. – Les produits en croix sont egaux pour deux lignes mais differents lorsque nous changeons de paire de lignes | Remarque: Il est bien evident que si nous trouvons une difference sur le coefficient ou dans un produit (aussi petite soit-elle) nous concluons que les suites ne sont pas proportionnelles. Les representer dans un repere du plan: Representer les couples de nombres des deux suites (la methode ne concerne que deux suites) par des points dans un repere.
Puis verifier que ces points sont bien alignes sur une droite passant par l’origine du repere. Si ils le sont alors les deux suites donnees sont proportionnelles (si un seul de ces points n’est pas aligne avec les autres ou si la droite ne passe pas par l’origine du repere, alors les deux suites ne sont pas proportionnelles). Dans l’exemple ci-contre, les suites A et B ne sont pas proportionnelles (points non alignes). | | Situations de proportionnalite: Pourcentages: Generalites et definitions: Dans la presse nous pouvons tres souvent lire les resultats de sondages d’opinion.
Du genre: « 60% des enfants de moins de 6 ans preferent la couleur rouge ». Est ce a dire que l’organisme qui a calcule ce resultat, a interroge TOUS les enfants de moins de 6 ans de la population concernee? Surement pas! Cet organisme a selectionne un echantillon (une toute petite partie de la population: 1000 enfants de moins de 6 ans par exemple), a interroge ces enfants et a trouve 600. L’organisme de sondage utilise une methode qui lui permet d’affirmer que si il avait interroge 10000 enfants il aurait trouve 10 fois plus d’enfants preferant la couleur rouge, c’est a dire 6000.
Le resultat, au lieu de 600 pour 1000, serait 6000 pour 10000 mais exprimerait la meme realite. Nous avons deux suites proportionnelles: – les echantillons possibles: (1000; 10000) – les enfants preferant la couleur rouge: (600; 6000) Le coefficient est 600:1000=0,6. Que signifie 60% ? C’est une notation rapide pour ecrire 60 pour 100 c’est a dire 60/100=0,6. 60% est appele pourcentage. C’est un coefficient de proportionnalite entre une suite d’echantillons et une suite de resultats obtenus par etude. Les echantillons peuvent etre de diverses sortes: populations, recoltes de legumes, production de matieres premieres, metaux, ommes d’argent,… De meme pour les etudes conduites sur ces echantillons: mesures diverses (pesees,.. ), comptages,.. Exemples: Ex 1: Un morceau de minerai arrache a la montagne pese 200g et contient 0,1g d’or. Quel pourcentage d’or pur contient ce minerai? L’echantillon pese 200g. Nous estimons que la quantite d’or contenu dans le minerai est proportionnelle a la masse du morceau de minerai. Si nous en prenons la moitie (100g) nous obtiendrons la moitie d’or soit 0,05g. C’est a dire 0,05 pour 100 ou 0,05%. Nous aurions pu utiliser un tableau: Masse de minerai (g) | Masse d’or (g) | 00 | 0,1 | 100 | x | | Calcul de x en utilisant les produits en croix: 200x=0,1*100 200x*1/200=10*1/200 (R2) x=0,05 | Remarques: – Pour calculer un pourcentage il suffit de placer dans le tableau 100 unites de l’echantillon (l’unite ici est le gramme) et de poser x comme resultat de l’etude. – La notation (R2) concerne une regle de calcul dans la resolution des equations. Ex 2: Un commercant vend des chemises. Pendant les semaines de soldes, tous ses articles subissent un rabais de 15%. Combien est vendue une chemise coutant initialement 420F. 15% ou *0,15 | Prix initial (F) | Remise (F) | 420 | x | | Remise=420*0,15=63 Prix solde=420-63=357 La chemise est vendue 357F, pendant la premiere semaine. | Remarque: Pour un objet coutant 100F la remise est 15F (ce que signifie 15% de soldes), le prix apres remise est donc 100-15= 85F. Nous pouvons affirmer que le prix solde est 85% du prix initial (85F des 100F avant remise). Le calcul du prix de la chemise est alors direct: 420×0,85=357 (ou 0,85=85/100) Vitesses: Generalites et Unites: Un objet n’est mobile (bouge… ) que par rapport a un autre.
Deux objets A et B peuvent etre mobiles par rapport a un troisieme objet C mais immobiles par rapport l’un a l’autre. Exemple deux pilotes d’un avion en vol sont immobiles l’un par rapport a l’autre alors qu’ils se deplacent par rapport au sol. La facon de se deplacer d’un mobile peut etre variable: acceleration suivi de ralentissements, d’arrets… Pour rendre compte du mouvement d’un mobile nous utilisons la notion de vitesse: distance dont se deplace le mobile pendant une duree choisie comme unite. Si cette distance est toujours la meme, pour un mobile donne, alors son mouvement est uniforme.
Le nombre qui exprime cette vitesse change en fonction des unites choisies: Unites de distances | Unites de duree | Vitesse | Kilometre (km) | Heure (h) | Kilometre par heure ( km. h) | Metre (m) | Seconde (s) | Metre par seconde (m. s) | Kilometre (km) | Seconde (s) | Kilometre par seconde (km. s) | Kilometre (km) | Minute (mn) | Kilometre par minute (km. mn) | … | … | … | La meme vitesse peut donc s’exprimer avec des nombres differents: 6 km. h = 6000 m. h = 100 m. mn. Pour cette derniere egalite il suffit de bien comprendre 6000 m. h : 6000 m en une heure, combien en une minute?
La reponse: 60 fois moins (car il y a 60mn dans une heure) donc 6000:60=100. Nous trouvons donc 100 m. mn (100 metres par minute). Vitesse moyenne: Nous ne nous interesserons pas ici a la vitesse reelle d’un mobile (il faudrait le suivre instant par instant pour avoir les vitesses a ces instants, appelees vitesses instantanees, qui changent sans cesse sauf pour le mobile anime d’un mouvement uniforme). Nous ne prendrons en compte que la duree entre deux instants (instant de depart et instant d’arrivee par exemple) et la distance parcourue pendant cette duree.
Les variations de mouvement qui ont pu survenir entre les deux instants sont negligees. La vitesse calculee a l’aide de ces deux donnees est appelee vitesse moyenne. Dans ce cas la distance parcourue est proportionnelle a la duree mise a la parcourir. Le coefficient de proportionnalite entre la suite des distances et la suite des durees est la vitesse moyenne. Pour calculer cette vitesse nous calculons un coefficient de proportionnalite:Vitesse=Distance:duree ou v=d/tou t exprime la duree (ce qui evite d’utiliser les deux memes lettres dans la meme formule! | | Remarques importantes: Si nous connaissons la duree et la vitesse, nous sommes alors capables de calculer la distance parcourue: la suite des durees T multipliee par le coefficient de proportionnalite vitesse V donne la suite des distances D. Ce qui est exprime par la deuxieme formule ci-dessus: d=vt. – Si nous connaissons la suite des distances D et la vitesse V, nous sommes capables de calculer la suite des durees T: la suite des distances D multipliee par le coefficient de D vers T (qui est l’inverse du coefficient de T vers D, c’est a dire inverse de la vitesse) donne la suite des durees T.
Ce qui se traduit par la troisieme formule ci-dessus: t=d*1/v ou t=d/v (1/v est l’inverse de v). – La duree est souvent calculee en faisant une differences d’instants donnes. Exemple: depart a t1=9h20mn et arrivee a t2=12h. La duree t est t=t2- t1=12h-9h20mn soit t=2h40mn (voirConversions pour ce type de calculs et des exemples de calculs de vitesses) Exemple: Dans une vallee, j’entends l’echo de ma voix 4 secondes apres avoir parle. A quelle distance de moi se trouve l’ecran qui reflechit ma voix? Remarque: Le son se deplace a une vitesse de 340m. s.
Le son ne contourne pas les obstacles, il les penetre (si cela lui est possible: parois minces et peu denses par exemple) ou il « rebondit » dessus (paroi tres dense par exemple). C’est le phenomene de l’echo. En 4s le son parcourt: 340*4=1360m. Cette distance represente un « aller-retour ». L’ecran qui reflechit ma voix se trouve donc a 1360:2=680m. Echelles: Generalites et definitions: Pour representer la realite sur une feuille de papier il nous faut la dessiner. Si nous desirons un plan exact d’un objet nous sommes obliges de dessiner cet objet sans le deformer.
Pour cela les dimensions (longueurs, largeurs, hauteurs, epaisseurs ou profondeurs) du dessin doivent etre proportionnelles aux dimensions de l’objet dans la realite. Le coefficient de proportionnalite (realite vers dessin) est appele echelle du dessin (ou du plan). | | Nous avons donc les formules suivantes (qui sont semblables aux formules sur les vitesses et sur les pourcentages): d=D. e (ou e est l’echelle); e=d/D et D=d/e Remarques: – Attention aux unites employees. Les dimensions reelles sont souvent tres differentes des dimensions sur le dessin.
Par exemple les dimensions d’une maison s’expriment en metres et nous utilisons un double decametre pour les mesurer. Sur le dessin nous utiliserons un double decimetre… Mais nous noterons les dimensions (cotations du dessin) avec leurs valeurs reelles. Pour eviter les erreurs, avant tout calcul, nous convertirons toutes les mesures (dans la realite et sur le dessin) dans la meme unite (le centimetre par exemple). – Les echelles sont souvent donnees sous forme de fractions dont le numerateur est 1 (1/10; 1/100; 1/2500;… . Ceci est tres pratique: 1/100 signifie que 1 unite sur le dessin en represente 100 dans la realite (par exemple: 1cm sur le dessin represente 100cm dans la realite). – Un objet represente en grandeur reelle est dessine a l’echelle 1. – Nous utilisons une echelle inferieure a 1 pour dessiner ce qui est trop grand (impossible de dessiner l’objet en grandeur reelle sur notre feuille de papier) et une echelle superieure a 1 pour dessiner ce qui est trop petit (impossible de representer correctement les details de l’objet).
Exemple de calculs: Sur une carte routiere (voir extrait ci-contre) l’echelle est indiquee par un segment gradue de 0 a 5 mesurant 10cm. L’unite indiquee sur ce segment est le kilometre. Nous voudrions connaitre la distance reelle entre le carrefour A et le Pont. Nous avons releve sur la carte une distance de 4,8cm. Quelle est la distance reelle? | | Deux methodes s’offrent a nous: – Methode graphique: prendre la mesure entre le carrefour et le pont avec un compas. Reporter cette mesure sur l’echelle a partir du 0.
Lire sur la graduation du segment la distance cherchee: 2,4km. – Par le calcul: Distancesreelles (cm) | Distancessur le plan (cm) | 500000 | 10 | x | 4,8 | | Il nous faut connaitre l’echelle de cette carte: 10cm representent 5km ou 500000cm. L’echelle est donc 10 pour 500000 ou 10/500000 soit 1/50000. x ? 1/50000 = 4,8 x ? 1/50000*50000 = 4,8*50000 x = 240000 La distance recherchee est donc 240000cm ou 2,4km. | Remarque: Nous pouvons trouver x sans calculer l’echelle, en utilisant les produits en croix: 500000*4,8=10*x… Comparaison d’echelles:
Une echelle de 1/100 est utilisee pour des plans plus detailles que ceux realises avec une echelle de 1/1000. En effet 1 unite represente 100 unites dans le premier cas, et 1000 unites dans le second: sur un meme espace nous avons represente une plus petite partie de la realite dans le premier cas, les details sont donc plus grands. Le dessin est plus lisible avec une echelle plus petite. Exemple: Un navigateur desirant faire une croisiere dans les Caraibes (situees dans le golfe du Mexique en Amerique du Nord) doit se munir d’une carte maritime a grande echelle (extrait de carte ci-contre).
Sur une telle carte les iles les plus petites sont representees par un point. | | Si ce navigateur desire se rendre dans quelques unes de ces petites iles, il doit se munir en outre de cartes a plus petites echelles afin d’obtenir les details necessaires a sa navigation (formes des cotes, passage entre deux iles, mouillages,… ). L’extrait de carte ci-dessous, a plus petite echelle, montre plus de details sur quelques unes des iles Vierges indiquees sur la carte ci-dessus.
