cours probabilités

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DÉRIVATION Jean Chanzy Université de Paris-Sud • Nombre dérivé : 1. 1 Dérivabilité en un point On considère une fo trois réels a, h et x tel Définition 1. 1. La fon variation de f de a à a + cours probabilités Premium By al-sar. e RHRapR 27, 2015 | 14 pages p g tervalle ouvert, et OF en a si le taux de , a une limite finie quand h tend vers 0, de sorte que h O. Si cette limite existe, on h l’appelle le nombre dérivé de f en a et on la note f’ (a). Mathématiquement, on écrit . f’ (a) = lim la fonction est définie en O, la tangente à la courbe en O lim est verticale. 2.

II existe une dérivée à droite et une dérivée à gauche, mais elles sont différentes . a une limite notée f’ (a+ ), et lim a une limite notée f’ (a- Si lim avec f’ (a+ ) = f’ (a— f n’est pas dérivable en a. Mais f possède une dérivée à droite et une dérivée à gauche, qui sont différentes. Graphiquement, la courbe de f présente un point anguleux. Exemple : la courbe de la fonction

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f(x)= 1×1 présente en O un point anguleux, et cette fonction n’est pas dérivable en O. 3. Le taux de variation n’a pas de limite : La fonction définie par : f (x) = x sin n’est pas dérivable en O.

En effet 20F 14 l’application linéaire tangente de f en a. 1. 5 Méthode d’Euler : C’est une méthode qui permet de construire une approximation par une « ligne brisée » de la courbe représentative d’une fonction, sans connaitre l’expression de cette fonction, et en connaissant juste l’expression de sa dérivée et un point particulier de la courbe. Soit f une fonction dont on ne connaît que la dérivée f’ et le point AO (xo ; f (xo )). On construit d’abord le point AO dans un repère, puis on choisit un pas h suffisamment petit pour obtenir une approximation convenable et on construit le point

Al (xo + h; f (xo ) + hf’ (xo )). Al est supposé être un point de la courbe, mais on commet une erreur de l’ordre de hE(h) sur sa position. On construit ensuite A2 (xo + 2h; f (xo + h) + hf’ (xo + h)), et ainsi de suite jusqu’au dernier point choisi An (xo + nh; f (xo + (n – l)h) + hf ‘ (xo + (n — l)h)) (n pour chacun des points successifs, les erreurs s’accumulent donc, et pour avoir une précision convenable, si on prend un grand nombre de points d’approximation, on doit prendre un pas très petit. our avoir une approximation de la courbe, on joint chacun des points au suivant par un segment de droite, et on btient une « ligne brisée » qui donne une idée de l’allure de la courbe. 2 Fonctions dérivées et nota 3 4 Fonctions dérivées et notation différentielle : 2. 1 Fonction dérivée : On considère une fonction f définie sur un intervalle ouvert. Définition 2. 1 . Si f est dérivable en chaque point de l’intervalle l, on dit que f est dérivable sur . La définition précédente exprime la dérivabilité sur un intervalle ouvert du type —la, considérons maintenant l’intervalle fermé J = [a, B]. Définition 2. 2.

On dit que f est dérivable sur J SI f est dérivable sur la, au sens de la définition récédente, et les deux dérivées à droite en a, f’ (a+ ), et ? gauche en p, f’ (P – existent. Définition 2. 3. SI f est dérivable sur I, on appelle « fonction dérivée » de fla fonction notée fi , qui à tout x I associe le nombre dérivé de f en x, soit f’ (x). Cette fonction est alors définie sur I. On la note . 2. 2 Dérivées successives . Définition 2. 4. Si la fonction dérivée de f est dérivable sur I, alors la dérivée de fi s’appelle la « dérivée seconde » de f, et on la note f » . On a alors f  » (f y Définition 2. . Si la dérivée seconde f  » de f est dérivable sur I, lors la dérivée de f » s’appelle la « dérivée troisième » ou « dérivée tierce » de f , et on la note f’ On a alors f Définition 2. 6 Si f est dér r l, alors la dérivée d’ordre 4 4 est dérivable n fois sur I, alors la dérivée d’ordre n de f s’appelle la « dérivée nième » de f, et on la note f (n) . On a alors f (n) = (f (n—l) , Vn 2. 3 Notation différentielle : dy , ce qu’on peut écrire dy f’ (x)dx dx df (x). La fonction x df (x) s’appelle alors la différentielle de f en Définition 2. 7. La fonction dérivée de f se note aussi f’ (x) – Remarques 1.

La notation f’ (x) = u produit f (x)dx. est un vrai quotient et permet de définir la différentielle df (x) sous forme 2. La notation différentielle de la dérivée est essentielle en physique pour les calculs d’incertitude. Enfermons par exemple un gaz parfait dans une boite fermée étanche de volume V , sous une pression p. Si T est la température du gaz à l’intérieur de la boîte (en degrés Kelvin), ce gaz vérifie alors la relation des gaz parfaits PV = nRT , où n est le nombre de moles du gaz contenu dans la boîte, et R la constante des gaz parfaits (R = 8, 314510 Joules par mole et par degré Kelvin).

Imaginons que V n u’à 6V près et qu’on 4 2, ce qui permet d’écrire dp – – 2 dv dV Or dp et dV représentent des erreurs sur p et V parfaitement Inconnues et même impossibles à connaître, mais on peut estimer ces erreurs au moyen d’un majorant de dpl et de dv . Ce majorant de dV l, on l’appelle EV , et celui de Idpl, bp, et on calcule alors 5p en fonction de 6V bi/ . ôV et bp représentent des incertitudes absolues, les quotients par la relation 6p = étant des incertitudes relatives, qui vérifient d’ailleurs l’égalité p 3 d2Y 3.

En physique, en particulier, on note souvent la dérivée seconde mais cette fois-ci, ce 6 4 de dérivabilité Opérations sur les dérivées : On considère deux fonctions u et v définies et dérivables sur le même intervalle de R, et un réel k quelconque. 1. La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u + v 2. La fonction k x u est dérivable sur I et (k x u)’ -k x u 3. La fonction ux v est dérivable sur I et (u x v)’ = u’ x v + u x v’ est dérivable en tout point x de I où v(x) – O et 4. La fonction 5. La fonction Posons k = hu’ (x) + hE(h).

On a alors (v u)(x + h) = v (u(x) + k), et comme v est dérivable en u(x), l existe une fonction n(k) telle que . v (u(x) k) = v(u(x)) + kv (u(x)) + kn(k). Or k – hu’ (x) + hE(h), donc : (v 0 + h) = + hv (x) + hv kn(k) = (v u)(x) + hv ‘ (u(x))u’ (x) + h (v (u(x))E(h) + (u’ (x) + . Or lim E(h) = O, lim k = O, et donc si = v + (u’ (x) + on a lim cb(h) O. On obtient finalement (v u)(x + h) – (v u)(x) + hv ‘ (u(x))u’ (x) + avec lim cb(h) = O, ce qui permet d’affirmer, par le théorème 1, que (v u)’ (x) = v (u(x)) x u’ (x).

Ainsi, si u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert, les fonctions cos(u), Sin(u), et un pour n e sont dérivables sur l. La fonction n pour n e N• est dérivable sur tout intervalle inclus dans où u ne s’annule pas, et la fonction u est dérivable sur tout intervalle inclus dans I ou u 0. Les dérivées corres t données dans le tableau B4 définie sur un intervalle I ouvert et a E Théorème 3 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Démonstration : Si f est dérivable en a, alors il existe une fonction E(h) telle que f (a + h) – f (a) + hf’ (a) + hE(h) avec lim E(h) = O. Cette écriture montre immédiatement que lim f (a + h) = f (a), puisque lim hf’ (a) lim hE(h) O. On vérifie ainsi directement la éfinition de la continuité de f au point a. Remarque très importante : Attention ! ! ! La réciproque de ce théorème est fausse ! ! ! par exemple la fonction f (x) 1×1 est continue sur R mais n’est pas dérivable en O. 4 4. 1 Applications des dérivées : Nombre dérivé et limites usuelles .

Le nombre dérivé de certaines fonctions permet de calculer certaines limites de fonctions usuelles, quand la variable tend vers une valeur finie. Par exemple, définie et dérivable sur un intervalle ouvert. Théorème 4 Si la dérivée f ‘ est nulle sur l, alors f est constante sur l, Si la dérivée f’ est strictement positive sur I, sauf en un nombre fini de valeurs où elle s’annule, alors f est strictement croissante sur l, Si la dérivée f’ est strictement négative sur l, sauf en un nombre f est strictement décroissante sur l. . 3 Extrema d’une fonction : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert. Théorème 5 (i) La fonction f présente un extremum local (maximum ou minimum) égal à f (a) en x = a si sa dérivée f s’annule en a en changeant de signe. Si f’ (x) < 0 pour x proche de a et x < a, f' (a) = O, et f' (x) 0 pour x proche de a et x a, alors f (a) est un inimum local de f , atteint en x = a.

Si f I (x) > O pour x proche de a et x < a, f' (a) = O, et fi (x) < O pour x proche de a et x > a, alors f (a) est un maximum local de f, atteint en x = a. (ii) Le maximum global de f est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe, s’il existe. C’est f (a) si Vx e l, f (x) f (a). On dit alors qu’il est atteint en x a. De même, Le minimum global de f est l’ordonnée du point le plus bas de la courbe, s’il existe. C’est f (a) si Vx e l, f (x) è f On dit alors qu’il est atteint en x = a. Par exemple, la fonction f (x) = x2 définie sur R 0 4