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Universit e de Toulouse 1 Ann’ ee 2011-2012 Math ematiques (Rappels) Licence Eco. Gestion et Droit, LI (M. Latourelle, C. Lobert et A. Sourisse) Ces notes sont bas « Math ‘ ematiques (R C. Lobert et A. Souris Plan du cours I Fonctions usuelles Il Limites Ill D • erivation IV Calcul int’ egral orsg Sni* to du module s par J. p.

Bourgade, V D’ eveloppements limit’ es VI Convexit e VII Application a la recherche d’extrema VIII Application aux suites r’ ecurrentes Contenu et motivation Les fonctions de la variable r’ eelle pr• esentent un int • er -et en soi (richesse et vari’ et’ e propres a la notion math ematique ath ematiquement par la recherche des extrema d’une fonction (qui mod’ elise le gain, le ut, etc. (Partie vii). Si plusieurs param etres sont a prendre en compte simultan ement (par exemple si le com ut d’une op’ eration d’ epend de deux ou plusieurs facteurs), on est amen e a ‘etudier des fonctions de deux ou plusieurs variables (une pour chaque facteur qui influe sur le co- ut) et a chercher une valeur du couple (facteurl ,facteur2) qui minimise la fonction COA ut (Partie vii).

Le probl eme

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est plus d elicat lorsque plusieurs facteurs sont pris en compte, mais beaucoup d’arguments reposent sur  » etude Pr’ ealable de l’optimisation des fonctions d’une variable r • eelle-d’o u l’int’ er • et de d’ etailler d’abord le cas de ces fonctions. D’autres ph enom enes, comme l » evolution temporelle de certaines quantit es (quantit e de mati ere premi ere disponible fonction des demandes et de la production a chaque instant), peuvent etre mod elis ees au moyen de suites r • eelles.

Si on note qn la quantit • e a l’instant n (n peut ainsi d ‘ esigner l’ann ‘ ee ou le mois consid’ er’ e), l’objectif est de savoir pr edire la valeur exacte de qn pour quelques valeurs de n (si l’on s’int eresse • a e la prospectiv 8 la valeur exacte de qn pour quelques valeurs de n (si l’on s’int ‘ eresse ‘a de la prospective a cours terme), pour toutes les valeurs de n (id ealement : mais ce n’est pas toujours possible), ou au moins d’avoir une connaissance asymptotique de la valeur de qn pour de grandes valeurs de n (en vue de Pr’ evoir l » evolution a • long terme de la quantit’e concern ‘ee ; la limite n ! 1 de qn donne une indication de cette ‘evolution). Dans une large classe de ph ‘ enom enes mod elis ‘ es par des suites r’ eelles, la valeur a’ l’instant n de la quantit•e qn d’epend de la valeur l’instant Pr’ ec• edent, qn 1 , voire aux deux instants pr ‘ec edents, qn 1 et Note de cours no 1 qn 2 . Ainsi, ona : qn =f(qn 1 )ou qn = g(qn 1 , qn 2 o’ u la fonction f est une fonction d’une variable alors que la fonction g est une fonction de deux variables. On peut imaginer alors l’int er -et que repr• esente l’ etude des fonctions d’une ou deux variables pour l » etude des suites de ce type (dites suites r • ecurrentes) (Partie viii).

Dans ces di, ‘ erentes t Aaches, la recherche d’extrema est un point central. Le cas le plus simple est celui des fonctions r’ es r’ eguli’ eres, pour lesquelles on peut esp ‘ erer d’ eterminer extrema en ch 58 des fonctions tr’ es r’ eguli eres, pour lesquelles on peut esp ‘ erer d’ eterminer extrema en cherchant les ponts o u leur courbe admet une tangente horizontale (au sommet d’une colline, le sol est localement horizontal, de m -erne qu’au creux d’une cuvette), c’est a-dire les points o u leur d’ eriv’ ee s’annule.

II est donc particuli erement important de savoir tra ‘ter ce cas pr• ecis, et donc de bien ma ‘triser l’outil fondamental qu’est l’op ‘ eration de d’ erivation (Partie IV). La d’ erivation etant elle-m eme un roduit d • eriv•e du calcul de limites, il est n • ecessaire de poss eder une bonne connaissance des techniques de calcul de limites (Partie II). Une grande classe de fonctions co ut est donn ‘ ee par les uts quadratiques (qui s’expriment au moyen de la fonction Carr’ e x 7! x2 L’int er -et de ces co uts est qu’il est ais • e de d’ eterminer le minimum d’une fonction quadratique (de la forme x 7! 2 bx + c) puisqu’il suffit de d’ eterminer o • u s’annule sa d’ eriv’ ee. En une telle fonction est strictement d’ ecroissante puis strictement croissante, donc sa d’ eriv’ ee ne s’annule que pour un minimum (contrairement la fonction cube x 7! x3 , dont la d’ eriv ee s’annule en O bien qu’elle n’y att 8 (contrairement cube x 7! x3 , dont la d’ eriv ee s’annule en O bien qu’elle n’y atteigne ni un maximum ni un minimum). Cette situation peut Aetre g’ en eralis ee au cas des fonctions convexes et des fonctions concaves (Partie v1).

Ces fonctions sont particuli erement utiles en econom. e. Un exemple classique de fonction convexe est celui de la fonction exponentielle et la fonction logarithme donne l’exemple d’une fonction concave. Une bonne ma ‘trise de ces fonctions d’usage courant (ainsi que de quelques autres) est onc indlspensable • a la compr• ehension du reste de ce cours (Partie ii). Certaines quantit es mod elis ees par une fonction d’une variable F ne sont pas accessibles directement mais seulement a travers la connaissance de la fonction d • eriv ee f .

Ainsi, les ‘ equations du mouvement en m’ ecanique classique ne donnent pas un acc es direct ‘ a la position d’une balle en mouvement, mais permettent de conna ‘tre son acc ‘ el ‘ eration (c’est- ‘ a-dire la d • eriv• ee de la d • eriv ‘ ee de la fonction position). On acc ede alors a la position • a chaque instant en calculant la primitive de la rimitive de l’acc ‘ el’ eration. De nombreuses situations mettent en jeu cette technique, d’a u l’int’er•et PAGF s 8 primitive de l’acc el’ eration. De nombreuses situations mettent en jeu cette technique, d’O u l’int et de d’ evelopper un calcul de primitive solide (Partie iv).

Pour r•esumer : les parties ii, iii, iv vous permettront d’acqu erir des m ethodes extr- emement g’ en ‘ erales (essentiellement, des techniques de calcul) ainsi qu’une culture el ‘ ementaire indispensable sur les fonctions usuelles, la partie vi donne un aper,cu des possibilit ‘ es o,ertes par la notion e fonction convexe (qui est d’un int  » et massif en • economie), tandis que les deux derni eres parties, vii et viii, font le tour de quelques applications fondamentales de la notion de fonction d’une variable r • eelle. 8 1,1 ti 40<0+1 2, 713 (22. 71 22 Cl(3, 17) -3 PANF 7 OF sa exp RN{2} 803 + 2 0-2 vil 8 8 puis la r • esoudre : 4) = ln(x2 1. Inex 2 2. ln Ex. La fonction h d' efinie sur R par : h(x) = ex+l 8x 2 R est la compos • ee des fonctions fet g telles que f (x) ex et g(x) = x + 1, pour tout x2R. On ah = f g. Ex. Soient fet gd •efinies par f (x) = x + 1 et g(x) . D ' eterminer Of , Dg, Dg f , Dfg, et les expressions de g f (x) et f g(x). x) n In(X) + ln(2) = e3(x 5. (ex + 4) 3.

Inex PAGF g 8 de d  » efinition Dfde f. 2. D’ eterminer les r’ eels a et b tels que, pour tout x 2 Df f (x) = lax+b . Exo 12. 1. R • esoudre equation lx 2. R •esoudreO< lx 1. D'eterminer, en justifiant vos calculs, f ( 3), f ( 1) et EXO 13. 1. Soit p la fonction polyn- ome d' efinie sur R par P (x) = 4x3 4x2 x +1. (a) Trouver une racine 'evidente pour P . (b) R • esoudre P (x) = O. (c) Donner une factorisation compl ete de P (x). 2. Soit Q la fonction rationnelle d' efinie par 2X2 5x 3 11x3