GEOMETRIE DANS L’ESPACE Tout theoreme de geometrie plane s’applique dans n’importe quel plan de l’espace. Tout le cours sera illustre d’exemples qui se rapporterons au dessin ci dessous. ABCDEFIJ est un cube EGHJKLMN est un parallelepipede rectangle tel que HM = CI et JH = 2JI A K E F L G B B N J M I C H D 1. Vecteurs de l’espace Les definitions et proprietes des vecteurs du plan s’etendent a l’espace. !!! » Definition : a tout couple de points A et B de l’espace, on associe le vecteur AB . !!! » !!! » Lorsque A ? B, la direction de AB est celle de la droite (AB) , le sens de AB est le sens de A vers B et la !!! !!! » longueur ou norme de AB , notee AB , est la distance AB . ! ! ! » » » ! Remarque : On designe souvent les vecteurs par une seule lettre, par exemple u, v , w … ! » !!! » ! » Propriete : Pour tout point O de l’espace et pour tout vecteur u , il existe un unique point A tel que OA = u .
Remarque : Si A, B, C et D sont alignes, on dit que ABCD est un parallelogramme aplati Les regles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux regles de calcul sur les vecteurs du plan. On peut donc encore utiliser la relation de Chasles, la regle du parallelogramme ou l’oppose d’un vecteur. Exercice : Simplifier les egalite suivantes : !!! » !!! » !!! » !!! » AB + BF = AD + DI = !!! » !!! » DC + DJ = !!! !!! » » JN + JH = !!! » !!! » DE + KL = !!! !!! » » JN + LG = !!! » !!! !!! » » DC + DJ + DA = On etant a l’espace la multiplication d’un vecteur par un reel.
Les regles de calcul suivantes sont conservee. ! » ! » Propriete : Pour tous reels a et b, et pour tous vecteurs u et v on a : ! ! » » ! » ! » ! » ! » ! » ! » ! » ! » ! ! » » a(u + v) = au + av , (a + b)u = au + bu , a(bu) = (ab)u , au = 0 ! a = 0 ou u = 0 etc… ! » ! » Definition : Deux vecteurs non nuls u et v qui ont la meme direction sont dits colineaires. Remarque : par convention le vecteur nul est colineaire a tout autre vecteur. ! » ! » Propriete : Dire que deux vecteurs non nuls u et v sont colineaires revient a dire qu’il existe un reel k tel ! ! » que u = k v . Exemple : !!! » !!! » EG = 2 AB !!! » !!! » Propriete : les points A, B et C ( distincts ) sont alignes revient a dire qu’il existe k ! ! tel que AC = k AB Exercice : Montrer que les points D, I et M sont alignes. ! » ! » Definition : Deux vecteurs non nuls u et v dont les directions sont orthogonales sont dits orthogonaux. On ! » ! » note u ? v . Remarque : par convention le vecteur nul est orthogonal a tout autre vecteur. Attention on n’a pas defini le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Exemple : !!! » !!!! » AD ? NM 2.
Interpretation vectorielle des droites et des plans de l’espace. 2. 1. Les droites. Definition : Soit (d) une droite. On appelle vecteurs directeurs de (d) tout vecteurs, non nuls, colineaire a un vecteur definis par deux points de (d). Exemple : ! » Definition : Soit A un point de l’espace et u un vecteur non nul. ! » ! » (A ; u ) represente la droite qui passe par A et de direction, la direction de u . !!!! » ! » ! » Remarque : La droite (A ; u ) est l’ensemble des points M de l’espace tels que AM et u sont colineaires, !!!! » ! » c’est a dire tels qu’il existe un reel k verifiant AM = k u !!! !!! » Dire que les droites (AB) et (CD) sont paralleles revient a dire que les vecteurs AB et CD sont colineaires, !!! » !!! » c’est a dire qu’il existe k ! !* tel que AB = k CD . 2. 2. Les plans. Propriete : Soit A, B et C trois points non alignes. Le plan (ABC) est l’ensemble des points M de l’espace tels qu’il existe des reels x et y verifiant !!!! » !!! » !!! » AM = x AB + y AC M2 C M A B M1 !!! » ! » ! » !!! » Demonstration : On pose u = AB et v = AC !!! » !!! » Le repere (A ; AB , AC ) est un repere de (ABC) . Ainsi, pour tout point M du plan, il existe un unique couple !!!! ! » ! » de reels (x , y) tels que AM = x u + y v !!!! » ! » ! » Reciproquement, soit M un point de l’espace tel qu’il existe deux reels x et y verifiant AM = x u + y v . !!! » !!!!! » !!!!! » !!! » On note M1 et M2 les points definis par AM1 = x AB et AM2 = y AC !!! » !!!!! » L’egalite AM1 = x AB prouve que M1 est sur (AB) , donc dans le plan (ABC). De meme M2 est sur (AC), donc dans le plan (ABC) . !!!! » !!!!! » !!!!! » D’autre part on a AM = AM1 + AM2 , donc AM1MM2 est un parallelogramme. A, M1 et M2 etant dans le plan (ABC) il en est de meme pour le quatrieme sommet M . !!! » !!! Definition : On dit que les vecteurs AB et AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC) . ! » ! » Definition : Un point A et deux vecteurs u et v non colineaires determinent un unique !!! » ! » ! ! » » ! » !!! » plan : le plan (ABC) ou u = AB et v = AC . On note (A ; u , v) ce plan. ! ! » » Theoreme : (A ; u , v) est l’ensemble des points M de l’espace tels qu’il existe deux !!!! » ! » ! » reels x et y verifiant AM = x u + y v . ! » ! ! » » ! » On dit que les vecteurs u et v sont des vecteurs directeurs du plan (A ; u , v) ou encore que le plan ! » ! ! » » ! » (A ; u , v) est dirige par u et v . > ? > v u C ? > v A ? > u B ! » ! ! » ! » ! ! » Remarque : Si u ‘ est un vecteur non nul colineaire a u , et v ‘ un vecteur non nul colineaire a v , alors le ! ! » » ! » ! » ! ! plan (A ; u , v) est le meme que le plan (A ; u ‘ , v ‘) . Exemple : !!! » !!! » !!! » !!! » Le plan (A ; DN , KL) est le plan (A ; AE , AB) . 3. Vecteurs coplanaires. ! ! » » ! ! » Definition : Les vecteurs u , v , w , … , de l’espace sont dits coplanaires lorsqu’un point O quelconque et ! » ! » ! !!! » ! » !!! » !!! » les points A, B, C, … , definis par OA = u , OB = v , OC = w , … , sont coplanaires.
Remarque : Cette definition ne depend pas du point O choisi. Deux vecteurs sont toujours coplanaires. ! » ! » ! ! ! » » ! » ! ! » Si deux vecteurs u et v sont colineaires, alors quel que soit le vecteur w , les vecteurs u, v et w sont coplanaires Exercice : !!!! !!! » » !!! » Montrer que les vecteurs HM , AL et DC sont coplanaires. ! » ! ! » » ! » ! ! » Theoreme : u, v et w sont trois vecteurs de l’espace tels que u et v ne sont pas colineaires. ! » ! ! » ! ! » » ! » ! ! » Dire que u, v et w sont coplanaires revient a dire qu’il existe des reels a et b tels que w = a u + b v . ! » !!! » ! » !!! Demonstration : Soit O un point de l’espace. On considere les points A, B et C tels que OA = u , OB = v ! » ! !!! » et OC = w . ! » ! » u et v ne sont pas colineaires, les points O, A et B ne sont pas alignes et determinent donc un plan, le plan (OAB). ! » ! » ! ! » Par definition, dire que u , v et w sont coplanaires revient a dire C ? (OAB) … ce qui revient a dire qu’il !!! » !!! » !!! » existe des reels a et b tels que OC = a OA + b OB . 4. Interpretation vectorielle du parallelisme. 4. 1. De deux droites. ! » ! » Definition : Une droite de vecteur directeur u et une droite de vecteur directeur v sont paralleles si et ! ! » seulement si u et v sont colineaires Exemple : 4. 2. D’une droite et d’un plan. Rappel : Dire qu’une droite d est parallele a un plan P revient a dire que d est parallele a une droite d’ contenue dans P . d d’ P Nous pouvons maintenant enoncer une forme vectorielle de ce resultat : ! » Definition : Dire qu’une droite d , de vecteur directeur u , est parallele a un plan P , de vecteurs directeurs ! » ! » ! ! ! » » ! » ! v et w , revient a dire que u, v et w sont coplanaires. ! » ! » ! ! » Remarque : cela revient a dire qu’ il existe des reels a et b tels que u = a v + b w . u d d’ ? > ? > ? > u
P v w 4. 3. De deux plans. ? > Rappel : Dire qu’un plan P est parallele a un plan P’ revient a dire que l’un des plans contient deux droites secantes paralleles a l’autre plan. Nous pouvons maintenant enoncer une forme vectorielle de ce resultat : ! » ! » Definition : Dire qu’un plan P , de vecteurs directeurs u et v , est parallele a un plan P’ de vecteurs ! » ! ! » ! ! » ! ! » ! ! » » ! directeurs u ‘ et v ‘ revient a dire que u , u , u ‘ et v ‘ sont coplanaires. ! » ! » ! ! » Remarque : cela revient a dire qu’ il existe des reels a et b tels que u ‘ = a u + b v et, il existe des reels a’ ! » ! ! » ! et b’ tels que v ‘ = a’ u + b’ v . 5. Repere et coordonnees. 5. 1. Bases et repere. ! ! » ! Definition : Soit i , j et k trois vecteurs non coplanaires de l’espace et O un point de l’espace, alors : ! ! » ! (i , j , k) est une base des vecteurs de l’espace ! ! » ! (O , i , j , k) est un repere de l’espace ! ! » ! ! ! » ! ! ! » ! On dit que le repere (O , i , j , k) ( la base (i , j , k) ) est orthogonal , lorsque les vecteurs i , j et k sont orthogonaux deux a deux . ! ! » ! Si, de plus, les vecteurs i , j et k sont unitaires ( ont pour norme 1 ) alors, on dit que le repere ( la base ) est orthonormal ! » ! Illustration : representation classique d’un repere orthonormal (O , i , j , k) . ? > ? > k ? > j Exemple : 5. 2. Coordonnees d’un point et d’un vecteur. i O ! ! » ! Theoreme : Soit (O , i , j , k) un repere de l’espace . A tout point M de l’espace, on peut associer un unique triplet de reels (x ; y ; z) tel que : !!!! » » » ! » OM = xi + y j + zk M’’ z M y x ? > O ,i M’ ! ! » ! Definition : On dit que (x ; y ; z) sont les coordonnees du point M dans le repere (O , i , j , k) ou que (x ; ! ! » ! ?? > y ; z) sont les coordonnees du vecteur OM dans la base (i , j , k) . , y et z sont respectivement l’abscisse , l’ordonnee et la cote du point M ! » ! ! Demonstration : La parallele menee par M a la droite (O ; k ) coupe le plan (O ; i , j ) en M’ . La parallele ! » ? > menee par M a la droite (OM’) coupe la droite (O ; k ) en M’’ ( en effet les droites (O ; k ) et (OM’) sont ! » dans un meme plan, et dans ce plan (O ; k ) et (OM’) sont secantes ) . !!!! !!!!! !!!!! » » » Le quadrilatere OM’MM’’ est un parallelogramme, donc OM = OM ‘ + OM » . ! ! ! ! !!!!! » On note (x ; y) les coordonnees de M’ dans le plan de repere (O ; i , j ) ; on a donc OM ‘ = x i + y j . » ! » !!!!! » !!!!! » D’autre part, OM » et k sont colineaires ; il existe donc un reel z tel que OM » = z k . !!!! » » » ! » On en deduit que : OM = xi + y j + zk Cette ecriture est unique ( admis ) Exercice : !!! !! !!! » » » Donner les coordonnees de tous les points de la figure dans le repere (J ; JD ; JI ; JE ) . ! ! » ! Definition : Soit (O , i , j , k) un repere de l’espace. ! ! » ! ! » Dire que un vecteur u a pour coordonnees (x ; y ; z) dans la base (i , j , k) signifie que le point M defini par ! ! » ! !!!! » ! » OM = u a pour coordonnees (x ; y ; z) dans le repere (O , i , j , k) .
Remarque : Par abus de langage, ! ! » ! ! » on dit parfois que u a pour coordonnees (x ; y ; z) dans le repere (O , i , j , k) . 5. 3. Proprietes. Les proprietes et les regles de calcul vues dans le plan pour les coordonnees de vecteurs et de points se prolongent dans l’espace en ajoutant simplement une troisieme coordonnee. ! » ! » Propriete : Dans un repere donne de l’espace, soit u (a , b , c) et v (a’ , b’ , c’) deux vecteurs , A (x ; y ; z) et B (x’ ; y’ ; z’) deux points. ! » Pour tout reel k , le vecteur k u a pour coordonnees ……………………………………………………………………………… ! ! » Le vecteur u + v a pour coordonnees …………………………………………………………………………………………………… ! » ! » u = v ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… !!! » Le vecteur AB a pour coordonnees ………………………………………………………………………………………………………… Le milieu I de [AB] a pour coordonnees…………………………………………………………………………………………………… 6. Distance et Normes. ! ! » ! Dans ce paragraphe l’espace est muni d’une repere orthonormal (O , i , j , k) . Propriete : Dans un repere orthonormal, ! » si un vecteur u a pour coordonnees (a ; b ; c) alors ! » u = a2 + b2 + c 2 i les points A et B ont pour coordonnees respectives (xA ; yA ; zA) et (xB ; yB ; zB) , alors : AB = (xB ! x A )2 + (yB ! y A )2 + (zB ! z A )2 Remarque : Comme dans le plan. M’’ c M b ? > a ,i O M’ Demonstration : !!!! » ! » On note M le point tel que OM = u . !!!! » Les coordonnees de OM sont (a ; b ; c) et ! 2 » u = OM Puisque le repere est orthonormal, le triangle OM’M est rectangle en M’ . Donc OM ‘2 = a2 + b2 et MM ‘2 = OM »2 = c 2 On en deduit, d’apres le theoreme de Pythagore que : ! 2 » u = OM 2 = OM ‘2 + OM »2 = a2 + b2 + c 2 !!! » AB = AB = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
