Correction crpe groupe 42007

Correction crpe groupe 42007

Groupe 4 2007 |Mathematiques | Exercice 1 : 1) Les diviseurs de 6 sont : 1, 2, 3 (6 etant lui-meme) Or 1+2+3= 6 donc 6 est nombre parfait. Les diviseurs de 496 sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 Or 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 donc 496 est un nombre parfait. 2) Les diviseurs de 120 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 60 Or 60+40+30+20 = 150 >120 donc 120 n’est pas un nombre parfait 3) A) – Pour n=1 on a 2n+1-1= 2? -1=3 qui est un nombre premier. Donc 21(2? -1)=6. Or 6 est un nombre parfait (q°1) Pour n=2 on a 2n+1-1= 23 -1= 7 qui est un nombre premier donc 2? (23-1) = 28 qui est un nombre parfait comme indique dans l’enonce. – Pour n=3 on a 2n+1-1= 24-1= 15 Or 15 n’est pas un nombre premier (il est divisible par 3) donc 23(24-1) = 120 n’est pas parfait (q°2) – Pour n=4 on a 2n+1-1= 25-1=31 qui est un nombre premier. Donc 25(24-1)=496 qui est bien en nombre parfait d’apres la question 1. B) N= 2n(2n+1-1) est croissante, donc pour trouver le plus petit entier parfait pair superieur

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a 496 il suffit de trouver le plus petit entier n superieur a 4 our lequel (2n+1-1) est un nombre entier. -Pour n=5 on a 26 – 1 = 63 or 63 n’est pas un nombre premier (divisible par 7) donc dans ce cas N=25(26 – 1) n’est pas parfait. – Pour n=6 on 27 – 1=127 qui est un nbre premier (d’apres la liste donnee) donc dans ce cas N est parfait. On obtient N= 26 (27 – 1) = 8128 qui est parfait. C’est le plus petit nombre parfait pair superieur a 496. Exercice 2 : 1) Figure 2) A) ABCD est un carre et 0 centre de ce carre d’apres l’enonce. Dc 0 milieu de BD donc AO est une mediane du triangle ABD. I milieu de AB donc DI mediane de ABD.

E est l’intersection des deux medianes c’est le centre de gravite du triangle ABD. On sait que le centre de gravite d’un triangle est situe aux 2/3 de chaque mediane a partir du sommet, donc AE/AO=2/3. Or AO=AC/2 donc AE /AC/2=2/3 soit 2AE/AC=2/3 d’ou AE/AC=1/3. B) ABCD est un carre de cote 9cm, ses diagonales ont pour longueur 9v2, dc AC= 9v2 cm. En utilisant l’egalite de la question 1a) on obtient AE=AC/3 donc AE= 3v2 cm C) On sait que EH perpendiculaire a AE donc AEH est un triangle rectangle en E. Demontrons que de plus AEH est un triangle isocele en E.

BAC est un triangle rectangle isocele en B. donc BAC =45°, HAE = 45° or dans le triangle AHE on a AHE= 180° – (AEH+EAH) A^HE= 45° Donc HAE = A^HE et le triangle AEH est rectangle et isocele de sommet E donc EH=AE d’ou EH=3v2. D) Le symetrique de E par rapport a (DB) est F. Le symetrique de H et G. Or la symetrie axiale conserve les longueurs donc FG=EH=3v2. Le symetrique de A est C dc FC=AE=3v2 cm. 3) A) Les triangles rectangles isoceles AEH’, G’FC, CFG, et AEH sont isometrique et ils ont une aire egale a la moitie de l’aire des carres EFGH et EFG’H’.

Les triangles Dh’G’ et BHG sont egalement superposables et ils ont une aire egale a la moitie de l’aire du triangle AEH. Or Aire (ABCD) = 2 Aire (EFGH) + 4 Aire (AEH)+ 2 Aire (BHG) Dc Aire (ABCD) = 2 Aire (EFGH) + 2 Aire (EFGH) + Aire (EFGH)/2 Dc Aire (ABCD° = 4,5 Aire (EFGH) On ne peut dc pas paver le carre ABCD avec le carre EFGH. B) Le carre EFGH est pave par 4 triangles isometriques a GHK. Les triangles DG’H4, EFK, FKG, KGH, HGB sont superposables. De plus le triangle EGH peut etre pave avec deux triangles GHK. Les triangles AEH’, G’FC, CFG et EAH sont uperposables et on peut les paver avec deux triangles GHK. Ainsi le carre ABCD peut-etre pave par 18 triangles GHK. Exercice 3 : 1) A) 10l de vin a 75cts coutent 750 cts. 5 l de vin a 60cts coutent 300cts Les 15l coutent donc 750+300= 1050cts ce qui correspond bien a 70cts le litres. B) Pour 15l il y a 10l a 75cts et 5l a 60cts il y a donc 10/15=2/3 de vin a 75cts et le 5/15=1/3 a 60cts le litre. 2) Proportion du melange final : 6/20=3/10 de vin a 80cts et 14/20=7/10 de vin a 60cts. 3) A) Si l’enseignante achete 15 albums et qu’elle paie 150€, cela signifie qu’en moyenne un livre coute 10€.

Cependant c’est un melange de livre a 8 ou 13€. (utiliser la methodes des bulles decrites on obtient : ) Son achat se decompose donc de 2/5 de livres a 13€ et 3/5 des livres a 8€ Comme l’enseignant veut 15 albums au total cela donne 6 albums a 13€ et 9 a 8€ B) Soit x le nbre d’album a 13€ et y le nbre de ceux a 8€ On a x+y= 15 et 13x+8y=150 On trouve x=6 et y=9 C) La formule a rentrer est « =M1*8 +A4*13 » L’enseignante ne doit pas depasser la somme de 150€ Or 19 albums a 8€ correspondent a 152€ donc elle ne peut aller au-dela de cette somme et donc de la colonne V.

Dans cette feuille de calcul on recherche la cellule ou figure 150€ on trouve ce nombre une seule fois, a l’intersection de la colonne correspondant a 9 albums de 8€ et a la ligne correspondant a 6 albums a 13€ Exo vraiment simple celui la je trouve ( Question Complementaire 1 : a) La grandeur en jeu dans cette activite est l’aire d’une surface. Pour repondre aux q°1 et 2 les eleves peuvent utiliser une procedure de comparaison par decoupage, et superposition mentale des pieces. Le passage par la mesure n’est necessaire qu’aux q°3et 4.

Le titre comparaison et mesure et donc bien choisi. b) La procedure attendue est celle de decoupage et recollement mental. C’est procedure est la plus simple a mettre en place vis-a-vis des figure proposees. Cette procedure reste mentale car les eleves ne peuvent pas decouper les figures. c) Les difficultes pour certains eleves va etre d’imagine mentalement les decoupage et donc les recollements. Ainsi l’aide peut consister a donner a ces eleves une copie de certaines surfaces et des ciseaux. Et ainsi il peut comparer. d) Les eleves isquent de comparer les surfaces en s’appuyant sur d’autres grandeurs (plus facile a comparer) comme la quantite de place occupee, ou le perimetre. De plus certaines surfaces ont la meme aires comment ranger des aires egales ? Question Complementaire 2 : a) Les connaissances mathematiques necessaires sont : – Savoir utiliser les systemes d’operation (addition, soustraction, multiplication et division) – Savoir comparer des nombres entiers b) Brice fait 2 erreurs, une qu’il barre 13×10 et une erreur dans la liste des multiples de 13.

Dans sa premiere erreur apres avoir calcule la somme totale dont dispose Emilie (15 bons de 10€), il pense resoudre par 13×10 mais voyant son erreur barre. Cette erreur vient peut etre du fait qu’il a essaye d’utiliser les nombres de l’enonce sans vraiment de recherche mais juste dans le but de formuler une reponse. Dans sa suite de multiples il fait une nouvelle erreur, il additionne de 13 en 13 mais passe directement de 39 a 42 (39+13= 42) c’est une erreur de retenue, qui va entrainer des erreurs multiples. Brice a du se rendre compte de certaines de ses erreurs.

Il repond au pb pose. c) Laura se sert du dessin pour traduire l’enonce du probleme. Elle effectue le produit correct de 8 par 13 et elle calcule la somme dont dispose Emilie. Ensuite elle effectue le produit des deux resultats trouves (104 et 150), si elle pose le calcul en colonnes, mais sa technique operatoire est erronee et trouve un resultat inexact. Elle numerote les differentes etapes de son raisonnement, et conclue a l’aide du resultat trouve en semblant oublier un peu l’enonce ; et donc le but du pb. Erreur de procedure, d’execution.

Laura semble avoir applique une regle (resoudre le pb) sans penser qu’il fallait peut-etre y allait par tatonnement. Maxime ecrit d’abord les multiples de 13 il fait une erreur pour 13×7 qui sera sans consequence car il ne semble pas additionne les 13 pour passer d’un multiple a l’autre. Ensuite il essaye de trouver 150 en additionnant les multiples de 13 Il fait par tatonnement…N’arrivant pas au resultat escompte il change de procedure pour additionner directement des multiples de 13 et 8 utilisant les 2 listes de multiples. Finalement il trouve le resultat correct. Procedure et resultats corrects mais la reponses n’est pas formulee.