corr bac blanc fev 2013 ts obli et spe 2

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TS Terminale Scientifique Lycée René Cassin, Gonesse (Val d’Oise, France métropolitaine) Correction Bac Blanc sht ths Obligatoire Spécialité ic e Ian Co B B or 19 Sni* to View Exercice 1. Commun à tous les candidats Polynésie juin 2006 différent de —1, (z ‘ Soit z e C tel que — -2 z-1 7+1 ainsi (z ‘ b. En déduire une relation entre Iz — Il et Iz+ Il, puis entre arg(z ‘ — 1) et arg(z + 1), pour tout nombre complexe z différent de —1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles. rg (Cz = arg [2fl] Ainsi Iz 11×2=2 d’où Iz Il lie Iz’ —al = 1. D’où AM ‘ = 1 ie M ‘ appartient au cercle (C ‘ ) de centre A et de rayon 1. 4. Soit le point p d’affixe p —2 i 3. a. Déterminer la forme exponentielle de (p + 1). 2 ill sin ) = 2 (cos ( 2n -2+i3 2 b. Montrer que le point P appartient au cercle (C). 2i1T p +1 – 2e 3 donc Ip + Il 2 ie Ip — bl —2 ie BP —2 ainsi P appartient au cercle (C) de centre

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B et de rayon 2. c. Solt Q le point d’affixe q – —p où p est le conjugué de p.

Montrer que les points A, P ‘ et Q sont alignés. On a : p’ — a car IP’ — al = IP’ – 11=1 d’après 2. b. achant que Ip q-a Calculons donc les affixes de ces deux affixes. —2iT[ I ZAQ 2z AQ = 2AQP’ -3 AP p + 1 2e 2iT[ 1) -2e3 -2e3 Ainsi les vecteurs AQ et AP sont colinéaires, donc les points A, P et Q sont alignés. l’application f , méthode que l’on va détailler et démontrer. Soit M un point du plan, différent de B, d’affixe z, et M = f (M ) d’affixe z donc z *-1 ie z +1 ainsi Iz + II > 0.

Notons r le réel : r = IZ+ Il O. On a donc BM = Iz — bl = Iz Il = r. , donc M ‘ appartient au cercle de centre A et Ainsi, d’après le 2. b. , AM x BM 2 ie AM de rayon . On vient de montrer que l’image d’un cercle de centre B et de rayon r par l’application f est incluse dans le cercle de centre A et de rayon , on pourrait montrer qu’il s’agit exactement de ce cercle) Considérons le point N symétrique du point M par rapport à l’axe des ordonnées, d’affixe n.

Ainsi n — z comme à la question 4. c. z—l On remarque d’abord que z ‘ * a (car sinon 1 ie z —1 = z + 1 ie —1 = 1 absurde). On utilise la question 2. a. (z ) et le fait que ll=r n -a -z -1 -(z+ 1) -(z+l PAGF s OF lg point d’intersection de la demi-droite [AN ) avec le cercle de entre A et de rayon Conclusion : On part d’un point quelconque M différent de B. On place N le symétrique du point M par rapport à Paxe des ordonnées.

On note r = BM , puis on trace le cercle de centre A et de rayon si on s’autorise seulement la règle non graduée, le compas et l’unité graphique du repère orthonormé (? la grecque), on peut trouver la longueur notée r’ à partir du théorème de Thalès en utilisant l’égalité des quotients (à vous de vous creuser avec ça ou de se résigner à mesurer BM et d’en déduire 2r M sera funique point d’intersection entre la demi-droite [AN ) avec le cercle de centre A et de rayon . Exercice 2. Commun à tous les candidats Polynésie septembre 2005 L’annexe se rapporte à cet exercice.

Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Le plan est rapporté à un re ère ortho onal (0; i, j Soit la fonction f définie s PAGF 6 OF lg appartenant à l’intervalle [O ; —e—x gf (x) g e—x . On sait que, pour tout x e [O ; +4, —1 cos(4x) 1. Donc —e—x cos(4x) s car > O. Ainsi —e—x f (x) . b. En déduire la limite de f en im -x = lim x = lim ex -01 théorème lim f (x) = O. des gendarmes x lim = -e-x un = f (n ) = 2 cos (4n ) = e— 2 xn x cos (2nn) Donc un est de la forme uO q n pour tout n avec LIO = 1 et q – Ainsi (un ) est une suite géométrique de raison e— 2 (et de premier terme 1 e— b.

En déduire le sens de variation de la suite (un ) et étudier sa convergence. La raison de la suite géométrique est telle que O < e décroissante et converge vers 0. 4. < 1 donc la suite (un ) est strictement a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à rlntervalle [O ; ' (x) = —e—x [cos(4x) + 4 sin(4x)] f est dérivable sur [O ; comme produit de fonctions dérivables sur [O ; (x e—x et x cos(4x) étant dériv comme composée de PAGF lg = -e- 2 - -e-x=g' (x).

Donc f Comme, les tangentes aux points, d’abscisse xo , de la courbe d’une fonction dérivable f sont entièrement déterminées par f (xo ) (coefficient directeur de la tangente) et par f (xo ) (on peut s’en convaincre en se rappelant que ‘équation d’une telle tangente est donnée par y = fi (xo xo ) + f (xo )), sachant que f et g ont les mêmes images et mêmes ombres dérivés aux abscisses des points communs de leurs courbes, r et C ont même tangente en chacun de leurs points communs. 5.

Donner une valeur approchée à 10—1 près par excès du coefficient directeur de la droite T tangente à la courbe r au point dabscisse Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant T et C . est l’abscisse d’un point commun de r et C (k – 1). parcours d’un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes : Le visiteur passe au hasard d’une salle à une salle voisine. Pour sortir d’une salle, il franchit de manière équiprobable ‘importe quelle autre porte que celle qu’il a utilisée pour entrer.

Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s’intéresse qu’aux quatre premières salles traversées, l’entrée E étant comprise dans celles-ci. un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres, commençant par la lettre E. par exemple • Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera son trajet par le mot EBDF. Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies. Boisset, Legrand, Roussot 5/ 12 Février 2013