Beton Arme BTS – TP1 – 03/03/99 08:01 Beton Arme I. Principe du Beton Arme La resistance du beton est tres faible en traction. En revanche, l’acier resiste tres bien a la traction. Aussi, le principe sous-jacent au beton arme est d’inserer dans la matrice de beton des aciers dans les zones tendues. I. 1. Cas du tirant (N en traction) Toute la section de beton est tendue, les aciers longitudinaux reprennent seuls l’effort de traction (le beton n’a qu’une fonction d’enrobage). I. 2. Cas du poteau ou du buton (N en compression) a section de beton est globalement comprimee, la presence des aciers longitudinaux viennent seulement renforcer la resistance du poteau. I. 3. Cas de la poutre en flexion (M et V presents) Des aciers longitudinaux sont inserees dans la zone tendue de la poutre pour reprendre l’effet de M. Des aciers transversaux reprennent l’effort tranchant V. On les appelle aussi aciers de couture. Theoreme de reciprocite de Cauchy Soit une poutre posee sur deux appuis soumise a un effort vertical P. La Figure I-1 represente l’allure du diagramme de l’effort tranchant et du moment flechissant.
Mo me nt fle ch iss an t P Y X Effort tranchant Figure I-1
La Figure I-2 met en evidence le theoreme de Cauchy : a savoir, il y a egalite des contraintes tangentielles sur les 4 cotes du cube avec le sens de ces contraintes specifie sur cette meme figure. Mise en evidence de la necessite d’aciers de couture R Figure I-3 – Demonstration de la necessite des aciers de couture Compte tenu du theoreme de Cauchy, la resultante des contraintes tangentielles montre que dans le beton une fissuration va se dessiner a 45°. Il faut coudre cette fissure avec des aciers perpendiculaires a celle ci.
Dans la realite, il n’est pas tres pratique de disposer les aciers a 45°. Aussi, dans la majorite des cas, les aciers sont positionnes verticalement (Cf. Poly). II. Bases reglementaires Le materiau beton – par nature non homogene – associe a l’acier induit un comportement autrement plus complexe que ne peut le decrire les hypotheses tres simplificatrices de la RdM. C’est pourquoi, des regles de calcul precises et dediees au beton arme ont ete etablies. Elles sont contenues dans le reglement BAEL (Beton Arme aux Etats Limites).
La derniere version majeure date de 91 mais des modifications mineures ont ete realisees depuis. Le BAEL sera bientot remplace par l’Eurocode 2 unifiant les differents reglements europeens. R ?2 ?2 O On applique le PFS : – Somme des forces – Somme des moments en O ?1 ?1=? 2 Figure I-2 – Theoreme de Cauchy ? Fissuration a 45° O ? ? ? 2 Beton Arme [Art. A. 1. 1 du BAEL] n Ces regles, basees sur la theorie des etats limites, sont applicables a tous les ouvrages en beton arme dont le beton est constitue de granulats naturels normaux et dont le dosage en ciment et au moins egal a 300 kg/m 3 .
III. Les Etats Limites III. 1. Definition [Art. A. 1. 2] Un etat limite est un etat pour lequel une condition requise d’une construction (ou d’un de ses elements) est strictement satisfaite et cesserait de l’etre en cas de variation defavorable d’une des actions appliquees. III. 2. Etat limite de service & Etat limite ultime La theorie des etats limites considere 2 etats limites [Art. A. 1. 2] III. 2. a. Etat limite de service (ELS) Les conditions de bon fonctionnement de la structure ont ete atteintes. La durabilite de la structure est remise en cause. Etat limite d’ouverture de fissures : risque d’ouverture de fissures. – Etat limite de compression du beton : on limite volontairement la contrainte de compression a une valeur raisonnable. – Etat limite de deformation : fleche maximale. L’etat limite de service atteint remet en cause l’aptitude au service de la structure (fissures, fuites, desordres divers). En revanche, la securite (c’est a dire sa resistance) n’est pas remise en cause. III. 2. b. Etat limite ultime (ELU) Le depassement de cet etat conduit a la ruine de la structure.
Au dela de l’etat limite ultime, la resistance des materiaux beton et acier est atteinte, la securite n’est plus garantie et la structure risque de s’effondrer. – Etat limite de l’equilibre statique. – Etat limite de resistance de l’un des materiaux. – Etat limite de stabilite de forme : flambement IV. Les actions IV. 1. Valeurs caracteristiques des actions [Art. A. 3. 1. ] Les etats limites distinguent principalement 2 types d’actions caracteristiques [Art. A. 3. 1] : les actions permanentes et les actions variables.
Les valeurs attribuees a ces diverses actions sont des valeurs caracteristiques : c’est a dire qu’elles tiennent compte du caractere aleatoire de la valeur des actions (En d’autre termes, il n’est pas possible de determiner avec precision la valeur de telle ou telle action). Elles sont donc issues d’un calcul probabiliste et acceptent le risque que dans 5% ou 10% des cas la valeur reelle de ces actions depasse (cas defavorable) la valeur caracteristique retenue. IV. 1. a. Les actions permanentes Gi [Art. A. 3. 1,2] Les actions permanentes ont une intensite constante ou tres peu variable dans le temps.
Elles sont designees par la lettre G. – Poids propre de la structure 3 Beton Arme – Cloisons, revetements, superstructures fixes – Poussee des terres, de l’eau IV. 1. b. Les actions variables Qi [Art. A. 3. 1,3] Les actions variables ont une intensite qui varie frequemment et de facon importante dans le temps. Elles sont designees par la lettre Q. – Charges d’exploitation (ratio d’utilisateurs, de vehicules, etc. ) classees par duree d’application (provisoire, longue duree) – Charges climatiques (neige et vent) – Effets thermiques IV. 2. Valeurs de calcul des actions [Art.
A. 3. 3] Pour tenir compte des risques non mesurables, on associe aux valeurs caracteristiques des actions un coefficient de securite pour obtenir les valeurs de calcul des actions. Puis on combine ces valeurs de calcul pour etablir le cas de chargement le plus defavorable. IV. 2. a. Combinaison d’actions aux ELS [Art. A. 3. 3,3] La combinaison d’action courante a l’ELS est la suivante : avec : G max : ensemble (somme) des actions permanentes defavorables. G min : ensemble (somme) des actions permanentes favorables. Q1 : action variable de base.
Qi : autres actions variables d’accompagnement avec leur coefficient ? i . Gmax + Gmin + Q1 + ?? i Qi 1 Les combinaisons les plus courantes : G + Q + 0. 9( S ou W ) (S : snow – W : wind) G + ( S ou W ) + 0. 8Q IV. 2. b. Combinaison d’actions aux ELU [Art. A. 3. 3,2] La combinaison d’action courante a l’ELU est la suivante : avec : G max : ensemble (somme) des actions permanentes defavorables. G min : ensemble (somme) des actions permanentes favorables. Q1 : action variable de base. Qi : autres actions variables d’accompagnement avec leur coefficient ? i . 1. 35G max + Gmin + 1. Q1 + ? 1. 3? i Qi Les combinaisons les plus courantes : 1. 35G ? ? + 1. 5Q + 1. 2( S ou W ) G ? 1. 35G ? ? + 1. 5( S ou W ) + 1. 04Q G ? – 1 Tous les coefficients de securite sont egaux a 1. 4 Beton Arme V. Les materiaux (acier et beton) V. 1. Resistances caracteristiques du beton V. 1. a. Resistance caracteristique en compression f cj [Art. A2. 1,11] Cette resistance ( f cj en Mpa) est obtenue par un grand nombre d’essais de compression jusqu’a rupture sur une eprouvette normalisee 16 cm * 32 cm (environ 200 cm? ) cylindrique. Contrainte a rupture ? nieme essai
Figure V-1 Courbe de comportement du beton en compression ? f cj est le resultat d’un calcul probabiliste qui accepte le risque que dans 5% ou 10% des cas la valeur reelle de resistance du beton soit inferieure (cas defavorable) a f cj retenue. Le durcissement du beton etant progressif, f cj est fonction de l’age du beton. Aussi, la valeur conventionnellement retenue pour le calcul des ouvrages est f c 28 , la resistance caracteristique du beton a 28 jours. Pour f c 28 40 Mpa a f cj = j f c 28 avec f c 28 exprime en Mpa 4. 76 + 0. 83 j j f c 28 1. 40 + 0. 95 j – 5 Beton Arme cj [Mpa] 45 Resistance caracteristique en compression [Mpa] 40 35 30 25 fcj [Mpa] 20 15 10 5 0 -2 3 8 13 18 23 Ages [jours] 28 33 38 43 48 Figure V-2 – Relation reglementaire f cj en fonction de l’age du beton (cas f c 28 ; 40Mpa ) Classe du ciment 45 et 45 R2 CC3 300 350 * non admis AS4 325 400 * CC 325 375 * 55 et 55 R AS 300 350 * f c 28 [Mpa] 16 20 25 30 Tableau V-1 – f c 28 en fonction du dosage en ciment et de la classe du ciment [Art. B1. 1] V. 1. b. Resistance caracteristique en traction f tj [Art. A2. 1,12] Il est particulierement difficile d’obtenir experimentalement la resistance a la traction du beton.
C’est pourquoi, on retient conventionnellement : f tj = 0. 6 + 0. 06 f cj (valable pour f cj 40 Mpa). 5 cm : atmosphere tres agressive, mer, embruns. … et toujours superieur a ?. V. 3. b. Groupements d’aciers [Art. A7. 2] Les armatures sont souvent groupees en paquets. Mais leur disposition doit etre compacte et opposer le minimum de gene lors du coulage du beton (en particulier a cause de la taille des granulats). On retiendra les dispositions constructives suivantes : eV D : dimension maximale des granulats eH ? 1. 5D ou ? eV ? D ou ? e’H ? 1. 5D ou 2?
Solutions non autorisees ? eH ? e’H ? ? Figure V-4 – Dispositions constructives pour les groupements d’armatures 5 L’indice S pour Steel. 7 Beton Arme VI. Introduction au calcul VI. 1. Objectif du calcul L’objectif de tout calcul est de definir les dimensions du coffrage ainsi que le ferraillage de tous les elements d’une construction. VI. 2. Dimensionnement / Verification La notion d’etats limites introduit un nombre important de conditions. Il faut en effet s’assurer que l’element de structure etudie satisfasse les conditions imposees par l’ELS mais aussi par l’ELU.
C’est pourquoi, le calcul de beton arme est base sur le principe du dimensionnement / verification. Dans un premier temps, une phase de dimensionnement6 va permettre de determiner une premiere valeur de section d’aciers. Ce dimensionnement resulte de l’application d’une seule des dispositions reglementaires. Dans un deuxieme temps, on verifie que toutes les conditions reglementaires sont satisfaites. Ainsi dans le cas general, si le dimensionnement exploite une condition de l’ELS, la verification sera realisee avec les conditions de l’ELU ou vice-versa. VI. 3. Methodologie de calcul ) Evaluation des actions et des combinaisons d’actions 2) Etude de resistance des materiaux a N, V et M et deformations en toute section de l’element considere 3) Determination des courbes enveloppes et deduction des « sections dangereuses » (valeurs maximales des sollicitations) 4) Dimensionnement au droit de ces « sections dangereuses » des sections d’armatures a l’ELS (ou l’ELU)7 5) Verification de ces meme sections d’armatures a l’ELU (ou l’ELS) 6) Etablissement des plans d’execution : armatures/coffrages VII. Verification des sections sous contraintes normales – ELS Les contraintes normales ? ont induites par N ou M. Elles sont classiquement presentes dans les tirants, poteaux et poutres. VII. 1. Hypotheses de calcul [Art. A4. 5,1] q q q Les sections droites restent planes apres deformation Pas de glissement relatif entre armatures et beton ? ? s = ? b Le beton tendue est neglige q Le beton et acier ont un comportement elastique lineaire q Conventionnellement, le rapport du module d’elasticite longitudinal de l’acier a celui du beton note « coefficient E d’equivalence n » est pris egal a 15 : s = n = 15 Eb VII. 2. Conditions imposees par l’ELS VII. 2. a. Etat limite de compression du beton [Art.
A. 4. 5,2] La contrainte de compression dans le beton est limitee a 0. 6 f cj . 6 7 Par comparaison, le pre-dimensionnement est le fruit de l’experience. Generalement, un pre-dimensionnement prealable aura fourni les sections de beton. 8 Beton Arme Pour un beton age de plus de 28 jours, il vient : ? bc ? f b ser = 0. 6 f c 28 VII. 2. b. Etat limite d’ouverture de fissures [Art. A. 4. 5,3] Pour limiter les fissures, on limite la contrainte dans les armatures tendues. En fonction de la destination de la structure (a decouvert, a l’abri, en bord de mer), la taille des fissures sont plus ou moins nocives.
Cas 1 – fissuration peu prejudiciable (FPP – interieur) : ? st ? f s ser = f e O Cas poutre si ? >20 mm a eH20 mm a eH20 mm a eH lineaire Diagramme des contraintes (rectangulaire simplifie) d’ x h d Asc Diagramme des resultantes d’ f bu 0. 8x f su G x h d 0. 8x 0. 8x/2 Fsc Fb axe ou fibre neutre µb : (? =0) Ast Z G f su Traction Fb = 0. 8 x ? b ? f bu Fst = Ast f su Fsc = Asc f su Fst Compression Figure VIII-8 – Diagrammes (deformation, contrainte normale et resultantes) a l’ELU en verification Pour simplifier l’ecriture, on pose : ? = x d Condition a verifier : Verification (Etat limite ultime de sollicitations) : M u = ZFb + Fsc (d ? ? ) ? M ELU Les inconnues sont Z et Fb . Recherche de x et donc Z : On a Fb + Fsc ? Fst = 0. 8 xbf bu + Asc f su ? Ast f su = 0 A En consequence : x = f su ( Ast ? Asc ) 0. 8bf bu A Il vient alors : Z = d ? 0. 8 x = d (1 ? 0. 4? ) 2 Calcul de M u : M u = d ? 0. 8 x 0. 8 xbf bu + Asc f su (d ? d ? ) 2 ( ) 13 Seules les sections d’aciers comprimees entourees d’armatures transversales tous les 15 ? sont prises en compte dans Asc . 18 Beton Arme IX. Dimensionnement des sections sous contraintes normales – ELS IX. 1. Hypotheses et conditions ELS q
Les hypotheses detaillees lors de l’elaboration des methodes de verification a l’ELS restent valables : voir les § VII. 1 et VII. 2 page 8. En outre, on supposera toujours que les aciers tendus travaillent au maximum autorise par l’ELS : ? st = f s ser IX. 2. Dimensionnement des elements courants IX. 2. a. Traction simple q q a, b les cotes du poteau avec a M rb , il faudra rajouter des aciers comprimes. Mais cette eventualite doit etre tres rare puisque les sections en Te sont souvent dimensionnees pour ne pas necessiter d’armatures comprimees. A Dimensionnement (Etat limite ultime de sollicitations) : Ast ?
Ast1 + Ast 2 q Probleme 1 : Ast1 ? M Tu1 h ? ? f su ? d ? 0 ? 2 ? ? M ELU ? M Tu1 f su Z ELU q Probleme 2 : La section d’armature est de la forme (en l’absence d’aciers comprimes) Ast 2 ? (voir le paragraphe Section rectangulaire sans armatures comprimees (cas µ ELU ? µ? se ? B ), page 27). XI. Verification des sections sous sollicitations tangentes – ELU Les contraintes tangentes ? sont induites seulement par V. Elles sont classiquement presentes dans les poutres soumises a la flexion (M et V au moins presents). Les elements de type poteaux et tirants ne reprennent aucun efforts tranchants ! 30
Beton Arme XI. 1. Principe de justification de l’effort tranchant P C 45 C C C C C Mise en evidence d’un fonctionnement type treillis R ° Analyse statique d’un cube ? ? Fissuration a 45° ? Compression (beton) Traction (acier) P R ? Mise en evidence d’une fissuration generalisee Les modes de rupture possibles par effort tranchant vont conduire a envisager les etats limites principaux suivants : 1. Traction limite des armatures d’ames ou armatures transversales 2. Compression limite des bielles de beton comprimees limitees par deux fissures a 45° 3. Traction limite des aciers longitudinaux existants.
Ces etats limite pourraient se decliner a l’ELS et l’ELU mais compte tenu de l’aspect nettement preponderant de l’ELU sur l’ELS, le reglement n’envisage que des calculs a l’ELU. XI. 2. Hypotheses generales de calcul XI. 2. a. Relation entre effort tranchant V et contrainte tangentielle ? La contrainte tangente maximale (exprimee dans la section homogeneisee beton) d’une section rectangulaire de V (x ) section b est de la forme14 ? ( x ) = avec z le bras de levier entre les points d’application de la resultante beton et bz aciers tendus. x est compte du nu de l’appui gauche. On pose generalement en premiere approximation z=0. d, il vient alors ? (x ) = 14 Compte tenu de l’heterogeneite introduite par le cas d’une section de beton arme, cette expression differe de celle classiquement fournie par la resistance des materiaux construite pour le cas d’une section homogene. Rappel : la contrainte 3V V tangente maximum dans une section rectangulaire homogene est de la forme : ? ( x )max = = . 2 bh ? 2 ? b? h ? ?3 ? 31 45 ° x Mise en place de cadre pour « coudre » les fissures nu d’appui nu d’appui Figure XI-1 – Principe detaille du fonctionnement d’une poutre sous sollicitation d’effort tranchant. V (x ) . 0. 9bd Beton Arme XI. 2. b.
Contrainte conventionnelle de cisaillement [Art. A5. 1,1] On definit reglementairement la contrainte conventionnelle de cisaillement : ? ELU = avec V ELU ? max la valeur maximale a l’ELU de l’effort tranchant. Pour tenir compte de la transmission directe des charges aux appuis, la contrainte conventionnelle de cisaillement peut etre calculee en reduisant la part des efforts appliques sur la poutre. Il vient les regles suivantes : h : charges negligees 2 h 3 2 x de la charge est conservee q Entre et h : seul la fraction 2 2 3h q VELU ? max bd Entre le nu d’appui et XI. 3. Conditions imposees par l’ELU XI. 3. a.
Etat limite ultime du beton de l’ame [Art. A5. 1,21] Pour des cadres, etriers et epingles verticaux (armatures transversales verticales), la contrainte conventionnelle de cisaillement ? ELU doit verifier : q ? 0. 2 fc28 ? ;5 Mpa ? En fissuration peu prejudiciable : ? ELU ? min ? ?b ? ? ? ? 0. 15 fc28 En fissuration prejudiciable ou tres prejudiciable : ? ELU ? min ? ;4 Mpa ? ?b ? ? q XI. 3. b. Section minimale d’armatures d’ame [Art. A5. 1,22] Soit st l’espacement des cours successifs d’armatures transversales, ? t le diametre de ces memes armatures transversales et enfin At la section d’un cours d’armatures transversales, on doit verifier : q st ? min[0. 9 ? d ;40 cm ] b? ?h ? t ? min ? ; ? ; ? 35 10 ? ? At b ? 0. 4 ? 10 6 st fe q XI. 3. c. Etat limite ultime des armatures d’ames [Art. A5. 1,23] Seul sera traite par la suite le cas des armatures transversales verticales. 32 Beton Arme Section ? a 45° V(x) b At h ~z Ast st ~z Figure XI-2 – Diagramme de la contrainte de cisaillement et resultante sur la section ? (cadres verticaux) Isolons le cote gauche de la poutre. Au droit de la section ? a l’abscisse x, section a 45° representative d’une fissure, est present l’effort tranchant V(x).
En supposant que le beton – qui travaille en traction perpendiculairement a cette fissure – est neglige, seul les aciers transversaux peuvent reprendre l’effort tranchant V(x). La section totale d’armatures transversales coupant la section ? est Quel que soit x, At doit donc verifier l’inegalite suivante : z At . st z At ? st ? V (x ) st Le dimensionnement impose la recherche de la section « dangereuse » correspondant a l’effort tranchant maximal. En outre, les calculs s’effectuent a l’ELU, il vient donc Vmax = V ELU et ? st = f su . Enfin en introduisant la contrainte conventionnelle de cisaillement, l’equation precedente devient : A ? z b At f su ? V ELU = ? ELU bd = ? ELU b soit encore t ? ELU st 0 . 9 st 0. 9 f su Mais l’experience montre que le beton est capable de reprendre une part de cet effort de traction diminuant d’autant la contrainte devant etre reprise par les armatures transversales. A Il vient alors l’equation modifiee : ? ELU ? 0. 3 f tj ? k b At ? st 0. 9 f su ( ) ou : O k=0 si la fissuration est tres prejudiciable ou s’il y a reprise de betonnage O k=1 en flexion simple Pratiquement, on se fixe une section d’armatures transversales At et on fait varier l’espacement st .
Dans le cas d’une poutre sur deux appuis et uniformement chargee, on determine At et le premier espacement st puis on applique la regle de Caquot en choisissant les espacements dans la serie 7, 8, 10, 11, 13, 16, 20, 25, 35, 40 et en les s reportant autant de fois qu’il y a de metres dans la demi portee a partir de l’abscisse t . 2 XI. 3. d. Zones d’appui [Art. A5. 1,3] Au niveau des appuis, l’analyse du fonctionnement de type treillis conduit au bilan statique suivant : 33 Beton Arme a/21/2 si o Traction n Compression om pr es Bielle de compression ° 45 C Traction a cm R Bilan du noeud d’appui R* ° 45 2 1/2 R Figure XI-3 – Bilan du noeud d’appui d’un poutre BA Bilan des efforts exterieurs et PFS : q R : reaction d’appui connue (correspond a l’effort tranchant au droit de l’appui) q 1 effort de traction dans les armatures longitudinales q 1 effort de compression dans la bielle d’about Application du PFS (solution graphique) : q q L’effort dans la bielle en compression est de R 2 L’effort dans les aciers longitudinaux est de R Etat des contraintes (repartition homogene) : q Bielle de beton comprimee : ? bc = 2? R R 2 = a b? a b? 2 vec a : longueur de la bielle comprimee (generalement egal a la longueur d’ancrage des aciers longitudinaux retranchee de 2 cm). R q Armatures longitudinales : ? st = Ast 1. Verifications pour appuis simples Soit V ELU , la valeur de la reaction d’appui. On doit verifier que la section d’armature longitudinale est suffisante (en posant ? st = f su ) et que la compression dans la bielle de beton ne depasse pas une valeur fixee. Ces deux conditions sont resumees de la maniere suivante : Ast ? 2 ? V ELU f VELU ? 0. 8 c 28 et ? bc = f su b? a ? b 2. Verification pour appuis intermediaires Soit VELU ? auche et V ELU ? droite , les 2 valeurs d’effort tranchant (valeurs conventionnellement positives) a droite et a gauche de l’appui considere et M ELU (valeur theoriquement negative) la valeur du moment flechissant sur appui. Les memes conditions que precedemment sont a verifier mais avec des equations prenant en compte l’influence positive du moment flechissant : q a gauche : Ast ? gauche ? V ELU ? gauche ? M ELU ? z f su et ? bc = 2 ? VELU ? gauche b? a R ? 0. 8 f c 28 ? b 34 Beton Arme q a droite : Ast ? droite ? VELU ? droite ? M ELU ? z f su et ? bc = 2 ? V ELU ? droite f ? 0. 8 c 28 b? a ? b 35
