bac 2011

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UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/2 OFFICE DU BACCALAUREAT Téléfax (221) 33 824 65 81 – Tél. : 33 824 95 92 – 33 824 65 81 11G26A01 Durée : 4 heures Séries : S2-S2A-S4-S5 – coef. 5 Epreuve du 1 er groupe MATHEMATIQUES Les calculatrices élec unique par clavier so Les calculatrices per tracés de courbe son Svp next page tes avec entrée rmulaires ou des Leur utilisation sera considérée comme une fraude. (Cf. Circulaire no 5990/0B/DIR. du 12. 08. 1988). EXERCIE 1 (05,75 points) e plan complexe est muni du repère orthonormé (O, u, v) direct. I.

Soit z E C où C désigne l’ensemble des nombres complexes. osons z = x + iy, x et y réels. 1) Sous quelle forme est écrit z ? Quelle est sa partie réelle ? Quelle est sa partie imaginaire ? (0,25 pt) 2) Quel est le module de z ? E + 32 = o. 1) Résoudre l’équation (E). (0,5 pt) 2) On considère les points A et B d’affixes respectives a = – 4•/3 4i —4v’3 + 4i. Calculer OA, OB et AB. (0,75 pt) En déduire la nature du triangle OAB. 3) On désigne par C le point

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d’affixe c VB + i et par D son image par la rotation de centre O et d’angle Déterminer l’affixe du point D. ) On appelle G le barycentre des points pondérés (O, 1) ; (D, -1) ) Montrer que le point G a pour affixe g = -4V3 + Gi. b) Placer les points A, B, C et G sur une figure (unité graphique : 1 cm) (01 pt) 5) Déterminer une mesure en radians de l’angle (GA, GC). En déduire la nature du triangle GAC. 2 les délestages ont débuté dans une ville à un rythme décrit comme suit : Séries : S2-S2A-S4-S5 Epreuve du 1er groupe Le premier jour la ville est délestée. Si la ville est délestée un jour, la probabilité qu’elle soit délestée le jour suivant est .

Si elle n’est pas délestée un jour, la probabilité qu’elle soit délestée le jour suivant est 9 On désigne par Dn l’évènement : « La ville est délestée le nième jour » et pn la probabilité de l’évènement Dn, pn p(Dn 1) Montrer les éealités sui 3 Soit la fonction définie sur IR par f(x) = 1) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 2) Déterminer la dérivée de f, étudier son signe et dresser le tableau de variation de f. 01, 5 pt) 3) Montrer que l’équation f(x) = 1 admet une solution et une seule En déduire que 3 a < 4. Il. Soit la fonction g définie par g(x) = 1) a) Montrer que g est définie sur IR*. ) Démontrer que g est la composée de la fonction f et d'une fonction h à préciser c) Etudier la parité de 2. 4 bijection c) Construire les courbes (C réciproque k de k dans un repère orthonormé ; unité graphique : 1 cm Tracer la courbe de g dans le repère précédent. CORRIGE EXERCICE NOI . 0) 2 est écrit sous forme algébrique, 3 est sa partie réelle et4 sa partie imaginaire (ou iy). Nota bene : deux réponses correctes au moins pour avoir 0,25 pt 2) Son module est 121 = 53 2 + y 2. 3) cos 6 = 789 91 sin 6 - S OU axe réel 11 G26A01 s Of 9 90 29 D'où sn + 1 84 6 29 8 S2-S2A-S4-S5 3) f continue et strictement croissante sur IR donc f réalise une bijection continue de IR sur • v• = v• et 1 e • v• Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)= 1 admet une solution unique 6 E v• Montrons 3 < 6 < 4.

La restriction de • à [3 ; 4] est une bijection continue et • 4 donc l’équation • 1 admet une solution 6 Eb3, 4a. 31n xl-1 3 3 ln xl+l 1) a) g(x) existe si et seulement d3’t 2 x or 3’t 131 +1 pour tout réel 3*0. TIP = b) 8 3 ln 3x — 31nx 2+ 3 lnx— 1 x31n2X+1 31nx al —lnx+ lnx ln 9 Df9