08 Exos Integration Primitives

08 Exos Integration Primitives

Exercices 23 octobre 2014 Intégration et primitives Notion d’intégrale Exercice 1 Pour chaque fonction affine définie par morceaux f , représentée ci-dessous, calculer, en utilisant les aires, l’intégrale I de f sur Vintervalle de définition de or 14 Sni* to View 2 -3 -2 o ci-contre permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine D en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents. Donner une valeur approchée à 10—3 près du résu tat affiché par cet algorithme. S’agit-il d’une valeur par excès ou par défaut ? Variables : entier et S réel

Entrées et initialisation Traitement pour variant de O à 3 faire fin Sorties : Afficher S b) Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’intervalle [O , 1] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’? la question a). Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits. Faites le calcul pour N 100. c) Vérifier le résultat en calculant la valeur approchée de ‘intégrale de f de O à 1.

Quelle est l’erreur commise en prenant N = 4, valeur

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trouvée en a). Exercice 3 Dans chaque cas, la fonction f est représentée par sa courbe C f , dont une équation est indiquée. 12 ensuite une valeur approchée puis vérifier le résu tat sur votre calculette. 4-x2 2-(x- Cf une primitive de la fonction f sur Pintervalle Exercice 7 Linéarité de la primitive x2 – 2x 4 +2ex, Exercice 8 Forme u’un 2 sin(2x)+ 1, I —R Exercice 14 Pour les exercices suivants , trouver la primitive F, de la fonction f, qui vérifie la condition onnee sur un intervalle à préciser. aul milan 3-x 1×2 1)2 PAGF s OF 2×2 – 3x – 4 I ••m[. Ecrire f (x) sous la forme f (x) = ax + b + x-2 x-3 X+3 b) 1=1-3, c) I 31 b x2 + x + 1 I +4. Ecrire f (x) sous la forme f (x) = 6 2 encadrements suivants : 2) 3) 1 +x3 dx3 7 2 croissante. . La suite (un ) converge t-elle ? 2) Prouver que pour tout entier n 1, un (Indication : on montrera que : Vx O, f (x) Annales Exercice 28 Métropole juin 2012 Partie A Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1; par : f (x) 1) Déterminer la limite de la fonction f en ) Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 Dresser le tableau de varlation de la fonction f. Terminale S 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577 À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un ) et son éventuelle convergence. Partie C Démonstrations des conjectures formulées à la partie B 1) Démontrer que pour tout entier strictement positif n : un+l un = f (n) f est la fonction de la partie A. En déduire le sens de variation de la suite (un 2) a) Soit k un entier strictement positif. dx Justifier l’inégalité En déduire que o. Écrire l’inégalité (1) en rem la ant successivement k par 1, n et démontrer e x dx On considère la suite (ln ) définie pour n entier naturel non nul par : ln = 1) a) Soit g la fonction définie par g(x) = xe . Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) – -ex est une primitive sur R de la fonction g. b) En déduire la valeur de Il . ln 1, on a. h+2=e c) On admet que, pour tout entier naturel n calculer 13 et 15 . 2) On considère l’algorithme suivant • Quel terme de la suite (In ) obtient-on en sortie de cet algorithme ? Quelle est sa valeur ? Variables : n entier, u réel