02 Ctrle 17 12 2013 PGCD PPCM Correction

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Chapitre 2 : pgcd, ppcm. th eor• emes de gauss et bezout 7 janvier 2014 Correction contrôle de mathématiques Du mardi 17 décembre 2013 Exercice 1 ROC et questions de cours 6 points 1) a) Théorème de B premiers entre eux si seulement si, il exist b) II suffit de trouver pour éliminer n : ors tifs atifs a et b sont tv tels que : au + bv e de a et b judicieuse (-7)a+ (9)b – -63n – 35 + 63n + 36 -1 Il existe donc un couple (—7; 9) tel que —7a 9b – 1 d’après le théorème de Bezout, les nombres a et b sont premiers entre eux, pour tous n 2) a) Théorème de Gauss : « Soit a, bet c trois entiers relatifs non uls.

Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. » Démonstration : • Si a divise le produit bc, alors il existe k EZ tel que : bc – ka • Si a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bezout, il existe deux entiers u et v tels que : au +bv=l or bc ka, donc

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: ac + kav— c soit a(c + kV) = c. Donc a divise c. b) soit (E) : 3(x- 1) = • 5 divise 3(x — 1) or pgcd(5; 3) = 1 donc d’après le théorème de Gauss, 5 divise (x- 1). n a donc kEZ soitx=l +5k, kC z • En remplaçant x — 1 = 5k dans (E), on a : y 3k kEZ. ?? Comme x e N ety e N donc 1 + 5k Oet 3k O soit k O L’ensemble des couples dentiers naturels (x’ y) solution de (E) sont du type : ox=l+5k keN ny=3k 3) a) Corollaire du théorème de Bezout : « L’équation ax + by — c admet des solutions entières si, et seulement si, c est un multiple du pgcd(a, b). ? b) D’après ce corollaire 3 et 2 non multiple de 3. et 4 est un multiple de 1 Exercice 2 = 2 n’admet pas de solution entière car pgcd(9, 6) – 4 admet des solutions entières car pgcd(5; 7) 1 Application du cours l) ona: contr-ole de math ematiques On a alors : ppcm(4 935; 517) = 935 x 517 = 54 285 47 2) Faux : L’égalité de Bezout n’est qu’une simple implication.

Soit un contre-exemple ‘ Soit les nombres 5 et 2, ona:5x 1+2 x (- 1) = 3 et pourtant pgcd(5; 2) 1 3) Faux : On cherche les racines de : x2 – 52x + 480 = o 522 -4 x 704-1 704=784 – 282 52 28 52 – 28 On obtient deux racines = 40 et X2 -12 2 Or le ppcm est un multiple du pgcd et 40 n’est pas multiple de 12. Exercice 3 Équation diophantienne 4 points n 8x sy=3 5×1 = 3. Donc le couple (1; 1) est solution de (E) Soit (x, y) une solution de (E), on a donc le système suivant : 0 _ 5×1= 3