Chapitre 2 : pgcd, ppcm. th eor• emes de gauss et bezout 7 janvier 2014 Correction contrôle de mathématiques Du mardi 17 décembre 2013 Exercice 1 ROC et questions de cours 6 points 1) a) Théorème de B premiers entre eux si seulement si, il exist b) II suffit de trouver pour éliminer n : ors tifs atifs a et b sont tv tels que : au + bv e de a et b judicieuse (-7)a+ (9)b – -63n – 35 + 63n + 36 -1 Il existe donc un couple (—7; 9) tel que —7a 9b – 1 d’après le théorème de Bezout, les nombres a et b sont premiers entre eux, pour tous n 2) a) Théorème de Gauss : « Soit a, bet c trois entiers relatifs non uls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. » Démonstration : • Si a divise le produit bc, alors il existe k EZ tel que : bc – ka • Si a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bezout, il existe deux entiers u et v tels que : au +bv=l or bc ka, donc
Soit un contre-exemple ‘ Soit les nombres 5 et 2, ona:5x 1+2 x (- 1) = 3 et pourtant pgcd(5; 2) 1 3) Faux : On cherche les racines de : x2 – 52x + 480 = o 522 -4 x 704-1 704=784 – 282 52 28 52 – 28 On obtient deux racines = 40 et X2 -12 2 Or le ppcm est un multiple du pgcd et 40 n’est pas multiple de 12. Exercice 3 Équation diophantienne 4 points n 8x sy=3 5×1 = 3. Donc le couple (1; 1) est solution de (E) Soit (x, y) une solution de (E), on a donc le système suivant : 0 _ 5×1= 3
