D Rivation

D Rivation

TD Dérivation Etude de dérivabilité : Exercice 1 Soit fla fonction définie pourt E O, , par f (t) = xn —1 sin(t) -It. Montrer que f peut ê sur O, A2 . Exercice 2 Détermine les limites suivantes . sin(x— ) a) limn 1-2 cos(x) b) lim x–1X 1 c) limn 4x-n ction de classe C 1 Sni* to View Exercice 3 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée là où elle existe : six —O c)f:x— sin2 ru six > O six = O Exercice 6 Soit f une fonction de R dans R vérifiant : V(x. E R2 , x-Y12 1. Montrer que f est continue sur R. 2. Montrer que f est dérivable sur R et V x, f (x) = 0. 2 Dérivabilité de bijection réciproque Exercice 7 Soit f : x x3 + x. 1 . a) Montrer que f est bijective de R dans R, notons g sa bijection réciproque. Donner une relation liant x et g (x). b) Montrer g est continue et dérivable sur R, et exprimer g en fonction de e. déterminer (f Dérivées successives : Exercice 9 Déterminer

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la dérivée nième des fonctions suivantes : xn—l . ln (x) cos (x) f (ax + b) où f est une fonction de classe (ax + b) . x – a, b, X sont des réels fixés- Exercice 10 Soit n un entier naturel. Soit f : x — Calculer la dérivée ne ‘me de f , en déduire xn (x + l)n économiser de la peinture, calculer les dimensions de la boîte afin que la surface extérieure de celle ci soit minimale. 4 Théorème de Rolle, des accroissements finis et applications Exercice 14 1. Montrer que si une fonction f dérivable s’annule en n + 1 points distincts de I ( où n E alors f s’annule en au moins n point distincts de l. 2. Soit f application de I dans R. fois dérlvable sur I qui s’annule n (n + 1) points distincts de Montrer que : / f (n) (c) = O. 3. Soit P un polynôme, montrer que l’équation P (x) = ex n’admet qu’un nombre fini de racines. Exercice 15 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = xn + px + q où ne — {1} et p, q e R. Montrer que, pour n pair, f ne peut avoir plus de 2 racines distinctes et que pour n impair, f ne peut avoir plus de 3 racines distinctes. Exercice 16 Soit a e IO, 1 [ et n c N• . Montrer les inégalités : g (n + 1) —ng I—a. et, en dédulre, un équivalent simple de la suite • PAGF