CH5 —Algèbre : Suites numériques 2ème Sciences Décembre 2009 A. LAATAOUI l. Présentation des suites numériques : Définition d’une suite Une suite (un) est un entier naturel n asso réel noté un. Autrement écrit : (un) : un u(n) nsemble qui à tout PACE 1 or 7 Snipxto Remarque : l’image de l’entier n est notée un au lieu de u(n). A retenir : On dit que un est le terme de rang n ou le terme d’ordre n ou le terme d’indice n de la suite. un est aussi appelé le terme général de la suite (un). Avec quoi peut-on définir une suite ? Ily a deux manières de définir une suite : ar une formule explicite comme une fonction.
Calculer en fonction de n : un +1 c) Montrer que n 2 (un- u2 n) = 4 Par une formule de récurrence. ; u2n et u2n 41 . Cest-à-dire qu’un terme est défini par rapport au précédent. Par exemple, on peut considérer la suite (un) définie par : Suites numériques. Cours 2ème Sciences 09 – 10 wvm. espacemaths. com Pour calculer u34, il faut auparavant calculer ul, u2, . u33. Cest-à-dire tous les termes qui le précèdent… un vrai travail
Il existe certainement d’autres façons de définir des suites mais elles ne sont quasiment pas employées au lycée. C’est pour cela que nous nous bornerons à ces deux mameres. Exercice no 03 On considère la suite (wn)nilN définie par wo – 3. Calculer WI ; w2 ; w3 2 et Exercice no 04 -2 et wn+l – Calculer les cinq premiers termes de chacune des sultes suivantes : (un) est arithmétique de raison r signifie que pour tout entier naturel n, un+l = un + r Ainsi, si (un) est une suite est arithmétique alors : par exemple, la suite 11 ; 14 st la suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 3.
Sultes numériques. Cours 2ème Sciences 09 – 10. wvuw. espacemaths. com Remarque : pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de prouver que la différence entre deux termes consécutifs est constante. C’est-à-dire qu’il suffit de montrer que pour tout entier n, un+l – un constante r Exercice no 05 1) Prouver que la suite (u n ) n Î IN dont le terme général est u n — n est une suite arithmétique. 2) Prouver que la suite ( un) n Î IN définie par un = 2n – 3 est une suite arithmétique de raison 2.
Ivo -1 st arithmétique et calculer sa raison . 3) Prouver que la suite (Vn ) définie sur par : i ivn +1 =3+vn 4) Montrer que la suite ( u n ) n Î IN dont le terme général est u n = 5n +10 est une suite arithmétique Exercice 4 page 18. Propriété : Si (un) est une suite arithmétique de raison r alors pour tout entier n, un uO + n x r De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques alors : un – up + (n -p) x r d’une suite arithmétique ou bien encore sa raison. Exercice no 06 (un)nÎlN désigne une suite arithmétique de raison r. ?? Sachant que r = 2 et u4 = 30, calculer uO et u8 Sachant que u4 = 35 et u2 = 15, calculer r et uO . Sachant que ul 2p et u3 4p , calculer u2 . Représentation graphique • Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, i, j . Soit (un) la suite arithmétique de premier terme uO et de raison r 2. a) placer les points AO ( O, ut) ) , Al (1, ul ) et A2 ( 2, u2 ) b) Vérifier que les points AO , Al et A2 sont sur une même droite D, que l’on précisera. c) Montrer que, pour tout entier n, le point An ( n, un ) appartient à D.
Somme des n premiers entiers • Si le premier terme est uO, la somme des n premiers termes est k = n-l o + un +u2+L+ un-l uk Si le premier terme est ul , la somme des n premiers termes est s=ul+ Suites numériques. Cours 2ème Sciences 09 100 = 5050 Exercice no 07 (un) désigne une suite arithmétique de raison r, Sn = uO + ul + L + un . • Sachant que r = 5 et uO – 1, calculer u4 et SIO. Sachant que u3 5 etS4= 15, calculer r et uO. Ill. Suites géométriques : Définition d’une suite géométrique.
Dire que la suite (un) est géométrique de raison q signifie que pour tout entier naturel n, un x q Ainsi, si (un) est une suite est géométrique alors : Par exemple, la suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48… st la suite géométrique de 1er terme 3 et de raison 2 propriété • Si (un) est une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n, un = uO x qn De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques alors un up x qn-p Ces formules permettent de calculer n’importe quel terme d’une suite géométrique ou bien encore sa Suites numériques.
Cours 7 = 56. Commençons par la raison q. On peut écrire que • q7-4 d’où 56 = 7 x q3 d’où q3 = 8 d’où Car un seul nombre a pour cube 8 : il s’agit de 2. pour ce qui est du premier terme vo, on peut écrire que : v4 = vo x q4 ‘où 7 = vox 24 d’où Exercice n008 (un)nïIN désigne une suite géométrique de raison q. Sachant que u2 = 5 et u3 = 7, calculer u4 .
Trouver toutes les suites géométriques telles que uO = 1 et u2 = Le truc en plus : pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de prouver que le quotient de deux termes consécutifs est constant. Cest-à-dire qu’il suffit de montrer que constante Exercice n009 Pour chacun des cas suivants, la suite est – elle géométrique ? si oui, préciser son premier terme et sa a) Pour tout n Î IN , un = n b) pour tout n IN , vn c) S cv.
