Cours IP Fini Ver

9 Théorème : Soit (Ai)i el une famille de parties de X, (i) Si est dénombrable, et si E l, Ai est dénombrable, alors est dénombrable. (ii) Si I est dénombrable, et si i l, Ai est fini, alors est au plus énombrable. . 1. 10 Théorème : Soit X,Y deux ensembles non vides et une fonction f : X Y, Si X est dénombrable et f une surjection alors Y est au plus 1. 1. 11 Théorème : Solt X un ensemble, il n’existe pas de surjection de X vers p(X) (ensemble des parties de X, noté aussi 2X). Si Card(X) = k alors = 2k_ On déduit de ce théorème que p(N) est infini non dénombrable. 1. 1. 12 Théorème : R est infini non dénombrable 1. 1. 13 Théorème : Soit deux ensembles et g : X Y une fonction, Si g est surjective et si Y est infini non dénombrable, alors X est 1. 1. 14 Théorème :

Soit (Xi)i E I une famille d’ensembles, Si est dénombrable et si V i E l, Xi possède au moins deux éléments, alors est infini non dénombrable. Exemple : Soit I = N, N, Xi {0,1}, Si A E p(N), on lui associe Ceci permet de construire une bijection entre V(N) et On peut en raisonnant de même assimiler R à une partie de 1 Tribus, définition. On fixe un ensemble non vide Q. 1. 2. 1 Notation Soit X un ensemble, XN es es suites à va PAGF 38 fixe un ensemble non vide n. Soit X un ensemble, XN est l’ensemble des suites à valeur dans X. 1. 2. 2 Définition : Une tribu de parties de Q est O(Q) qui satisfait : iii) V (A,B) 32, 1. . 3 Remarque p(Q) est une tribu de parties de Q, {a,Q} aussi. 1. 2. 4 Vocabulaire : 0-algèbre, a-algèbre de Boole, a-clan algèbre, sont des synonymes de tribu. c’est sûr que c’est tellement essentiel et pertinent qu’il faut en faire un point à part entière… sacré José Bové, j’ai beau ne jamais t’avoir en cours, tu me surprendras toujours*/ I . 2. 5 Théorème : Soit 3 une tribu de parties de n, alors on a, (i) V k E Ak) E3k, (iii) V (An) E Démonstrations: (i) soit (Al Ak) E Posons : n > k+l, An=Ak, Ainsi, (An) E JN et = E a (cara est une tribu) il) comme Q E 3, alors i. a (iii) Soit (An) E ON, on a que O E donc, d’où E a, Le complémentaire de l’intersection étant une union, on a donc que • (iv) On procède de même uf avec des intersections, PAGF 3 8 assertions suivantes sont équivalentes . (i) ri est une tribu de parties de Q (Bn) AE3,) Démonstration : (i) (ii) montré grâce à 1. 2. 5 (iii) montré comme en 1. 2. 5 (en passant au complémentaire chaque Bn puis en repassant dans l’union au complémentaire) (i) évident, ce n’est pas la définition ou presque ? On passe le vide au complémentaire pour montrer que Q e 3, puis on ontre que est stable par intersection finie comme en 1. . 5 (iv) et enfin pour A, B donnés dans on a que ANB=e puisque stable par complémentaire et par intersection finie… 1. 2. 7 Théorème : Soit (3i)iEl une famille de tribus de Q, on a que est une tribu de Posons Soit (Ak)kEN E on a que : i E I, (Ak)kEN E . Comme chaque Ji est une tribu de Q, on a que : Vi e l, e Ji, c’est-à-dire que . Enfin, soit A on a que : , d’où EX D’après les théorèmes précédents, 3 est donc bien une tribu de Q. 1. 2. 8 Définition : Soit V(Q), on note 1’ensemble des tribus de parties de Q dont 8′ est sous-ensemble, i. = {3, tribu de parties de n, t. On appelle tribu engendrée par la tribu notée définie de la manière suivante : 1. 2. 9 Théorème : Soit 3 une tribu de parties de Q t. q & C 3, les deux assertions suivantes sont équivalen 8 une tribu de parties de Q t. q Ç 3, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (ii) pour toute tribu T telle que on a que T. Soit une tribu t. q 3. (i) – (il) Si 3 = TU), alors on a que 3 d’où 3, i. e Ç 3. (ii) * (i) Si pour toute tribu 3 telle que Ç 3, on a que Ç 3′. Alors puisque cU) est une tribu et que & W), on a que W). Comme alors C 3, i. TU’) Ç 3. 1. 2. 0 Théorème et définition Solt QO Q et une trlbu de parties de Q. On pose JO = {Tr-lQO, TCI}. 30 est une tribu de parties de no, appelée tribu-trace ou tribu induite de sur 00. Montrons que 30 est une tribu de parties de no. Soit (Ak)keN , on a par définition de IO que : V k N, Tk e 3 t. q Ak = Tk,nno. Ainsi, , or car stable par intersection. D’où, par définition de JO, On a montré que 30 est stable par intersection. Soit A il existe Tnno. Ainsi, en prenant le complémentaire dans QO (on veut montrer que 10 est une tribu de parties de 00, il faut comprendre ici), on

On a montré que JO est stable par passage au complémentaire (dans QD). En conclusion, est une tribu de parties de no. 1. 2. 11 Théorème : Soit Y un ensemble, et f: n Y une fonction. Soit 9′ une tribu de parties de Y. on pose:v PAGF s 8 fonction. Soit 9. ‘ une tribu de parties de Y. On a que 3 est une tribu de parties de Q. Soit (Ak)kEN e IN, par définition de 3 : V k e N, Sk E % t. q Ak – On rappelle que l’image réciproque d’une intersection par une fonction est l’intersection des images réciproques, pareil avec l’union, et donc avec le complémentaire et la différence d’ensemble (c. es TD pour ça). Ainsi, , et comme car chaque Sk est un élément de et que est une tribu, on a donc que On a montré que est stable par intersection. Soit A e û, il existe S CV t. q A = f-1(S), et en prenant le complémentaire dans n, on obtient car On a montré que est stable par passage au complémentaire. En conclusion, 3 est une tribu de parties de Q. 1. 2. 12 Théorème : Soit Y un ensemble non vide, soit Ç V(Y) non vide et soit f : Q Y une fonction. Alors on a que : L {f-1(S), S tu)}. 1. 2. 13 Définition: Soit n E N, n È 2, et soit QI, m, , Qn des ensembles non vides et 31, 32, . n n tribus de parties respectivement de 01 , 02, On note 31 Ëj2Ë Elln ou li la tribu de parties de engendrée par l’ensemble suivant : On appelle ji la tribu produit de 31, 32, , jn. A remarquer que { n’est pas une tribu en général (voire jamais), c’est pour ça qu’on passe à la tribu engendrée de cet ensemble de 6 8 tribu en général (voire jamais), c’est pour ça qu’on passe à la tribu engendrée de cet ensemble de parties de pour définir la tribu produit. 1. 2. 14 Théorème : Soit n G N, n È 2, et QI, 02, , Qn des ensembles non vides, et 81 ,42, , n sous-ensembles non vides respectivement de (Q2), , saqnn).

On suppose que pour chaque i e [1 ,nl, il existe t. q . Alors, = Ce théorème donne les conditions pour qu’en engendrant les tribus dans les différents Ci puis en faisant la tribu produit du tout, on obtienne le même résultat qu’en prenant la tribu engendrée par les produits cartésiens des éléments des 1. 2. 15 Vocabulaire . un couple (Q,3) où n est un ensemble non vide et 3 une tribu de parties de Q, est appelé espace mesurable. Dans le cas où n est l’ensemble des résultats possible d’une expérience, un espace mesurable (Q,3) est appelé espace probabilisé.

Cette définition ne veut rien dire j’y consens, mesurable ou probabilisable, la différence est bien maigre… 1. 3. Tribus Boréliennes (de ce brave Borel, Emile de son prénom) • Soit (Q,d) un espace métrique, Q non vide. On note OQ l’ensemble des parties ouvertes de (Qd), p(Q). I . 3. 1 Définition : On appelle tribu borélienne de (Qd) la tribu engendrée par DO, on la note AQ). Un élément de AQ) est appelé un borélien de (Q,d). Encore heureux que ce 7 8 (Q,d). /* Encore heureux que ce ne soit pas notre cher Pennequin qui les aies inventés, imaginez « un pennequinien de (n,d) » e serait plutôt barbare… nfin quolque on aurait pu dire un denisien*/ 1. 3. 2 Théorème : Notons l’ensemble des parties fermées de (Q,d). Alors = . J(O). Soit on a que e on C D’où, . Ainsi, ç AQ). D’où comme ) est la plus petite tribu qui est sur-ensemble de on a que ) Ç On a montré une inclusion. Soit G c OQ, alors t(XQ). De même que plus haut, en repassant au complémentaire, on a C C($Q). Et comme précédemment, la tribu engendrée par on étant la plus petite tribu sur-ensemble de CIO, on a que T(DO) Ç TVQ), i. e par définition de : AQ) On a montré la seconde inclusion. . 3. Lemme : Solt G un ouvert de R (non vide). Alors il existe une suite an, bn [)neN , avec < an < bn < telle que : 1. 3. 4 Notation: . lb= l'ensemble des intervalles bornés de Jf+œ= { a ER} 1. 3. 5 Théorème: on a AR) = Tb) = rue) tuf) = ((40-00) = PAGF E 8 T(Jb) T(Jg) T(Jd) IWO) T(Jf) r(Jo-' - (J f Démonstration de SAR) = IWO) : puisque JO alors Pour l'inclusion réciproque, on prend un G c OR. Avec le lemme précédent, on a rexistence d'une suite (ln) d'intervalles ouverts telle que G = ainsi CIR C, d'où T(CIR) C, i. e Ç. Pour les autres, on fait à peu près pareil. . 3. Théorème : On a que, pour - [ + ] I . 3. 7 Théorème : Soit (X,d) un espace métrique, et soit XO un sous ensemble non vide de X. On note do la distance induite par d sur XO. Alors J(XO) = {BnXO, B E (c'est la tribu trace de J(X) sur Xo tout simplement). Petit rappel, tout ouvert A de XO est de la forme A = GnXO, où G est un ouvert de X. Ainsi, l'ensemble D(XO) des ouverts de XO est = {Gnxo, G E O(X)}. On va noter im la fonction suivante : , Remarquons que, V A EP(X), jrn-l(A) = Anxo. D'où, par définition de la tribu borélienne d'un espace métrique, t d'après le théorème 1. . 12 et la remarque, 330<0) G e 200)) = { im-1(B), B e { im-1(B), a - ( Bru B E J(X)}. Commentaire Si R, = 3 E AR)}. 1. 3. 8 Définition: Soit (X,d) un espace métri nsemble des ouverts de PAGF 8 Soit (X,d) un espace métrique, et O(X) Pensemble des ouverts de Soit 0 û(x), on dit que 0 est une base de la topologie de X (ou une base de CI(X)), lorsque V G 000, (Ni)iEI t. q G- 1. 3. 9 Théorème : Soit (X,d) un espace métrique. Si C est une base dénombrable de alors TU) Soit G c D(X), alors (Ni)iel e 01 avec I au plus dénombrable, t. q

G = TU]) car chaque Ni est dans TU) puisque C et est stable par union dénombrable. Donc Ç TU) TU), i. e C On a montré l’autre inclusion. Par double inclusion, T(C) = X(X). 1. 3. 10 Théorème : Soit n E N, n è 2, et n espaces métriques. On suppose que : V i e [1 ,nl, admet une base dénombrable. Alors on a que = On admet ce théorème. sympa non ? 1. 3. 11 Corollaire Soit n EN, n z 2, alors : Dans le théorème admis 1. 3. 10, on pose V i Effl ,nl, Xi = R. On a que CI(R) admet une base dénombrable en posant bien dénombrable car et N le sont. On peut alors dire i. e. Rn =