commande des systèmes à retard

mais aussi, de manière synthétique et laire, de faire un tour d’horizon des aspects techniques auxquels nous avons été confronté.

L’élaboration de ce rapport a pour principale source les différents enseignements et les nombreux conseils que j’ai pu avoir de mon encadrant m’ont permis de donner une cohérence ? ce rapport. 1 Présentation 1. 1 -Principe : Le retard est défini comme étant la propriété d’un système physique pour lequel la réponse à une action appliquée est retardée dans son effet.

Les systèmes à retards, appelés aussi systèmes héréditaires ou encore systèmes décrits par des ?quations différentielles aux différences, représentent une classe de systèmes de dimension infinie largement rencontrée lors de la modélisation de phénomènes de transport et de propagation de matière, d’énergie ou d’information. Le retard est rencontré naturellement en biologie, physiologie, économie, dynamique des populations, chimie, aéronautique, aérospatial etc..

Par ailleurs, même si le procédé lui-même ne contient pas de retards, les capteurs, les actionneurs et les temps de calcul nécessaire à sa commande peuvent engendrer des retards non négligeables. Le retard a été toujours considéré comme un des problèmes les plus difficiles rencontrés dans la co OF a été toujours considéré comme un des problèmes les plus difficiles rencontrés dans la commande des systèmes. Sa présence a une influence considérable sur le comportement d’un système bouclé et peut même être à l’origine d’instabilité ou d’oscillations indésirables.

Le retard peut avoir plusieurs origines, il peut être attribué soit aux capteurs ou aux actionneurs soit au système lui-même (cas d’un transport d’information au de matière). Les dispositifs de éclenchement eux-mêmes sont physiquement limités de sorte que l’action n’est pas instantanément réalisable. Les systèmes à retards sont des systèmes dont la dynamique dépend non seulement de la valeur de l’état en temps courant t, mais aussi des valeurs passées de la commande et/ou de l’état prises sur un certain horizon temporel.

On peut alors considérer que Pétat du système est en fait une fonction définie sur un intervalle de temps égal au retard. Ainsi ce type de système peut être modélisé dans un espace fonctionnel de dimension infinie. 1. 2 – Modèles de Broida et Strejc En automatique, l’identification des systèmes d’ordres supérieurs à 2 est difficile vue leur complexité. Pour résoudre ce problème, Broida et Strejc ont mis en œuvre leurs propres modèles permettant d’approcher ces systèmes par un 1er ordre en série avec un retard pur avec une certaine erreur de mesure à partir de leurs réponses indicielles.

Ainsi nous allons détailler leurs principes. Broida On considère l’exemple simple d’un système dont la fonction de transfert G(p) n’est pas identifiée suivant le schéma ci-dessous: En nous servant de ce modèle, on va pouvo ‘est pas identifiée suivant le schéma ci-dessous: En nous servant de ce modèle, on va pouvoir identifier à partir de la réponse indicielle le modèle Broida de la fonction G(p): Le modèle est: Principe . GB 1) Relever les instants tl et t2 correspondant respectivement ? 28% et de la valeur finale. 2) La constante de temps du modèle est : Le retard pur du modèle est . ) L’approximation varie en fonction de l’erreur commise lors de la mesure. On la modélise par un gain K qui vari par rapport à la commande : Calcul : Il nous reste de relever les instants tl ett2 afin de calculer les arametres : On mesure les instants à partir de la réponse indicielle : 1. Is La mesure provoque une erreur de ±5% donc le gain sera variant entre 0. 95 et 1. 05 puisqu’il est unitaire. Finalement, la fonction de transfert G(p) est approximée par un premier ordre avec un retard suivant la fonction GB(p) : Strejc: est conditionnée par la détermination du point d’inflexion. . 3 – Exemples : Dans le cadre du contrôle des systèmes industriels, une grande importance est accordée à l’identification du processus. En effet, pour procéder à la commande d’un système réel, il est nécessaire e disposer d’un modèle mathématique qui le caractérise avec une bonne approximation mais qui doit être suffisamment simple pour faciliter son étude. Modèle de Strejc pour un système thermique de grande constante de temps Le système est une soufflerie de séchage.

Il est constitué de trois blocs : La soufflerie électrique, le capteur et l’unité de traitement et de calcul selon le schéma synoptique de la figure suivante. Le dispositif expérimental consiste en une soufflerie en circuit ouvert qui permet d’avoir un écoulement d’air ayant des caractéristiques aérothermiques appropriées et qui peuvent ?tre modifiées d’un essai à un autre. Cette soufflerie se présente sous la forme d’une conduite à section rectangulaire et est commandée par des résistances chauffantes.

Cette conduite est de longueur de 3 mètre mais la température de sortie est mesurée à 2. 5 mètre des résistances chauffantes. Le débit de l’air peut être modifié en faisant varier la vitesse du ventilateur par l’intermédiaire d’un variateur de vitesse. L’air est chauffé au contact d’un ensemble de résistances chauffantes. La puissance o imale de chauffe est de l’ordre de 10 kW. Cinstallation peut empérature maximale PAGF s OF mesurée au moyen de trois thermocouples dont l’un est de type J et les deux autres sont de type K.

Le thermocouple de type J, noté Cl, permet la mesure de la température que subit la charge utilisée. Alors que le deuxième thermocouple de type K assure la suivie de la variation de la température juste à la sortie de la veine d’essai et il est appelé thermocouple C2. Quant au troisième thermocouple, noté CB, il sert à relever la température ambiante. L’acquisition de mesures sur la soufflerie est faite grâce à une chaîne d’acquisition de type ? Agilent 34970A » La température initiale est de 240C alors que le débit de l’air ? travers la conduite est de Pordre de O. m/s. Les réponses indicielles de la soufflerie au niveau de la charge et à la sortie de la conduite sont illustrées par les figures ci-dessous. On remarque que les variations de la température peuvent être considérées comme la réponse d’un système linéaire à retard. La méthode adoptée est celle de Strejc. Cette méthode peut s’appliquer aux systèmes dont la réponse indicielle ne présente pas de dépassement. On identifie à une fonction de la forme: Les paramètres à identifier sont le gain statique K, le retard r, la constante de temps T et l’ordre n. – A partir de la mesure de Tu et Ta sur la réponse calculer leur rapport A partir des mesures on obtient Tu = 16 (s) et Ta = 115— 16 = 99 Donc l’ordre ns 2. La constante de temps du modèle est : Soit : 3- Le retard pur du modèle est Soit La méthode identifie, alors, la réponse indicielle comme étant proche de celle du système sulvant • Modèle de Broida Nous allons établir un modèle mathématique du processus thermique étudié en utilisant la méthode d’identification empirique de Broida. Elle se base sur l’allure de la réponse indicielle du système en BO.

En effet, dans le cas où cette réponse indicielle ressemble à Pallure de la courbe décrite de la figure ci-dessous, Broida approche le comportement du système par une fonction de transfert de la forme suivante Pour la détermination des paramètres et T caractéristiques de H(p), la méthode utilisée par Broida consiste à s’appuyer sur deux points caractéristiques de la réponse du système. Les points habituellement choisis correspondent respectivement aux points d’ordonnées égales à 28% et à de la valeur finale de la sortie.

Ce qui se traduit par : En s’appuyant sur les valeurs numériques de tl et de t2 obtenues expérimentalement on obtient 7 OF 16 su + 32 + 85+1 figure step(A) grid on La réponse du système ressemble à celle d’un système retardé. Le but de l’exemple est de comparer les deux méthodes de modélisation des systèmes à retard ou bien ceux d’ordre élevé celle de Broida et Strejc. Pour ce faire on va modéliser le même système par les deux différentes méthodes. Méthode 1 : Braida Relever les instants tl et t2 correspondant respectivement à 28% et 40% de la valeur finale. ,28 Le retard pur du modèle est : l 5. 35 t2 -646 s Le gain K = 5 1’erreur n’existe pas dans ce cas car le logiciel donne la mesure exacte. Méthode 2 : Streic 8 OF méthode identifie, alors, la réponse indicielle comme étant proche de celle du système suivant : Comparaison En utilisant l’outil Matlab on va reconstruire les réponses indicielles de chaque fonction de transfert : l’initiale puis celle déterminée par la méthode de Broida et enfin celle déterminée par la méthode de Strejc.

Voici donc le programme 32 24 8 1]) % la fonction de transfert initiale % la fonction rapprochées par la méthode de Broida C 23. 71 go 19. 6566 7. 4 . 38) % la fonction rapprochés par la méthode de Strejc hold on step(B) step(C) % en bleu % en vert % en rouge Les réponses indicielles sont donc les suivantes: On remarque que le retard est mieux approximé par la méthode de Broida que celle de Strejc cependant pour le reste le modèle de ce dernier coincide mieux avec la fonction initiale.

PAGF OF temps de calcul. Ces retards sont souvent négligés, mais lorsque leurs tailles deviennent significatives par rapport aux dynamiques du système (en boucles ouverte et fermée), il n’est plus possible de les ignorer. On propose dans cette partie de montrer ‘influence du retard en étudiant les systèmes du premier et second ordre avec et sans retard. – 1er ordre : On rappelle que la fonction de transfert d’un système à retard s’écrit sous la forme : H(p) —HO(p) En posant p = il vient: On considère l’exemple sulvant • Diagramme de Bode (phase) Dans le plan de Rode, le diagramme de gain de et de HOOD) est le même, par contre le diagramme de phase s’en trouve modifié par la présence du terme -DD qui apporte une phase infinie en hautes fréquences. Diagramme de Black Dans le plan de Black, le lieu de transfert garde les mêmes valeurs u gain que celui de HOW), mais la phase change pour la même raison que précédemment.

De ce fait, le lieu de transfert de H(j0) s’écarte de celui de HOOD) au fur et à mesure que C] augmente. Diagramme de Nyquist Enfin, le lieu de transfert dans le plan de Nyquist doit refléter le changement dû au déphasage apporté par le retard pur en hautes fréquences. Il est difficile d’anticiper sur l’allure générale du lieu de transfert car cela dépendra de HO(p). Si par exemple, le lieu aboutit à l’origine, alors le lieu de transfert effectuera un nombre infini de tours av