Chapitre 4 Avec Exercices Fonctions Condense

Chapitre 4 Avec Exercices Fonctions Condense

Tout d’abord, nous avons les règles simples : z (f + g)(x)dx = f (x)dx + g(x)dx + C Chapitre 4 af (x)dx = a or 14 Sni* to View fdx + C, si a est une Ensuite (c’est un pre exemple élémentaire de changement de variables), pour toute constante a si F (x) = f (x)dx, alors f F (ax) + C. Calcul de primitives Remarque : z-vous vérifier ce point ? Faîtes le. Nous avons déjà signalé le résultat central du calcul intégral : pour choix de la constante. On la note a f (t)dt.

Si a > b, on pose souvent Rb Ra a f (t)dt = b f (t)dt, de telle façon qu’on ait toujours la formule a f (t)dt t on a la relation de Chasles : pour tous (a, b, c) b f (t)dt f (t)dt. Cette quantité a f (t)dt est appelée l’intégrale de f entre a et b. Le but R b du calcul intégral, que nous ne développerons pas ici, est d’identifier cette quantité a f (t)dt (si f est p e raire de la portion du PAGF fonctions élémentaires, on fabrique des fonctions dont la (ou les ) primitives ne s’expriment 2

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pas à raide de fonctions usuelles. Il Ren va ainsl de la fonction f : x 7! x, pour laquelle il n’existe pas d’expression de F = f à l’aide de fonctions usuelles. C’est d’autant plus ommageable que cette fonction F joue un rôle central dans de nombreux champs des mathématiques et de ses applications. Pour calculer des primitives, nous sommes donc ramenés à un catalogue de méthodes, qui permettent souvent de donner (ou de simplifier) l’expression des primitives. 107 4. 1 Techniques générales Autant il n’existe pas de méthode systématique, il existe un certain nombre de techniques générales qui permettent de ramener des calculs de primitives compliquées à des primitives plus simples. 4. 1. Intégration par parties Elle repose sur la formule (f = f O g + gf O Ainsi f O gdt = fg fg O dt+C 12 primitive de xn ln x • une primitive de In(x2 + 1) Exercice de cours 70 (Intégrale de Wallis). Le but de cet exercice est de calculer l’intégrale cosn xdx avec n 2 N a) Trouvez une relation entre ln+2 et ln . b) Calculez IO et Il c) Déduisez-en ln 4. 1. 2 Changement de variables Cela repose R sur la formule (f -u f u s’écrivant aussi (F Ainsi, si f (x)dx = F + C alors f (t)dt – Exercice de cours 71 . En utilisant la formule de changement de variable ci-dessus, calculer : • une primitive de x ln x 108 2 des fractions rationnelles

Nous avons vu que les fractions rationnelles se décomposent (sur R) en éléments simples. Pour intégrer une fraction rationnelle, il suffit donc de savoir intégrer les polynômes, ainsi que les fonctions (avec p 1), et (avec p 1). (x a)p (ax2 + bx + Pour p = 1 dx n(x a) + C, et pour p 2, pl (x a)p 1 est un peu plus délicat. On se restreint (ax2 + bx + c)p bien sûr au cas où le dénominateur n’a pas de racines réelles. On peut également considérer sans perte de généralité que a > O. Si O, en mettant J2a en facteur dans le numérateur, on obtient :