Chapitre 6 Options am ericaines Alors qu’une option europ eenne ne donne a son d etenteur le drolt d’exercer (et d’obtenir le pay-off) qu » a un instant fix • e T , l’option am ‘ericaine correspondante lui donne ce droit a tout instant t [O.. T (0, st, 26t, . . , T = n6t} compris entre O et T .
Par exemple un call europ• een sur l’actif St rapportera actif sous-jacent a la date T et le call a cr or 12 rapportera, s’il est ex Sni* to View a la date t, le pay off cb(St s dans cette le,con apprendre a calculer le prix d’une ption am ‘ ericaine et au passage nous decouvrirons quelques beaux outils du calcul stochastique comme le th ‘ eor eme d’armet optimal ou la d ‘ ecomposition de Doob- Meyer des surmartingales. 6. Calcul du prix par r’ ecurrence r etrograde Comme Pr’ ec’ edemment, le processus (St ), d’ efini pour tout t E [O.. T {0, 5t, 26t, N Et}, est not e cb(St ) (s’il exerce son option a l’instant t, le d’ etenteur de l’option re. coit cb(St )). Comment evaluer son prix ? On le d
A l’instant pr- ec edent t T — St, le vendeur devra pour se couvrir disposer d’une richesse au moins » egale au pay-off O(ST —St pour le cas o u le d ‘ etenteur de roption l’exercerait a cette date, et en m -eme temps au moins • egale a e-r5t )/FT —5t ) qui est le prix d’un portefeuille de couverture lui permettant de faire face a ses obligations a la date T si le d’ etenteur ne vient pas exercer avant T .
On eut donc • ecrire pour le prix de l’option am ‘ ericaine en T— 6t: UT -Et = Max {O(ST -60, e-r6t )/FT -Et – Max {O(ST -60, e-r6t EUT ,’FT -bt Mals on peut reproduire ce raisonnement pour Pinstant t = T — 25t, et ainsi de suite. On obtient ainsi la relation de r’ ecurrence retrograde suivante : UT Max cb(St e—rbt E(Ut+6t ‘Ft ) (6. ) Dans le cas d’une option europ eenne, par exemple un Call, on d ‘ eduit facilement de la relation de r’ ecurrence Ct e—r6t E(Ct+6t /Ft ) la formul 12 exemple un Call, on d ‘ eduit facilement de la relation de r currence Ct e—rbt E(Ct+6t /Ft ) la formule fondamentale Ct = e—r(T —t) E(CT /Ft ) indiquant que la valeur de l’option a l’instant t est l’esp erance actualis ee de son pay-off.
Dans le cas d’une option am ‘ ericaine, on ne d ‘ eduit pas facilement de cette relation (A2) la valeur de LJt directement comme une fonction de t et du pay-off final cb(ST ) mais nous verrons qu’il existe n eanmoins une formule ferm ‘ ee de ce type, quoique moins explicite. Par contre, il est facile de programmer cette r ecurrence pour calculer la prime ut a tout instant t. On ne sera pas surpris que l’option am ‘ericaine soit plus ch ere, ou au moins aussi ch ere, que l’option europ’ eenne correpondante puisqu’elle donne plus de droits.
La diff• erence entre les deux s’appelle la prime d’exercice anticip ‘ e (early exercice premium). Dans quels cas a-t- on int er -et a exercer de fascon anticip ee c’est- a-dire dans quels cas cette prime est-elle strictement positive ? Nous allons voir que ce n’est jamais le cas pour un Call, sauf si l’actif sous-jacent distribue des dividendes et que par contre c’est g’ en ‘ eralement e cas pour un Put, a moins de pouvoir supposer nul le taux d’int ‘ er’ et r (ce qui ne serait pas tr • es r’ ealiste). 9 CHAPITRE 19 supposer nul le taux d’int » et r (ce qui ne serait pas tr’ es r ealiste). CHAPITRE 6. OPTIONS AMERICAINES 30 Proposition 6. 1 En supposant que l’actif sous-jacent St ne distribue pas de dividende, le prix d’un Call am ericain sur St est » egal au prix du Call europ• een de m *eme date et m – eme prlX d’exercice. Autrement dit, la prime d’exercice anticip• ee est nulle. Preuve : On d eduit de (A2) que pour tout t, IJt+6t O(St+5t
L’esp erance conditionnelle et l’actualisation conservant cette in egalit’e, il en r • esulte que e-r6t E(Ut+6t ) e-r6t )/Ft Comme cb(St ) — (St — K)+ est une fonction convexe de St , l’in ‘ egalit’e de Jensenl implique que e-r6t E(Ut+6t ) È e-r6t E(St+6t ) – e-r6t K Mais comme la valeur actualis ‘ ee de St est une martingale, e-r5t E(St+6t /Ft) St , et donc e-r5t E(lJt+6t /Ft ) z St- e-r6t K è(St K) = la derni’ ere in ‘ egalit’e r » esultant sim lement du fait que —e—r8t -1. Des deux termes du PAGF 19
