Chapitre 2 Les matrices carr Table des mati 1 Produit et puissance des matrices 1. 1 propri•et’ es . 1. 2 Puissances d’une matrice carry ee . 1-3 La formule du bin- ome de Newton 2 Les 2. 1 2. 2 2. 3 2. 4 or 12 Sni* to View Carr’ matrices Carr’ ees inversibles D’efinitions………….. Exemples .. Recherche pratique de la matrice inverse Propri ‘ et’ es des matrices Carr’ ees inversibles est clair que le produit de deux matrices d’ordre n sera une matrice d’ordre n : on dit que la ultiplication matricielle est une loi interne dans l’ensemble Mn Proposition 1 Nous avons les propri et’ es suivantes : – VM, N, p Mn (R) on a : M. N. P ) = (M. N (associativit’ e de la multiplication matricielle) ; multiplication est distributive par rapport a l’addition) ; M (la matrice unit’ e ln est – VM e Mn (R) on a : M. ln – ln . M- ement neutre pour la multiplication matricielle). Preuve. Ces r’ esultats ont ‘et’ e vus dans le chapitre pr ‘ec edent. Remarque 1 Il faut bien noter que la multiplication matricielle ‘est pas commutative cela signifie que si
M 12 par exemple, si : M – , on a : 0-1 10 11 et N. M – et on a bien : M. N-NM -10 2 par r’ ecurrence M Ozin par M P+l = M. M p pour tout entier naturel p 2-1 matrice : M – -1 11 12-1 IOCI;MI = M = n 401 CI 0-1 11 4 1620 15 -352 Exemple 1 Consid erons la On a 83 M2=M. M-C39 19 – ln 1. 1n EXO MO , la propri’et•e est donc bien vraie au rang O. p H er edit’e : on suppose que : (RM ) = Xp p pour p fix’e uelconque et on va montrer que : (RM ) p+l par cons equent la propri et’ e est h • er editaire.
Conclusion : VM e Mn (R), VX e R•, N on a : (XM ) = Àp . M p 1. 3 La formule du bin- Th eor• eme 2 Consid erons deux matrices M et N d’ordre n qui commutent, c’est a dire qu’elles v’ erifient : M. N= N. M cpkMk. N p-k. Alors : E N on a : (M + 2 soit : cpk M k. N p-k Cpk M k . N p—k ce qui donne, puisque M et N commutent : cpk M k+l . N p—k PAGF s 9 000 Calculons ensuite les puissances successives de la matrice 001 Par suite on aura : Nk = 03 pour tout entier k 3.
Puisque : 13 . N = N. 13 = N on peut donc dire que les matrices N et 13 commutent et nous pourrons donc utiliser la formule du bin- ome de Newton pour calculer : M p — (N + 13 ) . On a donc, compte tenu des r’ esultats obtenus sur les puissances successives de la matrice N . cpk N k . 13p-k = cpo N 0+ cpl N + cp2 cpt) 13 + cpl N + cpo-l Cpl = p on end’ eduit que = 13+pN+ De plus, comme : PAGF 19 En conclusion : VP 2 on a . M • -101 formule trouv O CI=CIO 1) ntJ= O 7 2
