bac Sujets de Mathematiques Term ES 1

bac Sujets de Mathematiques Term ES 1

Sujet 1, Antilles, septembre 2010 Exercice 3 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,75 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note de l’exercice est ramené Soit f une fonction dé On admet que la fon On désigne par C la c rthogonal. 5 p g par : f (x) = 2x+ 1 f dans un repère Le tableau de variations de la fonction f est donné ci-dessous. ex -1 1 Dans l’intervalle IO ; +4 réquation f (x) – – e2 admet : aucune solution , une unique solution ; deux solutions. 2 La tangente à la courbe C au point d’abscisse ln(l admet un coefficient directeur : strictement positif ; strictement négatif ; nul. neperien. • La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R vérifiant les deux conditions suivantes : – pour tout réel x, exp'(x) = exp (x) ; –

Désolé, mais les essais complets ne sont disponibles que pour les utilisateurs enregistrés

Choisissez un plan d'adhésion
exp (O) = 1.

Fonction logarithme népérien : ?? La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse sur IO ; +4 qui prend la valeur O en 1 • Pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel x tel que ex = a. Ce nombre s’appelle le logarithme népérien de a et on le note x = ln a. Image d’un nombre : Soit f une fonction numérique définie sur parf:x f (x), l’image par la fonction f du nombre x appartenant à est le nombre f (x).

Si f est une fonction numérique définie sur I, chaque nombre x de a une unique image par f Tangente à une courbe • La tangente à une courbe C en un point A est la position limite, uand elle existe, de la sécante (AM) lorsque le point M de la courbe tend vers le point A. • Si une fonction f est dérivable en a, alors sa courbe représentative admet, au point A d’abscisse a, une tangente passant par A de coefficient directeur f (a). Une équation de cette tangente est y = f (a) (x — a) + f (a). > Nos conseils pour répondre, comparez e2 et 2 ln 2 + 3. 2 Comment calcule-t-on ce coefficient directeur ?

Concluez à l’aide du tableau de variations. 3 Rappelez-vous que e- ln( 2 OF corrige 1 Bonne réponse : deux solutions. Sur l’intervalle ; la fonction f est dérivable, elle est donc ontinue sur cet intervalle. D’après le tableau de variations de la fonction f , réquation f (x) = e2 admet au maximum Pour connaître le nombre de solutions, il faut comparer e2 7, 4 et 2 ln(2) 3 z 4, 4 On a + m > e2 > 2 ln(2) +3. Sur l’intervalle ; la courbe représentative de la fonction f et la droite d’équation y = e2 ont donc deux points d’intersection. Sur l’intervalle IO ; +4, l’équation f (x) e2 admet donc deux solutions. Bonne réponse : strictement négative. On a O < < ln(2). D'après le tableau de variations, sur l'intervalle IO ; ln (2)[ la fonction f est strictement décroissante. Donc sur cet intervalle la dérivée f de la fonction f est strictement négative, par conséquent f (ln 1,5) < O. Or f (ln 1,5) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe C représentative de la fonction f au point d'abscisse ln(l ,5). Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe C représentative de la fonction f au point d'abscisse In(l est strictement négatif. Bonne réponse : 14 Pour calculer f [—ln(2)], on remplace x par —ln(2) dans l'expression de la fonction f . On obtient : f [— ln(2)] = —2 ln(2) + 1 + ln 2 —1 D'où fl- Ina)] - -2 ln(2) • 3 195 2 ln(2) = 41 11 Sujet 2, Sujet national, juin 2010 Exercice 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée. une bonne réponse rapporte un point.

Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante. 1 Le nombre —3 est solution de l’équation n x = -ln 3 ln (ex) = -3 eln x = —3 ex —3 2 Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle IO ; +4 par f (X) = 31nx – 2X+ 5. Dans le plan muni d’un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction f en son point d’abscisse 1 admet pour équation FX+2 y=3x+1 FX+3 3 Un jeu consiste à lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. joueur donne 3 euros pour artici er à ce jeu. Il lance le dé et U on lit le numéro inscrit su 4 95 – Le sujet Pas à pas Mobiliser ses connaissances Thèmes du programme Fonctions ; probabilités. Fonction exponentielle : • La fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction logarithme népérien. pour tout réel x, exp'(x) = exp (x) ; – exp (0) 1. inverse sur IO ; qui prend la valeur O en 1. oi de probabilité discrète : • E est une expérience aléatoire et Q punivers associé. Soit une variable aléatoire X définie sur Q.

X(Q) étant l’ensemble des valeurs rises par X, on a X(Q) {O, 1,2, S 95 probabilité pi de l’événement (X = xi ) constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par X est xi . • On la présente généralement sous la forme d’un tableau ? ouble entrée : pl total On a alors O 1, avec pi- pi 1. Exemple = xi et Dans une urne, on place trois ‘etons numérotés de 1 à 3. On procède à deux tirages av d’un grand nombre de répétitions de l’expérience. Rappelez-vous de l’ensemble de définition de la fonction logarithme népérien.

Rappelez-vous de la formule donnant une équation de la tangente à une courbe en un de ses points dont l’abscisse est donné. Calculez les trois gains possibles, ainsi que la probabilité qui est associée à chacun. Puis utilisez la formule de l’espérance. 14 Sujet 2 — Le corrigé 1 ona Donc le nombre -3 est solution de féquatlon : ln(ex ) = -3 2 une équation de la tangente au point d’abcisse 1 est • Pour toutx>O: f (x) = 3 x xl —2 donc f (1) = 3×11 -2- 1. L’équation de la tangente est donc : y = 1 x (x — 1) +3, soit y = x 2. Le joueur donne 3 euros pour jouer. Si le numéro est 1, le joueur touche 10 euros, il gagne alors 7 euros. Si le numéro est 2 ou 4, le joueur touche 1 euro, il perd alors 2 Si le numéro est 3, 5 ou 6, il perd alors 3 euros. La probabilité d’obtenir le numéro 1 est égale à : 61 La probabilité d’obtenir les numéros 2 ou 4 est égale à : 26 = 13 . La probabilité d’obtenir le ou 6 est égale à : 36 – 95 xi x pi . D’où 7 6 (-3) 23 15 Sujet 3, Amérique du Nord, juin 2009 Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples.

Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chaque question, une seule des réponses est exacte. Aucune justification n’est demandée. Barème : une réponse juste rapporte 0,5 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l’absence de réponse n’enlève et ne rapporte aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à O. 1 Le prix d’un article subit une première augmentation de 20 % uis une seconde augmentation de 30 ‘h.

Le prix de l’article a augmenté globalement de 50 % 56 % 2 Le nombre réel ln le 8 95 ci-après les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère orthogonal. Dans R, l’équation ln x — 2 admet : une solution. deux solutions de signes contraires. deux solutions positives. 17 9 95 Primitives : On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F dérivable sur et dont la dérivée sur I est la fonction f. est y = f (a) (x — a) + f Ensemble de définition d’une fonction : On appelle ensemble de éfinition d’une fonction l’ensemble des réels ayant une image par cette fonction.

L’ensemble de définition de la fonction logarithme népérien est ; +m[. 18 sujet 3 Résolution graphique d’équations, d’inéquations : • Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation, c’est utiliser la courbe représentative d’une fonction pour obtenir les solutions (ou les valeurs approchées des solutions) de l’équation ou de finéquation. • Équation f (x) = k (k étant un nombre réel) : les solutions de cette équation sont les abscisses des points d’intersection résentative de f avec la lgs